71935計(jì)算方法習(xí)題答案

PAGEPAGE16實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法習(xí)題參考答案第一章引論因?yàn)?，（k=1，2，…，n），所以故1．2由于矩形面積，利用全微分近似有。而。所以，面積的絕對誤差限和相對誤差限分別可以估計(jì)為1．3由于相對誤差滿足：，而。由a1=4，取n=4時(shí)，有1．4由Taylor中值定理，（介于0和x之間）而，所以截?cái)嗾`差限為65七個(gè)零件的標(biāo)定值X1X2X3X4X5X6X70.10.30.10.11.5160.7488不同等級的零件參數(shù)取值范圍如下：A等零件相對誤差不超過1%下限上限下限上限x10.09900.1010X51.48501.5150X20.29700.3030X615.840016.1600X30.09900.1010X70.74130.7562X40.09900.1010B等零件相對誤差不超過5%下限上限下限上限X10.09500.1050X51.42501.5750X20.28500.3150X615.200016.8000X30.09500.1050X70.71130.7862X40.09500.1050C等零件相對誤差不超過10%下限上限下限上限X10.09000.1100X51.35001.6500X20.27000.3300X614.400017.6000X30.09000.1100X70.67390.8236X40.09000.11001.7算法如下：(1).將100個(gè)小數(shù)按由小到大排序(2).將排序后的100個(gè)小數(shù)依次相加(3).將100個(gè)小數(shù)相加結(jié)果與1012相加(4).輸出計(jì)算結(jié)果，結(jié)束。8一個(gè)八位二進(jìn)制數(shù)為(10111101)2用秦九韶算法將其轉(zhuǎn)化為10進(jìn)制數(shù)只需六次乘法輸入b1，b2，…，b8C輸入b1，b2，…，b8Cb1輸出CC2*C+bkk從2到8循環(huán)將任一個(gè)二進(jìn)制數(shù)(b1b2b3b4b5b6b7b8)2轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的算法框圖如下：第二章解線性方程組的直接法x1=1x1=2x1=3。m21=1，m31=2，m32=-2。消元過程所得增廣矩陣為22．3令，，。則，由矩陣乘法得L3L2L1A=U而，，。所以顯然，有2．5當(dāng)n=2時(shí)，由于，，顯然，。假設(shè)滿足條件的n-1階三對角矩陣行列式不為零。現(xiàn)考慮n階三對角矩陣的情形。根據(jù)行列式性質(zhì)，將第n列乘加到第(n-1)列，然后按第n行展開行列式，得由于右邊行列式是n-1階三對角矩陣行列式，現(xiàn)在只須證明n-1階三對角矩陣的元素滿足題目所給條件，則由數(shù)學(xué)歸納法可得n階三對角矩陣行列式不為零。證明如下由于，，所以有，。而所以，n-1階三對角矩陣的元素滿足題目所給條件（主對角占優(yōu)）。第三章插值方法3．1整理已有數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)表X13161f(x)793861880令h=30，由拉格朗日插值基函數(shù)求導(dǎo)數(shù),得代入二次插值函數(shù)，并令，求解得=57.6327所以，從5月1日到6月30日這些天中，可以認(rèn)為6月27日這一天日照時(shí)間最長。3．2構(gòu)造函數(shù)表豬肉產(chǎn)量X2827.2827.02豬肉價(jià)格Y6.87.097.19如果1999年豬肉產(chǎn)量為27.5萬噸，則由二次拉格朗日插值函數(shù)推測1999年豬肉價(jià)格為：7.00（元）。3．3確定函數(shù)如下：由于，所以一個(gè)新手需要織100匹布以后才能成為一名技術(shù)熟練的紡織女工。3.4(1)取f(x)=1，則f(n)(x)=0(n>0)。以f(x)為被插值函數(shù)，它的n次拉格朗日插值函數(shù)為Ln(x)=l0(x)f(x0)+l1(x)f(x1)+……+ln(x)f(xn)=l0(x)+l1(x)+……+ln(x)由插值誤差余項(xiàng)公式，知插值誤差為零。所以Ln(x)=f(x)=1即：l0(x)+l1(x)+……+ln(x)=1。(2)取f(x)=xk(k=1，2，……，n)，則f(n)(x)=0(n>0)。以f(x)為被插值函數(shù)，它的n次拉格朗日插值函數(shù)為Ln(x)=l0(x)f(x0)+l1(x)f(x1)+……+ln(x)f(xn)=l0(x)x0k+l1(x)x1k+……+ln(x)xnk由插值誤差余項(xiàng)公式，知插值誤差為零。所以Ln(x)=f(x)=xk(k=1，2，……，n)即：l0(x)x0k+l1(x)x1k+……+ln(x)xnk=xk。3．53．6設(shè)f(x，y)是被插值函數(shù)，z(x，y)=ax+by+c為插值函數(shù)。由插值條件z(x1，y1)=u1，z(x2，y2)=u2，z(x3，y3)=u3。得或二元線性插值函數(shù)存在唯一的條件為，根據(jù)行列式的幾何意義可知，要求三個(gè)插值結(jié)點(diǎn)所形成的三角形面積不為零。即三點(diǎn)不共線。設(shè)，三個(gè)線性插值基函數(shù)為，，它們應(yīng)滿足的插值條件見下表（x,y）(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)l1(x,y)100l2(x,y)010l3(x,y)001則由插值條件列出線性方程組，，分別求解三個(gè)線性方程組可得，，。3．7（1）（2）所以，，，，。第四章數(shù)據(jù)擬合方法4．1超定方程組的矩陣形式為將方程兩端同乘以系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，可得正規(guī)方程組解之，得x=2.9774，y=1.2259。4．2時(shí)間t00.91.93.03.95.0距離S010305080110設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的初速度和加速度分別為v0和a，初始時(shí)刻距離為0，則距離函數(shù)為用后5個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)作曲線擬合t0.91.93.03.95.0S10305080110可得，v0=10.6576，a=4.62694．3令，則。處理數(shù)據(jù)如下x1234z=lny4.09433.40122.99572.7081由最小二乘法作線性擬合得，lnA=4.4409，B=-0.4564。所以A=84.8528。故，所求經(jīng)難公式為。第五章數(shù)值積分方法5．1橢圓周長公式為：由于，所以被積函數(shù)積分，得5．2令，則，，利用泰勒中值定理所以，有令，則，，利用泰勒中值定理所以，有由泰勒中值定理積分，可得由積分第二中值定理，可得故，5．3由于被積函數(shù)在積分區(qū)間上單調(diào)增加，所以恒有。在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)插入(n–1)個(gè)點(diǎn)，使得，在第j個(gè)小區(qū)間上積分，利用左矩形公式和右矩陣公式可得下面兩個(gè)不等式利用定積分性質(zhì)，可得所以，復(fù)合左矩陣公式滿足不等式復(fù)合右矩陣公式滿足不等式5．4取步長h=(b－a)/n，在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)插入(n–1)個(gè)點(diǎn)：，在第j個(gè)小區(qū)間上積分，利用梯形公式可得將上式求和，便得復(fù)合梯形公式，其誤差余項(xiàng)為設(shè)被積函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，利用連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，存在，使得所以復(fù)合梯形公式的誤差為其中，5．5由于，所以復(fù)合梯形公式求定積分的誤差估計(jì)為故，取則能保證復(fù)合梯形公式求定積分的誤差不超過。6由復(fù)合梯形公式誤差，設(shè)其中，則有，所以9令，則由，，列出方程組第六章常微分方程數(shù)值解6．16．2令，則由兩端對自變量求導(dǎo)數(shù)可得所以，有常微分方程初值問題6．3令，則由，兩端對自變量求導(dǎo)數(shù)可得所以，有取h=0.1，令xn=nh，(n=0，1，2，…，30)。由四階龍格-庫塔公式而由于這一常微分方程的特殊性，有，，所以，（n=0，1，…，30）算法如下：第一步：置h=0.1，n=0，p=0，q=0.5h，z1=1第二步：置pp+h，計(jì)算，；第三步：；第四步：判斷，若n<30，則置nn+1，qq+h，z1z3轉(zhuǎn)第二步；否則，輸出yn(n=1,2,…,30)，結(jié)束。6．4（1），（n=0,1,2,…）（2）6．5用二階差商代替二階導(dǎo)數(shù)，由常微分方程得差分方程，（n=1,2,3,4）整理，并注意y0=0,y5=1，可得6令，，（k=0，1，…，n）用差商代替導(dǎo)數(shù)，即（）則旋轉(zhuǎn)曲面面積用計(jì)算機(jī)求下列多元函數(shù)極小值的數(shù)值解，（y0和yn為已知）第七章非線性方程求根方法7．2由于，且，所以而，所以7．3由二分法收斂定理知由于b–a=1，所以，令，解得，取n=10，便有7．4（1）在二分法的迭代過程中，由于，（n=1,

2,…）其中，an+1和bn+1的選取有兩種可能，即或者所以，無論如何總有與，（n=1,2,…）成立。（2）由二分法過程知，可能產(chǎn)生兩種情況或者根據(jù)兩種情況，有或者7．5（1），（n=0,1,2,…）（2）對任意x0>0，有設(shè)對任意正整數(shù)k，有成立，則由數(shù)學(xué)歸納法，知對任意自然數(shù)k，都有成立。由于，所以，故。因?yàn)閿?shù)列單調(diào)減少且有下界，所以數(shù)列是收斂的。7．6（1）由于是開普勒方程的解，所以滿足方程而迭代公式為，所以有（2）由上式，得所以，或7（1）（2）或。（3）一元四次方程的根為x1=-7.8126，x2=2.9841，x3=1.3404，x4=-0.5120。由于正根為x2=2.9841，x3=1.3404，所以可以認(rèn)為梯子放置點(diǎn)應(yīng)該是在距溫室1.34米到2.98米的范圍內(nèi)。第八章解線性方程組的迭代法8．1（1），，，（2），。，即，即2雅可比迭代法的迭代矩陣為由矩陣的特征多項(xiàng)式由迭代法收斂的充分必要條件知，當(dāng)成立時(shí)，雅可比迭代法是收斂的。3賽德爾迭代法的迭代矩陣4已知平面上三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)確定拋物線方程的算法第一步：輸入數(shù)據(jù)：；第二步：建立矩陣：以