全國版2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題檢測四排列組合二項(xiàng)式定理理含解析

PAGE專題檢測（四）排列、組合、二項(xiàng)式定理一、選擇題1．(2024·重慶模擬)從5名學(xué)生中選出4名分別參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競賽，其中甲不能參與生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為()A．48 B．72C．90 D．96解析：選D由于甲不參與生物競賽，則支配甲參與另外3場競賽或甲不參與任何競賽．①當(dāng)甲參與另外3場競賽時(shí)，共有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)＝72(種)選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參與任何競賽時(shí)，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)選擇方案．綜上所述，全部參賽方案有72＋24＝96(種)．故選D.2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的綻開式中，有理項(xiàng)共有()A．1項(xiàng) B．2項(xiàng)C．3項(xiàng) D．4項(xiàng)解析：選Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的綻開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－1)r·36－r·x6－r，令6－eq\f(3,2)r為整數(shù)，求得r＝0,2,4,6，共計(jì)4項(xiàng)．故選D.3．(2024·濟(jì)南模擬)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，則a2＝()A．18 B．24C．36 D．56解析：選B∵(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4＝[1＋(2x－2)]4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，∴a2＝Ceq\o\al(2,4)·22＝24.故選B.4．在(1－x)5(2x＋1)的綻開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)為()A．－5 B．－15C．－25 D．25解析：選B∵(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋Ceq\o\al(3,5)(－x)3＋…，∴在(1－x)5·(2x＋1)的綻開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)為5－2Ceq\o\al(3,5)＝－15.故選B.5．(2024·安慶模擬)在(eq\r(x)＋x)6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))5的綻開式中，eq\f(x4,y2)項(xiàng)的系數(shù)為()A．200 B．180C．150 D．120解析：選C(eq\r(x)＋x)6綻開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(eq\r(x))6－rxr＝Ceq\o\al(r,6)xeq\f(6＋r,2)，令eq\f(6＋r,2)＝4，得r＝2，則T3＝Ceq\o\al(2,6)xeq\f(6＋2,2)＝15x4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))5綻開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)))r＝Ceq\o\al(r,5)y－r，令r＝2可得T3＝Ceq\o\al(2,5)y－2＝10y－2.故eq\f(x4,y2)項(xiàng)的系數(shù)為15×10＝150.故選C.6．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A．1 B．243C．121 D．122解析：選B令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故選B.7．在某班進(jìn)行的演講競賽中，共有5位選手參與，其中3位男生，2位女生，假如2位女生不能連著出場，且男生甲不能排在第一個(gè)出場，那么不同出場依次的排法種數(shù)為()A．12 B．24C．36 D．60解析：選D依據(jù)題意，分兩種狀況探討：①第一個(gè)出場的是女生，則其次個(gè)出場的是男生，以后的出場依次隨意排，排法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,3)＝36(種)；②第一個(gè)出場的是除甲之外的剩余2位男生中的1位，將剩下2位男生排好，有Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)種狀況，排好后，有3個(gè)空位可選，在其中任選2個(gè)支配2位女生，有Aeq\o\al(2,3)種狀況，則此時(shí)的排法有Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝24(種)，則不同出場依次的排法種數(shù)為36＋24＝60.故選D.8．(2024·新余模擬)高三年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參與社會(huì)實(shí)踐，但去何工廠可自由選擇，甲工廠必需有班級(jí)要去，則不同的安排方案有()A．16種 B．18種C．37種 D．48種解析：選C滿意題意的不同的安排方案有以下三類：①三個(gè)班中只有一個(gè)班去甲工廠有Ceq\o\al(1,3)×32＝27(種)方案；②三個(gè)班中只有兩個(gè)班去甲工廠有Ceq\o\al(2,3)×3＝9(種)方案；③三個(gè)班都去甲工廠有1種方案．綜上可知，共有27＋9＋1＝37(種)不同方案．故選C.9．某班上午有五節(jié)課，分別支配語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課．要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是()A．16 B．24C．8 D．12解析：選A依據(jù)題意，分三步進(jìn)行分析，①要求語文與化學(xué)相鄰，將語文和化學(xué)看成一個(gè)整體，考慮其依次，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)狀況；②將這個(gè)整體與英語全排列，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)狀況，排好后，有3個(gè)空位；③數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，有2個(gè)空位可選，在剩下的2個(gè)空位中任選1個(gè)，支配物理，有2種狀況，則數(shù)學(xué)、物理的支配方法有2×2＝4(種)，則不同排課方案的種數(shù)是2×2×4＝16.故選A.10.如圖所示2×2方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個(gè)，允許重復(fù)．若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有()ABCDA．192種 B．128種C．96種 D．12種解析：選C依據(jù)題意，對于A，B兩個(gè)方格，可在1,2,3,4中任選2個(gè)，大的放進(jìn)A方格，小的放進(jìn)B方格，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)狀況，對于C，D兩個(gè)方格，每個(gè)方格有4種狀況，則共有4×4＝16(種)狀況，則不同的填法共有16×6＝96(種)．故選C.11．在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的綻開式中恰好第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是()A．35 B．－35C．－56 D．56解析：選C由于第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n＝8.所以二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))8綻開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r(－x－1)r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，故綻開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是(－1)3Ceq\o\al(3,8)＝－56.故選C.12．某校畢業(yè)典禮由6個(gè)節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出依次有如下要求：節(jié)目甲必需排在前三位，且節(jié)目丙、丁必需排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出依次的編排方法共有()A．120種 B．156種C．188種 D．240種解析：選A依據(jù)題意，由于節(jié)目甲必需排在前三位，分3種狀況探討：①甲排在第一位，節(jié)目丙、丁必需排在一起，則丙、丁相鄰的位置有4個(gè)，考慮兩者的依次，有2種狀況，將剩下的3個(gè)節(jié)目全排列，支配在其他三個(gè)位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)支配方法，則此時(shí)有4×2×6＝48(種)編排方法；②甲排在其次位，節(jié)目丙、丁必需排在一起，則丙、丁相鄰的位置有3個(gè)，考慮兩者的依次，有2種狀況，將剩下的3個(gè)節(jié)目全排列，支配在其他三個(gè)位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)支配方法，則此時(shí)有3×2×6＝36(種)編排方法；③甲排在第三位，節(jié)目丙、丁必需排在一起，則丙、丁相鄰的位置有3個(gè)，考慮兩者的依次，有2種狀況，將剩下的3個(gè)節(jié)目全排列，支配在其他三個(gè)位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)支配方法，則此時(shí)有3×2×6＝36(種)編排方法，則符合題意要求的編排方法有48＋36＋36＝120(種)．故選A.二、填空題13．(2024·鄭州模擬)已知二項(xiàng)式(2x－3)n的綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則綻開式中x2的系數(shù)為________．解析：由題意可知2n＝64，n＝6，即二項(xiàng)式為(2x－3)6，所以T5＝Ceq\o\al(4,6)(2x)2(－3)4＝4860x2，所以x2的系數(shù)為4860.答案：486014．(2024·上海浦東新區(qū)一模改編)已知二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的綻開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為37，則n＝________，綻開式中的第五項(xiàng)為________．解析：二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的綻開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝1＋n＋eq\f(nn－1,2)＝37，則n＝8，故綻開式中的第五項(xiàng)為Ceq\o\al(4,8)·eq\f(1,24)·x＝eq\f(35,8)x.答案：8eq\f(35,8)x15．為了迎接植樹節(jié)的到來，某班現(xiàn)從6名男班委和4名女班委中選取3人，參與義務(wù)植樹活動(dòng)，若男、女班委至少各有一人，則不同選法的種數(shù)為________．解析：法一：(干脆法)男、女班委至少各有一人，不同的選法可分兩類：第一類，男班委1人，女班委2人，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)種不同的選法；其次類，男班委2人，女班委1人，共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)種不同的選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＝96(種)．法二：(間接法)從10名班委中任選3名，共有Ceq\o\al(3,10)種不同的選法；從6名男班委中任選3名，共有Ceq\o\al(3,6)種不同的選法；從4名女班委中任選3名，共有Ceq\o\al(3,4)種不同的選法．所以男、女班委至少各有一人，不同選法的種數(shù)為Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝96.答案：9616．某學(xué)校有5位老師參與某師范高校組織的暑期骨干老師培訓(xùn)，現(xiàn)有5個(gè)培訓(xùn)項(xiàng)目，每位老師可隨意選擇其中一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，則恰有兩個(gè)培訓(xùn)項(xiàng)目沒有被這5位老師中的任何一位老師選擇的狀況數(shù)為________種．解析：分三步：第一步：從5個(gè)培訓(xùn)項(xiàng)目中選取3個(gè)，共Ceq\o\al(3,5)種狀況；其次步：5位老師分成兩類：①選擇選出的3個(gè)培訓(xùn)項(xiàng)目的老師人數(shù)分別為1人、1人、3人，共Ceq\o\al(3,5)種狀況；