人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)學(xué)案：5 2 1 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE15.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù).2.會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表.在利用導(dǎo)數(shù)的定義求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究已知函數(shù)：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝eq\f(1,x)；(5)y＝f(x)＝eq\r(x).問題1函數(shù)y＝f(x)＝c的導(dǎo)數(shù)是什么？〖提示〗∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\f(c－c,Δx)＝0，∴y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝0.問題2函數(shù)(2)(3)(4)(5)的導(dǎo)數(shù)分別是什么？〖提示〗由導(dǎo)數(shù)的定義得(2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，(5)(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)).問題3函數(shù)(2)(3)(5)均可表示為y＝xα(α∈Q*)的形式，其導(dǎo)數(shù)有何規(guī)律？〖提示〗∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)(eq\r(x))′＝(xeq\s\up6(\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)xeq\f(1,2)－1＝eq\f(1,2\r(x))，∴(xα)′＝αxα－1.1.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝axf′(x)＝axln__a(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)拓展深化〖微判斷〗1.若y＝eq\r(2)，則y′＝eq\f(1,2)×2＝1.(×)〖提示〗若y＝eq\r(2)，則y′＝0.2.若f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(x)＝－eq\f(3,x4).(√)3.若f(x)＝4x，則f′(x)＝4xlog5e.(×)〖提示〗若f(x)＝4x，則f′(x)＝4xln4.〖微訓(xùn)練〗1.已知f(x)＝x2，則f′(3)等于()A.0 B.2xC.6 D.9〖解析〗∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.〖答案〗C2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)＝eq\r(4,x5)；(2)g(x)＝coseq\f(π,4)；(3)h(x)＝3x.解(1)f(x)＝xeq\f(5,4)，∴f′(x)＝eq\f(5,4)xeq\f(1,4)；(2)g(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，∴g′(x)＝0；(3)h′(x)＝3xln3.〖微思考〗1.如何求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x4)的導(dǎo)數(shù)？〖提示〗把f(x)＝eq\f(1,x4)化為f(x)＝x－4，則f′(x)＝－4x－5.2.如何求f(x)＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)的導(dǎo)數(shù)？〖提示〗把f(x)＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)化為f(x)＝sinx，則f′(x)＝cosx.題型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〖例1〗求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝sineq\f(π,3)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)；(3)y＝eq\f(1,\r(x))；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)lneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)ln2；(3)y′＝(x－eq\f(1,2))′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2x\r(x))；(4)y′＝(eq\r(4,x3))′＝(xeq\s\up6(\f(3,4)))′＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4\r(4,x))；(5)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).規(guī)律方法求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁瑣；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，降低運(yùn)算難度.解題時(shí)根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式.〖訓(xùn)練1〗求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x13；(2)y＝eq\r(4,x)；(3)y＝sinx；(4)y＝eq\f(1,\r(5,x2)).解(1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；(2)y′＝(eq\r(4,x))＝(xeq\s\up6(\f(1,4)))′＝eq\f(1,4)xeq\f(1,4)－1＝eq\f(1,4)x－eq\f(3,4)；(3)y′＝(sinx)′＝cosx；(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5,x2))))′＝(x－eq\f(2,5))′＝－eq\f(2,5)x－eq\f(2,5)－1＝－eq\f(2,5)x－eq\f(7,5).題型二利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線問題角度1求切線的方程〖例2－1〗函數(shù)y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))處的切線方程是()A.y＝4x B.y＝－4x＋4C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4〖解析〗∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－x－2，∴k＝y(tǒng)′|x＝eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)＝－4，∴切線方程為y－2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即y＝－4x＋4.〖答案〗B角度2求參數(shù)值〖例2－2〗已知y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線，則k＝________.〖解析〗設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意得y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＝k，又y0＝kx0，而且y0＝lnx0，從而可得x0＝e，y0＝1，則k＝eq\f(1,e).〖答案〗eq\f(1,e)角度3曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離問題〖例2－3〗設(shè)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離.解如圖，設(shè)l是與直線y＝x平行，且與曲線y＝ex相切的直線，則切點(diǎn)到直線y＝x的距離最小.設(shè)直線l與曲線y＝ex相切于點(diǎn)P(x0，y0).因?yàn)閥′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).所以點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離為eq\f(|0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).(2)如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解.〖訓(xùn)練2〗(1)求曲線y＝eq\r(x)在點(diǎn)B(1，1)處的切線方程；(2)求曲線y＝lnx的斜率等于4的切線方程.解(1)設(shè)所求切線的斜率為k.∵y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)，k＝y(tǒng)′|x＝1＝eq\f(1,2)，∴曲線y＝eq\r(x)在點(diǎn)B(1，1)處的切線方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋1＝0.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0).∵y′＝eq\f(1,x)，曲線y＝lnx在點(diǎn)(x0，y0)處的切線的斜率等于4，∴y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＝4，得x0＝eq\f(1,4)，∴y0＝－ln4，∴切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－ln4))，∴所求切線方程為y＋ln4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，即4x－y－1－ln4＝0.題型三導(dǎo)數(shù)公式的實(shí)際應(yīng)用〖例3〗某城市近10年間房?jī)r(jià)年均上漲率為10%，房?jī)r(jià)p(單位：萬元)與時(shí)間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個(gè)年頭，房?jī)r(jià)上漲的速度大約是多少(精確0.01萬元/年)？(參考數(shù)據(jù)：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)解由題意得p′(t)＝1.1tln1.1所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)所以在第5個(gè)年頭，該市房?jī)r(jià)上漲的速度大約是0.15萬元/年.規(guī)律方法由導(dǎo)數(shù)的定義可知，導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率，所以求某個(gè)量的變化速度，就是求相關(guān)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).〖訓(xùn)練3〗從時(shí)刻t＝0開始的t(s)內(nèi)，通過某導(dǎo)體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cost表示.求第5秒和第7秒時(shí)的電流強(qiáng)度(單位：安)解由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒時(shí)的電流強(qiáng)度分別是－sin5安，－sin7安.一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式.解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸.3.有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo).如求y＝1－2sin2eq\f(x,2)的導(dǎo)數(shù).因?yàn)閥＝1－2sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.函數(shù)y＝xe的導(dǎo)數(shù)是()A.y′＝xe B.y′＝exe－1C.y′＝exe D.y′＝lnx〖解析〗由(xα)′＝αxα－1得，y′＝exe－1.〖答案〗B2.若f(x)＝sinx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)〖解析〗f′(x)＝cosx，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).〖答案〗D3.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m滿足f′(m)＋g′(m)＝3，則m的值為________.〖解析〗f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.〖答案〗14.曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))處的切線方程是________.〖解析〗∵y′＝－eq\f(1,x2)，∴在點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))處的斜率k＝－eq\f(1,9)，∴在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))的斜率為－eq\f(1,9)的切線方程為：y－eq\f(1,3)＝