N階矩陣高次冪的求法及應(yīng)用1

第頁學(xué)校代碼學(xué)號密級分類號密級分類號本科畢業(yè)論文N階矩陣m次方冪的求法及應(yīng)用SolutionandApplicationofm-orderofnN階矩陣m次方冪的求法及應(yīng)用SolutionandApplicationofm-orderofnnMartix作者姓名作者姓名專業(yè)名稱專業(yè)名稱學(xué)科門類學(xué)科門類成績評定提交論文日期指導(dǎo)教師 成績評定提交論文日期指導(dǎo)教師摘要矩陣是許多實(shí)際問題中抽象出來的一個概念，它是高等代數(shù)的一個重要組成部分，它幾乎貫穿于高等代數(shù)的各個章節(jié)，在自然學(xué)科各分支及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.正因?yàn)樗鼜V泛的應(yīng)用又是解決眾多問題的有力工具，所以，學(xué)習(xí)并掌握好矩陣的運(yùn)算以及它們的運(yùn)算規(guī)律和方法是我們學(xué)好矩陣知識的一個非常重要的環(huán)節(jié).對于矩陣方冪的運(yùn)算，它是以矩陣的乘法運(yùn)算為基礎(chǔ)；然而，矩陣的冪運(yùn)算是比較復(fù)雜同時也是特別麻煩的，所以尋找簡單的運(yùn)算方法就成了計(jì)算矩陣高次冪方面的重要環(huán)節(jié)，為此很多學(xué)者都花了很大的精力去探討研究，本文將在他們的研究基礎(chǔ)上，應(yīng)用實(shí)例通過數(shù)學(xué)歸納法，乘法結(jié)合律的方法，二項(xiàng)式展開式的方法，分塊對角矩陣的方法，標(biāo)準(zhǔn)形法，最小多項(xiàng)式的方法和特殊矩陣法等多種方法來求解方陣的高次冪，進(jìn)而為階矩陣的冪運(yùn)算來提供一個參考.關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)歸納法;二項(xiàng)展開式;矩陣的冪;相似矩陣.AbstractMatrixisaconceptmanypracticalproblemsintheabstract,itisanimportantpartofthelinearalgebra,itisalmostthroughoutthevarioussectionsoflinearalgebra,inthefieldofnaturalsciencesandeconomicmanagementofthebranchhasawiderangeofapplications.Justbecauseitwiderangeofapplicationsandisapowerfultoolforsolvingmanyproblems,solearnandmastertheoperationandtheirmethodofoperationrulesandgoodmatrixisamatrixofknowledgewelearnaveryimportantpart.Formatrixpowercalculations,itisMatrixmultiplicationisbased;however,thematrixexponentialoperationismorecomplexbutalsoparticularlytroublesome,solookforasimplecalculationmethodhasbecomeanimportantpartofcomputingpowermatrixhighregard,formanyscholarshavespentalotofresearchefforttoinvestigate,thepaperwillbeonthebasisoftheirresearch,applicationexamplesbymathematicalinduction,multiplicationassociativeapproach,binomialexpansionmethod,themethodblockdiagonalmatrix,standardformmethod,minimalpolynomialavarietyofmethodsandspecialmethodstosolvethematrixmethodphalanxofhigh-power,andthusthepowertoordermatrixoperationstoprovideareference.Keywords：Mathematicalinduction;powermatrix;;binomialexpansionsimilarmatrix.目錄摘要 IAbstract II目錄 III引言 11準(zhǔn)備知識 12.1利用數(shù)學(xué)歸納法求解階矩陣的高次冪 22.2利用二項(xiàng)式展開法求矩陣的高次冪 42.3利用標(biāo)準(zhǔn)形求矩陣的高次冪 52.4利用分塊對角矩陣求矩陣的高次冪 82.5利用乘法結(jié)合律求方陣的高次冪 102.6利用最小多項(xiàng)式解矩陣的高次冪 112.7利用特殊矩陣法求解矩陣的高次冪 132.7.1對合矩陣 132.7.2冪等矩陣 142.8利用圖論算法求矩陣的高次冪 152.8.1鄰接矩陣 152.8.2的元素的意義 152.9利用特征多項(xiàng)式求解矩陣的高次冪 163矩陣的冪在人口流動的中的應(yīng)用 17總結(jié) 20參考文獻(xiàn) 21致謝 22引言矩陣是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一，是處理線性方程組、二次型、線性變換等問題的重要工具，基本上貫穿于研究高等代數(shù)問題的始終.矩陣的理論和計(jì)算方法對于我們研究的許多問題都起著很重要的推動作用，同時也是解決數(shù)學(xué)以及大多數(shù)的科學(xué)領(lǐng)域中問題的重要工具，它有著十分廣泛的應(yīng)用.學(xué)習(xí)并掌握好矩陣的運(yùn)算以及它們的運(yùn)算規(guī)律和方法是我們學(xué)好矩陣知識的一個非常重要的環(huán)節(jié).對于矩陣方冪的運(yùn)算，它是以矩陣的乘法運(yùn)算為基礎(chǔ)；然而，矩陣的冪運(yùn)算是比較復(fù)雜同時也是特別麻煩的，所以尋找簡單的運(yùn)算方法就成了在計(jì)算矩陣高次冪冪方面的重要課題.目前，關(guān)于矩陣的高次冪的計(jì)算問題，有很多學(xué)者對此都進(jìn)行了大量的研究，文獻(xiàn)[1，2-13,15]從不同角度闡述了矩陣的高次冪的計(jì)算問題.本文在這些研究基礎(chǔ)之上，用分類討論的辦法，系統(tǒng)而又全面地介紹了一般的階矩陣和一些特殊的矩陣的高次冪的求解方法.對于那些簡單的矩陣，有關(guān)它們的低次冪求解，我們就可以直接按照矩陣乘法的定義去求解；但對于矩陣的秩為1的階矩陣，我們可以考慮用矩陣乘法結(jié)合律的方法求解；此外，我們還可以用二項(xiàng)式展開法，分塊對角矩陣的方法；對于一般情況下的階矩陣的求解，我們可以采用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法、最小多項(xiàng)式的方法去求解；然而我們還可以用一些特殊的矩陣去求解（比如對合矩陣，冪等矩陣）.在這些諸多的方法中，它們都只不過為階矩陣的冪運(yùn)算提供了一個參考.所以在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)矩陣的不同，采用不同的運(yùn)算方法去化簡矩陣的冪計(jì)算.1準(zhǔn)備知識在矩陣的計(jì)算中，乘法是最常用的一種方法.特別是，當(dāng)一個矩陣是方陣的時候，也就是這個矩陣有行列，可以定義這個矩陣和它本身的乘法運(yùn)算，那就是我們所說的矩陣的冪.定義1假設(shè)矩陣是矩陣（階方陣），是正整數(shù)，那么就把形式稱為的次冪.方陣的冪運(yùn)算規(guī)律：其中，均為非負(fù)整數(shù).2階矩陣的高次冪的一些求法以及應(yīng)用2.1利用數(shù)學(xué)歸納法求解階矩陣的高次冪數(shù)學(xué)歸納法在初等數(shù)學(xué)中就有很廣泛的應(yīng)用，是在計(jì)算數(shù)學(xué)命題中常用的一種方法.在求矩陣方冪問題的時候，在一些特別的情況下就可以利用數(shù)學(xué)歸納法來計(jì)算出矩陣的高階次冪.關(guān)于求矩陣高次冪的根本思路就是：先計(jì)算出方陣的等較低次冪的矩陣，再利用等較低次冪矩陣的計(jì)算結(jié)果，由歸納法猜測的表達(dá)式，最后利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明對于一切自然數(shù)都成立（其中下同）.例1已知矩陣,試求.解因?yàn)樗?，由這兩個矩陣的規(guī)律就可以得出，的第一行元素就是展開式的三個元素，而的第一行的元素是展開式的前三個元素，所以可以歸納總結(jié)出的第一行元素就應(yīng)該是的展開式的前三個元素，也就是，所以猜測為下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.顯然當(dāng)?shù)臅r候是成立的；假設(shè)是成立的，則求出的結(jié)果顯然當(dāng)時結(jié)論也是成立的，故上述所假設(shè)的結(jié)論是正確的.所以求得的結(jié)果也就是.例2設(shè)，計(jì)算.解因?yàn)椋?所以猜想.下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；假設(shè)時，結(jié)論也是成立的，也就是，則當(dāng)時，顯然當(dāng)時結(jié)論也是成立的，故上述所假設(shè)的結(jié)論是正確的，由數(shù)學(xué)歸納法知的求解結(jié)果是注通過觀察這兩個矩陣可以知道，在求解矩陣高次冪問題的過程中，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵就是通過較低矩陣次冪的計(jì)算結(jié)果來正確的總結(jié)出，進(jìn)而來進(jìn)行驗(yàn)證所總結(jié)出來的是否正確，但是這種方法不是所有的矩陣高次冪都可以應(yīng)運(yùn)，它只能用于一些較為簡單矩陣而且較為特殊的矩陣，就類似于上面的兩道例題.2.2利用二項(xiàng)式展開法求矩陣的高次冪如果題目所給出的階矩陣是可以分解，也就是，并且和的高次冪都是比較容易計(jì)算出來的，還要求（也就是和是矩陣乘法適合交換律的，如果分解開的這兩高次冪矩陣不能相互交換的話，那么二項(xiàng)式展開式公式對于這個矩陣是不成立的，也就是二項(xiàng)式展開法不適用于這個矩陣），如果滿足要求，所以就有以下的公式特別地，當(dāng)階矩陣的主對角線上元素相同的時候，那么這樣的矩陣可以表示為一個純量矩陣及另外一個矩陣的和，也就是，并且所給出的矩陣的高次冪是比較容易計(jì)算出來的，那么這樣的矩陣就可以用這種方法比較簡單明了.例3已知矩陣，試求.解首先我們將矩陣分解為，而其中，容易得出并驗(yàn)證矩陣滿足，也就是說和是可以交換的，根據(jù)二項(xiàng)式展開公式得例4已知，求.解首先我們將矩陣分解為，也就是而其中的為，又因?yàn)?，所以注通過觀察我們可以知道，在求解這一類的矩陣問題的時候，我們首先要做的就是判斷這個所給出的矩陣能否被分解，其次分解的矩陣的高次冪是比較容易計(jì)算出來的.2.3利用標(biāo)準(zhǔn)形求矩陣的高次冪定義2我們將形式為的矩陣稱為塊，其中是復(fù)數(shù)，由這樣若干個若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣稱為矩陣，其一般形式為，其中并且中有一些是可以相等的.根據(jù)定理我們可以得出，假如矩陣，那么矩陣及一個矩陣相似，這個矩陣除去塊的排列順序以外是被矩陣唯一確定了的，那么我們就稱這樣的矩陣為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式.也就是存在階可逆矩陣，使得而是階塊，因?yàn)?，所以?那么這時候要求塊的高次冪就可以得出以下結(jié)果：而其中，且.為矩陣的特征根.例5已知矩陣試求（為自然數(shù)）.解因?yàn)?，所以的初等因子為，故矩陣相似于?biāo)準(zhǔn)形現(xiàn)在我們求可逆矩陣，使得.假設(shè)所以有通過計(jì)算我們可以得出，所以，且，例6求矩陣的次冪.解已知矩陣的特征矩陣為所以矩陣及矩陣相似.令其相似變換陣為可逆矩陣，因?yàn)椋约从?，解這三個線性方程組可以得特征向量，所以又因?yàn)?，所以注在矩陣解題的時候我們要注意，我們所解的這個問題有沒有可逆陣，它是不是和我們的是相似的.這是應(yīng)用的前提.2.4利用分塊對角矩陣求矩陣的高次冪當(dāng)給出的矩陣的階數(shù)較大的時候，我們就可以利用一些橫線和豎線把這個矩陣分成許多的小塊，這些小塊就是矩陣的子陣.如果這個矩陣能被分成對角形式，那么我們就可以把求解高次冪的矩陣的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼夂唵巫雨嚨母叽蝺鐔栴}再計(jì)算上，進(jìn)而達(dá)到簡化求解的目的.由分塊對角矩陣得，其中都為方陣，而我們常用的子塊的高次冪的計(jì)算結(jié)果有例7已知矩陣，試求.解先將寫成分塊陣，其中，，則，下面求.從而例8已知，求.解矩陣可分塊成而，所以于是就變成求和，因?yàn)?，而所以又，其中，又根?jù)二項(xiàng)式展開式得于是求得注在我們應(yīng)用分塊對角矩陣求矩陣的高次冪的時候，我們一定要心里清楚我們要將那些分在一塊，在解題的過程中要學(xué)會多種方法聯(lián)系起來.2.5利用乘法結(jié)合律求方陣的高次冪如果矩陣，那么就說明這個矩陣至少有一行元素不為零，而其它每一行元素都是它的倍數(shù)，所以秩為1的的矩陣就有以下的形式，假設(shè)都是不為零的實(shí)數(shù)，那么就有記那么就有.這種計(jì)算方法就叫做矩陣的乘法結(jié)合律.例9已知，求（為自然數(shù)）.解對進(jìn)行初等變換，我們發(fā)現(xiàn)矩陣的秩為1，即，假設(shè)，那么，且，所以例10，求.解因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?，則注確定應(yīng)用乘法結(jié)合律解題以后，我們心里就要明白這個公式，并且熟記于心，這是應(yīng)用乘法結(jié)合律的關(guān)鍵.2.6利用最小多項(xiàng)式解矩陣的高次冪定理3（哈密爾頓-凱萊定理）設(shè)是階矩陣，是的特征多項(xiàng)式，令，所以根據(jù)以上定理我們可以知道，以階矩陣為根的特征多項(xiàng)式有很多，但我們把首項(xiàng)系數(shù)為1的、次數(shù)最小的并且用矩陣為根的多項(xiàng)式，就叫做矩陣的最小多項(xiàng)式，經(jīng)常用來表示.這也就說明矩陣的最小多項(xiàng)式也是它的特征多項(xiàng)式的因子，這個事實(shí)具有一般性，并且有著4個結(jié)論=1\*GB3①可以整除任何一個以矩陣為根的且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式；=2\*GB3②和是有一樣的根（不算重復(fù)的，且兩個根的數(shù)目不一定相等）；=3\*GB3③如果兩個矩陣是相似矩陣，那么它們兩個的最小多項(xiàng)式就是相同的；=4\*GB3④，而是矩陣的第個不變因子.例11已知，求.解易得的特征多項(xiàng)式為又，可得的最小多項(xiàng)式是：，所以當(dāng)時，假設(shè)，.我們不妨假設(shè)，所以可以得方程組，，解得，所以例12，求.解矩陣的特征多項(xiàng)式為于是我們可得的最小多項(xiàng)式是，所以當(dāng)時，假設(shè)，而；又，所以可以得到方程組，即，解得所以.注要想應(yīng)用最小多項(xiàng)式法去解矩陣高次冪，首先要學(xué)會去求矩陣的特征值，得出矩陣的最小多項(xiàng)式，并假設(shè)，而，然后再進(jìn)行求解.2.7利用特殊矩陣法求解矩陣的高次冪2.7.1對合矩陣定義4設(shè)為階矩陣，如果，那么矩陣就叫做對合矩陣.性質(zhì)4.1（1）；（2）滿足的所有二階矩陣為及，其中.例13設(shè)，求（為自然數(shù)）.解假設(shè)，容易得，所以為對合矩陣，所以有，由，得特別地，當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有.2.7.2冪等矩陣定義5設(shè)為階矩陣，如果，那么就叫矩陣為冪等矩陣.性質(zhì)5.1（1）；（2）滿足的所有二階矩陣有：0，以及形式如或者的矩陣.例14已知，求.解由于，所以矩陣為冪等矩陣，故由冪等矩陣的性質(zhì)（1）知，.注關(guān)于對合矩陣和冪等矩陣，我們只要學(xué)會判斷我們所求矩陣是不是對合矩陣或冪等矩陣，如果是，那就只用它倆的性質(zhì)去求解就可以了.2.8利用圖論算法求矩陣的高次冪如果是結(jié)點(diǎn)的集合和邊的集合所組成的一個系統(tǒng)，的組成元素只有0和1，且為階矩陣.2.8.1鄰接矩陣定義6假設(shè)有一個向圖，而其中的，，假設(shè)每一個結(jié)點(diǎn)是從排列到的，定義一個階的矩陣，而中的元素是，那么就稱是圖的鄰接矩陣，而圖稱為的相關(guān)圖.很明顯對任意的一個階矩陣都是有一個相關(guān)圖的.2.8.2的元素的意義當(dāng)時，就表示存在一條邊，又或者可以說成是從到存在著一條長度是1的路；當(dāng)時，假設(shè)，中的元素是，根據(jù)以上圖論的知識：就表示從結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)長度等于2的路徑的數(shù)目，特別當(dāng)，也就是說長度等于2的路徑不存在.表示長度等于的路徑的數(shù)目，一般的來說，時，令，表示從結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)的長度等于k的路徑的數(shù)目，就像我們剛才說的，長度等于k的路徑的數(shù)目是不存在的，表示長度等于k的回路數(shù)目.這樣，我們就可以得出了n階矩陣的冪運(yùn)算的圖論計(jì)算步驟第一步、根據(jù)題所給出的n階矩陣，畫出它的相關(guān)圖，，；第二步、在我們所畫出的相關(guān)圖中一步一步地找出結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)長度等于k的路徑數(shù)目;第三步、根據(jù)二我們可以寫出n階矩陣，于是我們就可以得到我們所求的冪矩陣.例15假設(shè)，求. 圖1 圖2解先畫出矩陣A的相關(guān)圖H，如圖1，圖2，從圖上可以得出：從結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)長度等于3的路徑數(shù)有：.然而長度等于3的路徑是不存在的，所以可以得出2.9利用特征多項(xiàng)式求解矩陣的高次冪關(guān)于階矩陣，我們可以通過求其特征多項(xiàng)式，進(jìn)而假設(shè)，而，再通過求導(dǎo)來計(jì)算.例16已知矩陣，求.解首先給出矩陣的特征多項(xiàng)式（三次），我們令，而（二次），也就是.因?yàn)?，所以時，代入，并求其一，二階導(dǎo)數(shù)得出，解得，將此結(jié)果代入矩陣中，所以3矩陣的冪在人口流動的中的應(yīng)用例17假設(shè)中小城市和鄉(xiāng)鎮(zhèn)一共有三十萬的人從事農(nóng)業(yè)，工業(yè)，商業(yè)工作，我們假定這個總數(shù)在近些年里面是不會變得，而社會調(diào)查表明：=1\*GB2⑴在這30萬的就業(yè)人員中，大約有15萬的人從事農(nóng)業(yè)工作，9萬的人從事工業(yè)，6萬的人經(jīng)商；=2\*GB2⑵在從事農(nóng)業(yè)工作的人中，每一年大約有20%改為從事工業(yè)，10%改為經(jīng)商；=3\*GB2⑶在從事工業(yè)的人員中，每一年大約有20%改為從事農(nóng)業(yè)，10%改為經(jīng)商；=4\*GB2⑷在經(jīng)商的人員中，每一年大約有10%的改為從事農(nóng)業(yè)，10%改為從事工業(yè).現(xiàn)在想要預(yù)測一~二年后從事各行業(yè)人員的數(shù)目和過多少年之后，從事各行業(yè)人數(shù)的發(fā)展變化.解如果用三維向量來表示第年之后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，現(xiàn)在根據(jù)調(diào)查知.現(xiàn)在求，并求當(dāng)?shù)臅r候的變化趨勢.由調(diào)查得，一年后從事這三種職業(yè)的人數(shù)為即我們以代入上式，所以就可以得，也就是一年以后從事這三種職業(yè)的人數(shù)分別是12.9萬，9.9萬，7.2萬人.同理我們可以求得；所以得二年以后從事這三種職業(yè)的人數(shù)分別為11.73萬，10.23萬，8.04萬人.通過以上我們可以推出得也就是說明年之后從事各行業(yè)的人數(shù)是由來決定的.也就是去通過求矩冪的方法去求.例18某省市每一年有30%的農(nóng)村人口移居到城市，而又有20%的城市人口移居到農(nóng)村，我們假設(shè)這個省市的人口總數(shù)是不變的，并且我們的遷移規(guī)律也是不變的，目前這個城市的農(nóng)村人口是320萬，城市是80萬，試求一年以后的農(nóng)村和城市人口各是多少？兩年以后？n年以后？解設(shè)n年以后這個城市的農(nóng)村及城市人口數(shù)目分別為，根據(jù)題意（單位：萬），寫成矩陣的形式是，所以一年以后，農(nóng)村人口240萬，城市人口為160萬.我們記矩陣，因?yàn)?，所以，所以兩年以后，農(nóng)村人口和城市人口各200萬.于是我們可以得出，也就是說n年以后這個城市的農(nóng)村和城市的人口數(shù)是由來決定的.也就是矩陣冪的求解.在這兩個問題的求解過程中，我們用到了矩陣的乘法和轉(zhuǎn)置等，進(jìn)而將一個實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決了人口流動的實(shí)際問題.這種問題看起來很復(fù)雜，但是通過矩陣的應(yīng)用，我們就把它成功的解決了.不得不說，矩陣是我們解決實(shí)際問題的好工具.總結(jié)經(jīng)過幾個多月的學(xué)習(xí)和工作，我終于完成了本篇論文.從剛開始拿到論文題目到系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)，再到論文的完成，每走一步都是新的嘗試及挑戰(zhàn).通過本文的這些知識點(diǎn)，應(yīng)用實(shí)例通過數(shù)學(xué)歸納法，乘法結(jié)合律的方法，二項(xiàng)式展開式的方法，分塊對角矩陣的方法，標(biāo)準(zhǔn)形法，最小多項(xiàng)式的方法和特殊矩陣法等多種方法來求解方陣的高次冪.我們很明顯的知道在具體的求解一個矩陣的高次冪的過程中，需要根據(jù)矩陣的不同特征而采用不同的運(yùn)算方法是能否求解矩陣高次冪的一個關(guān)鍵問題.在以上我所介紹的那些方法中，它們并不一定是完全最簡便的，也不一定是獨(dú)立存在的，它們之間也是需要相互配合使用的（如例8就結(jié)合使用了方法4和方法5）.總而言之，在一個矩陣的高次冪求解過程中，我們需要充分的應(yīng)用和發(fā)現(xiàn)矩陣的特征進(jìn)而尋找求解的最簡便的方法，這對于我們在矩陣各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系以及思路的推廣，是具有十分重要的作用的，然而這個是說起來簡單做起來是十分困難的，要能夠熟練的選擇并應(yīng)用最簡單的運(yùn)算方法，這是需要我們在大量的實(shí)踐中逐步地提高的，而我們所說的實(shí)踐一般情況下就是大量的練題.借此，我想說謝謝幫助我的老師，同學(xué)們，在你們的幫助下我才能這么快的完善了我的論文，謝謝你們.參考文獻(xiàn)[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何及代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.王萼芳，石生明修訂.高等代數(shù)[M](第三版).北京:高等教育出版社,2019,7(1):162—187．[2]王漢斌.方陣高次冪的幾種解法[J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版），2019,14(4):71．[3]李源,黃輝，郝小枝.計(jì)算矩陣高次方冪的幾種方法[J］.云南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2019,30(2):439—440．[4]劉秀英.n階矩陣m次方冪的求解方法[J].菏澤師專學(xué)報，2000，22（2）：61—62．[5]晏林.Jordan矩陣的冪[J].文山師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2019,20(2）：94—95．[6]余躍玉.階方陣高次冪的計(jì)算方法[J].四川文理學(xué)院學(xué)報,2019，21(2):22—23．[7]李戰(zhàn)國，盧亞麗等.方陣高次冪計(jì)算方法研究[J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(自然