人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊教學(xué)設(shè)計(jì)2：6 2 3-6 2 4 第2課時(shí) 組合數(shù)公式教案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.2.3~6.2.4第2課時(shí)組合數(shù)公式教學(xué)目標(biāo)1.理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式.2.能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算.3.會用組合數(shù)公式解決一些簡單的組合問題．教學(xué)知識梳理知識點(diǎn)一組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知識點(diǎn)二組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).教學(xué)案例類型一組合數(shù)公式的應(yīng)用例1.(1)已知eq\f(Ceq\o\al(5,n－1)＋Ceq\o\al(3,n－3),Ceq\o\al(3,n－3))＝eq\f(19,5)，求n的值；(2)已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)，,Ceq\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)Ceq\o\al(x－1,n)，))求x，n的值．解：(1)原方程可變形為eq\f(Ceq\o\al(5,n－1),Ceq\o\al(3,n－3))＋1＝eq\f(19,5)，所以Ceq\o\al(5,n－1)＝eq\f(14,5)·Ceq\o\al(3,n－3)，即eq\f(（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）（n－5）,5！)＝eq\f(14,5)·eq\f(（n－3）（n－4）（n－5）,3！)，化簡整理得n2－3n－54＝0，解得n＝9或n＝－6(不合題意，舍去)，所以n＝9.(2)由題意知x∈N*，因?yàn)镃eq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(n－x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)，所以n－x＝2x或n－x＋2x＝n(舍去)，所以n＝3x.由Ceq\o\al(x＋1,n)＝eq\f(11,3)Ceq\o\al(x－1,n)，得eq\f(n！,（x＋1）！（n－x－1）！)＝eq\f(11,3)·eq\f(n！,（x－1）?。╪－x＋1）！)，整理得3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.將n＝3x代入上式并整理，得6x(2x＋1)＝11x(x＋1)．因?yàn)閤∈N*，所以6(2x＋1)＝11(x＋1)，解得x＝5，則n＝3x＝15.反思感悟關(guān)于組合數(shù)公式的選取技巧(1)涉及具體數(shù)字的可以直接用eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(（n－1）！,m！（n－1－m）！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)＝Ceq\o\al(m,n)進(jìn)行計(jì)算．(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)計(jì)算．(3)計(jì)算時(shí)應(yīng)注意利用組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)簡化運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知eq\f(Ceq\o\al(5,n－1)＋Ceq\o\al(3,n－3),Ceq\o\al(3,n－3))＝eq\f(19,5)，求n的值；(2)已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)，,Ceq\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)Ceq\o\al(x－1,n)，))求x，n的值．解：(1)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150.(2)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝…＝Ceq\o\al(4,21)＝5985.(3)①因?yàn)镃x2＋3x＋216＝Ceq\o\al(5x＋5,16)，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.經(jīng)檢驗(yàn)：x＝3或x＝－9不合題意舍去．故原方程的解是x1＝－1，x2＝1.②由排列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為3·eq\f(（x－3）！,（x－7）！·4！)＝5·eq\f(（x－4）！,（x－6）！)，則eq\f(3（x－3）,4！)＝eq\f(5,x－6)，即為(x－3)(x－6)＝40.所以x2－9x－22＝0，解之可得x＝11或x＝－2(舍去)．所以方程的根為x＝11.類型二有限制條件的組合問題例2(1)某校從8名教師中選派4名去某個偏遠(yuǎn)地區(qū)支教，其中甲和乙不能都去，則不同的選派方案共有________種(用數(shù)字作答)．(2)袋中有紅、黃、白三種顏色的球各2個，從中任意取出4個球，恰得2個紅球和2個其他不同顏色的球的取法有________種．〖答案〗(1)55(2)4〖解析〗(1)由于“甲和乙不能都去”，故要分三類完成：第一類，甲去乙不去，有Ceq\o\al(3,6)種選派方案；第二類，乙去甲不去，有Ceq\o\al(3,6)種選派方案；第三類，甲、乙都不去，有Ceq\o\al(4,6)種選派方案．故共有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＝55種不同的選派方案．(2)分兩步完成：第一步，從2個紅球中取出2個紅球，有Ceq\o\al(2,2)種取法；第二步，在余下的黃、白球中各取出1球，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)種取法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)＝4(種)取法．反思感悟有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù)．(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏．跟蹤訓(xùn)練2某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴災(zāi)區(qū)救災(zāi)，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)抽調(diào)的6名專家中至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)抽調(diào)的6名專家中至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？解：(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法，再從除外科專家外的6人中選取4人，有Ceq\o\al(4,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90種抽調(diào)方法．(2)法一：(直接法)按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法；②選3名外科專家，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)種選法；③選4名外科專家，共有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)＝185種抽調(diào)方法．法二：(間接法)不考慮是否有外科專家，共有Ceq\o\al(6,10)種選法，考慮選取1名外科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；沒有外科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)＝185種抽調(diào)方法．(3)“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答．①沒有外科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法；②有1名外科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；③有2名外科專家參加，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法．所以共有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝115種抽調(diào)方法．類型三分組、分配問題例3判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)把5本不同的書分給5個學(xué)生，每人一本；(2)從7本不同的書中取出5本給某個同學(xué)；(3)10個人相互寫一封信，共寫了幾封信；(4)10個人互相通一次電話，共通了幾次電話．解：(1)由于書不同，每人每次拿到的也不同，有順序之分，故它是排列問題．(2)從7本不同的書中，取出5本給某個同學(xué)，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題．(3)因?yàn)閮扇嘶懸环庑排c寫信人與收信人的順序有關(guān)，故它是排列問題．(4)因?yàn)榛ネ娫捯淮螞]有順序之分，故它是組合問題．反思感悟“分組”與“分配”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n??；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．跟蹤訓(xùn)練3判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)設(shè)集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個元素的有多少個？(2)某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價(jià)？(3)3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？(4)把3本相同的書分給5個學(xué)生，每人最多得1本，有幾種分配方法？解：(1)因?yàn)楸締栴}與元素順序無關(guān)，故是組合問題．(2)因?yàn)榧渍镜揭艺?，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價(jià)與順序無關(guān)，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價(jià)，故是組合問題．(3)因?yàn)榉止し椒ㄊ菑?種不同的工作中取出3種，按一定次序分給3個人去干，故是排列問題．(4)因?yàn)?本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需考慮他們的順序，故是組合問題．與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題典例設(shè)α、β是兩個平行平面，在α內(nèi)取4個點(diǎn)，在β內(nèi)取5個點(diǎn)．(1)這些點(diǎn)最多能確定幾條直線？幾個平面？(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)最多能作多少個三棱錐？解：(1)在9個點(diǎn)中，除了α內(nèi)的四點(diǎn)共面和β內(nèi)的五點(diǎn)共面外，其余任意四點(diǎn)不共面且任意三點(diǎn)不共線時(shí)，所確定的平面和直線才能達(dá)到最多．此時(shí)，最多能確定直線Ceq\o\al(2,9)＝36(條)．又因三個不共線的點(diǎn)確定一個平面，故最多可確定Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋2＝72個平面．(2)同(1)題，在其余任意四點(diǎn)不共面且任意三點(diǎn)不共線時(shí)，所作三棱錐才能達(dá)到最多，此時(shí)最多能作Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＝120個三棱錐．〖素養(yǎng)提升〗(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．(2)把一個與幾何相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為組合問題，此題目的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．課堂小結(jié)1．知識清單：(1)涉及具體數(shù)字的可以直接用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)計(jì)算．(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)計(jì)算．(3)計(jì)算時(shí)應(yīng)注意利用組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)簡化運(yùn)算．(4)分組分配問題．2．方法歸納：分類討論、正難則反、方程思想．3．常見誤區(qū)：分組分配中是否為“平均分組”．當(dāng)堂檢測1．某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有()A．27種 B．48種C．21種 D．24種〖答案〗D〖解析〗法一：(直接法)分類解決．顯然滿足題意的選法有兩類，一類是1名女生，1名男生，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,7)種選法；另一類是2名女生，有Ceq\o\al(2,3)種選法．所以至少有1名女生當(dāng)選的選法有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,3)＝24種．故選D.法二：(間接法)先不考慮限制條件，10名學(xué)生選2名代表，有Ceq\o\al(2,10)種選法，再去掉不滿足條件的，即2名代表全是男生，有Ceq\o\al(2,7)種選法，所以符合條件的選法有Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(2,7)＝24種，故選D.2．4位同學(xué)參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則是：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分．若4位同學(xué)的總分為0，則4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是()A．48 B．36C．24 D．18〖答案〗B〖解