高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 限時(shí)集訓(xùn)(三十四)數(shù)列的綜合問(wèn)題 理 新人教A版

限時(shí)集訓(xùn)(三十四)數(shù)列的綜合問(wèn)題(限時(shí)：45分鐘滿(mǎn)分：81分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1.等差數(shù)列{an}中，a3＋a11＝8，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6·b8的值()A．2 B．4C．8 D．162．?dāng)?shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}中連續(xù)的三項(xiàng)，則數(shù)列{bn}的公比為()A.eq\r(2) B．4C．2 D.eq\f(1,2)3．(·泉州模擬)滿(mǎn)足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，則滿(mǎn)足Sn>1025的最小n值是()A．9 B．10C．11 D．124．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn(萬(wàn)件)近似地滿(mǎn)足關(guān)系式Sn＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件的月份是()A．5、6月 B．6、7月C．7、8月 D．8、9月5．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(nπ,3)－sin2\f(nπ,3)))，其前n項(xiàng)和為Sn，則S30為()A．470 B．490C．495 D．5106．(·株州模擬)在數(shù)列{an}中，對(duì)任意n∈N*，都有eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝k(k為常數(shù))，則稱(chēng){an}為“等差比數(shù)列”．下面對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：①k不可能為0；②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列；④通項(xiàng)公式為an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列．其中正確的判斷為()A．①② B．②③C．③④ D．①④二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．(·安慶模擬)設(shè)關(guān)于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S100的值為_(kāi)_______．8．函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，k為正整數(shù)，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝________.9．氣象學(xué)院用3.2萬(wàn)元買(mǎi)了一臺(tái)天文觀測(cè)儀，已知這臺(tái)觀測(cè)儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為eq\f(n＋49,10)(n∈N*)元，使用它直至報(bào)廢最合算(所謂報(bào)廢最合算是指使用的這臺(tái)儀器的平均耗資最少)，一共使用了________天．三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．設(shè)同時(shí)滿(mǎn)足條件：①eq\f(bn＋bn＋2,2)≥bn＋1；②bn≤M(n∈N*，M是常數(shù))的無(wú)窮數(shù)列{bn}叫“嘉文”數(shù)列．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn＝eq\f(a,a－1)(an－1)(a為常數(shù)，且a≠0，a≠1)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(2Sn,an)＋1，若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，求a的值，并證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))為“嘉文”數(shù)列．11.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，{bn}滿(mǎn)足：a1＝3，a2＝6，{bn}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有bn，eq\r(an)，bn＋1成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn＝eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)，試比較2Sn與2－eq\f(b\o\al(2,n＋1),an＋1)的大?。?2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn(n，Sn)都在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，且過(guò)點(diǎn)Pn(n，Sn)的切線的斜率為kn.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝2knan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；(3)設(shè)Q＝{x|x＝kn，n∈N*}，R＝{x|x＝2an，n∈N*}，等差數(shù)列{cn}的任一項(xiàng)cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小數(shù)，110<c10<115，求{cn}的通項(xiàng)公式．答案限時(shí)集訓(xùn)(三十四)數(shù)列的綜合問(wèn)題1．D2.C3.C4.C5.A6.D7．101008.219.80010．解：(1)因?yàn)镾1＝eq\f(a,a－1)(a1－1)＝a1，所以a1＝a.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(a,a－1)(an－an－1)，整理得eq\f(an,an－1)＝a，即數(shù)列{an}是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列．所以an＝a·an－1＝an.(2)由(1)知，bn＝eq\f(2×\f(a,a－1)an－1,an)＋1＝eq\f(3a－1an－2a,a－1an)，(*)由數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，則beq\o\al(2,2)＝b1·b3，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋2,a)))2＝3·eq\f(3a2＋2a＋2,a2)，解得a＝eq\f(1,3)，再將a＝eq\f(1,3)代入(*)式得bn＝3n，故數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，所以a＝eq\f(1,3).由于eq\f(\f(1,bn)＋\f(1,bn＋2),2)＝eq\f(\f(1,3n)＋\f(1,3n＋2),2)>eq\f(2\r(\f(1,3n)·\f(1,3n＋2)),2)＝eq\f(1,3n＋1)＝eq\f(1,bn＋1)，滿(mǎn)足條件①；由于eq\f(1,bn)＝eq\f(1,3n)≤eq\f(1,3)，故存在M≥eq\f(1,3)滿(mǎn)足條件②.故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))為“嘉文”數(shù)列．11．解：(1)∵對(duì)任意正整數(shù)n，都有bn，eq\r(an)，bn＋1成等比數(shù)列，且數(shù)列{an}，{bn}均為正項(xiàng)數(shù)列，∴an＝bnbn＋1(n∈N*)．由a1＝3，a2＝6得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝b1b2＝3，,a2＝b2b3＝6，))又{bn}為等差數(shù)列，即有b1＋b3＝2b2，解得b1＝eq\r(2)，b2＝eq\f(3\r(2),2)，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為eq\r(2)，公差為eq\f(\r(2),2)的等差數(shù)列．∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝eq\f(\r(2)n＋1,2)(n∈N*)．(2)由(1)得，對(duì)任意n∈N*，an＝bnbn＋1＝eq\f(n＋1n＋2,2)，從而有eq\f(1,an)＝eq\f(2,n＋1n＋2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，∴Sn＝2eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)＝1－eq\f(2,n＋2).∴2Sn＝2－eq\f(4,n＋2).又2－eq\f(b\o\al(2,n＋1),an＋1)＝2－eq\f(n＋2,n＋3)，∴2Sn－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(b\o\al(2,n＋1),an＋1)))＝eq\f(n＋2,n＋3)－eq\f(4,n＋2)＝eq\f(n2－8,n＋2n＋3).∴當(dāng)n＝1，n＝2時(shí)，2Sn<2－eq\f(b\o\al(2,n＋1),an＋1)；當(dāng)n≥3時(shí)，2Sn>2－eq\f(b\o\al(2,n＋1),an＋1).12．解：(1)∵點(diǎn)Pn(n，Sn)都在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，∴Sn＝n2＋2n(n∈N*)．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3滿(mǎn)足上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.(2)由f(x)＝x2＋2x求導(dǎo)可得f′(x)＝2x＋2.∵過(guò)點(diǎn)Pn(n，Sn)的切線的斜率為kn，∴kn＝2n＋2.∴bn＝2knan＝4·(2n＋1)·4n.∴Tn＝4×3×41＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n＋1)×4n.①由①×4，得4Tn＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4×(2n＋1)×4n＋1.②①－②得－3Tn＝4[3×4＋2×(42＋43＋…＋4n)－(2n＋1)×4n＋1]＝43×4＋2×eq\f(421－4n－1,1－4)－2n＋1×4n＋1，∴Tn＝eq\f(6n＋1,9)·4n＋2－eq\f(16,9).(3)∵Q＝{x|x＝2n＋2，n∈N*}，R＝{x|x＝4n＋2，n∈N*}，∴Q∩R＝R.又∵cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小數(shù)，∴c1＝6.∵{cn}的公差是4的