陜西省渭南市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測一模試題Ⅰ理

PAGEPAGE13陜西省渭南市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（一模）試題（Ⅰ）理考生留意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部范圍．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則數(shù)列的公差為（）A．2B．4C．1D．4．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．5．在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國各地電影院等密閉式文娛場所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面臨巨大損失．2011~2025年上半年的票房走勢如下圖所示，則下列說法正確的是（）A．自2011年以來，每年上半年的票房收入逐年增加B．自2011年以來，每年上半年的票房收入增速為負(fù)的有5年C．2024年上半年的票房收入增速最大D．2024年上半年的票房收入增速最小6．已知點(diǎn)在橢圓上，則的最大值是（）A．5B．4C．3D．27．已知的綻開式中常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為4，則（）A．B．1C．D．8．在長方體中，底面是正方形，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．B．C．D．9．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖奇妙地證明白勾股定理，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．假如內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為，外部大正方形的外接圓半徑為，直角三角形中較大的銳角為，那么（）A．B．C．D．10．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比（）A．2B．C．D．11．已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．12．設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線（其中c為雙曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．已知向量滿意，且，則向量的夾角是_______．14．函數(shù)的圖象在處的切線方程是______．15．2024年10月11日，全國第七次人口普查拉開帷幕，某統(tǒng)計(jì)部門支配六名工作人員到四個(gè)不同的區(qū)市縣開展工作．每個(gè)地方至少需支配一名工作人員，其中A，B支配到同一區(qū)市縣工作，D，E不能支配在同一區(qū)市縣工作，則不同的安排方法總數(shù)為_______種．16．在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是________．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊上的高為，的面積為，．（1）求a和角A；（2）求的周長．18．（12分）第31屆世界高校生夏季運(yùn)動會定于2024年8月18日—29日在成都實(shí)行，成都某機(jī)構(gòu)隨機(jī)走訪調(diào)查80天中的天氣狀況和當(dāng)天到體育館打兵乓球人次，整理數(shù)據(jù)如下表（單位：天）：打乒乓球人次天氣狀況晴天21320陰天4610雨天645雪天820（1）若用樣本頻率作為總體概率，隨機(jī)調(diào)查本市4天，設(shè)這4天中陰天的天數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）假設(shè)陰天和晴天稱為“天氣好”，雨天和雪天稱為“天氣不好”完成下面的列聯(lián)表，推斷是否有99%的把握認(rèn)為一天中到體育館打兵乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)？人次人次天氣好天氣不好參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82819．（12分）如圖，平面，四邊形為直角梯形，，，．（1）證明：．（2）若，點(diǎn)E在線段上，且，求二面角的余弦值．20．（12分）已知動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2．（1）求動點(diǎn)M的軌跡E的方程．（2）過點(diǎn)F作斜率為的直線與軌跡E交于點(diǎn)A，B，線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，證明：為定值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若無最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，已知直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．（1）求直線l的一般方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，求的值．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是m，且，求的最小值．渭南市2024年高三教學(xué)質(zhì)量檢測（Ⅰ）數(shù)學(xué)參考答案（理科）1．B由題意可得或，則．2．A因?yàn)椋詮?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限．3．B設(shè)d為數(shù)列的公差，因?yàn)?，所以，則．4．D因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，解得，則．5．D由圖易知自2011年以來，每年上半年的票房收入相比前一年有增有減，增速為負(fù)的有3年，故A，B錯誤；2024年上半年的票房收入增速最大，故C錯誤；2024年上半年的票房收入增速最小，故D正確．6．B由題意可得，則，故．因?yàn)?，所以，所以，即?．D由題意得綻開式中常數(shù)項(xiàng)通式為，解得．8．B如圖，在棱上取一點(diǎn)G，連接，使得．由題意易得四邊形為平行四邊形，則，故是異面直線與所成的角．設(shè)，則，從而．在，由余弦定理可得，則異面直線與所成角的余弦值是．9．D由題意可知小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設(shè)直角三角形短的直角邊為x，則長的直角邊為．由勾股定理得，解得，所以，則．10．C當(dāng)數(shù)列的公比時(shí)，，與沖突，故不符合題意．當(dāng)時(shí)，，所以．因?yàn)?，所以，即，則．11．A函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)．畫出的大致圖象，如圖所示．由圖可知．不妨設(shè)，則，且．因?yàn)?，所以，則，故．12．C設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，如圖，取線段的中點(diǎn)H，連接，則．因?yàn)?，所以，即，則．設(shè)．因?yàn)?，所以，則，從而，故，解得．因?yàn)橹本€l的斜率為，所以，整理得，即，則，故．13．由題意可得，則向量的夾角是百．14．（或）由題意可得，則，故所求切線方程為，即．15．216第一步，將6名工作人員分成4組，要求A，B同一組，D，E不在同一組．若分為3，1，1，1的四組，A，B必需在3人組，有種分組方法，若分為2，2，1，1的四組，A，B必需在2人組，有種分組方法，則一共有種分組方法；其次步，將分好的四組全排列，安排到四個(gè)區(qū)市縣，有種．故總的安排方法有種．16．設(shè)三棱錐外接球的球心為O，三棱錐底面邊長和高分別為a，h．設(shè)球心究竟面的距離為．底面的外接圓半徑為r，則．由題意可知是三棱錐的外接球的一條直徑，則，即．設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，則，故三棱錐的外接球表面積為．17．解：（1）題意可得，解得．2分因?yàn)?，所以?分因?yàn)?，所以，所以?分所以，則．6分（2）由余弦定理可得．①7分因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以．②9分聯(lián)立①②，解得．11分故的周長為．12分18．解：（1）由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4．2分設(shè)一天為陰天的概率為P，則，故．4分則X的分布列為X01234P6分故．7分（2）人次人次天氣好2530天氣不好2059分則．11分因?yàn)?，所以?9%的把握認(rèn)為一天中到體育館打兵乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)．12分19．（1）證明：由題意易知．1分作，垂足為H，則，故．2分因?yàn)?，所以?分因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?分因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面?分因?yàn)槠矫妫裕?分（2）解：因?yàn)?，且，所以．以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，從而．8分設(shè)平面的法向量為．9分則令，得．9分設(shè)平面的法向量為，則令，得．10分設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則．12分20．（1）解：由題意知，動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到直線距離相等，1分由拋物線的定義知，軌跡E是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線．3分所以點(diǎn)M的軌跡E的方程為．5分（2）證明（方法一）：設(shè)直線，聯(lián)立得．6分設(shè)，G為線段的中點(diǎn)，則，所以，7分所以線段的垂直平分線的方程為，則．8分從而，10分，所以為定值．12分（方法二）設(shè)直線的方程為，G為線段的中點(diǎn)．聯(lián)立整理得，．則，從而．7分因?yàn)镚為線段的中點(diǎn)，所以，8分則線段的垂直平分線的方程為．令，得，則．9分從而，，11分故．12分21．解：（1）因?yàn)?，所以．令，得或?分當(dāng)時(shí)，由，得；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得．則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．3分綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．4分（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有最小值，故不符合題意；5分當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因?yàn)闊o最小值，所以，即，解得；6分當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增，所以無最小值，所以符合題意；7分當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)闊o最小值，所以，即，即．設(shè)，則．8分設(shè)，則在上恒成立．故在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．9分因?yàn)?，所以存在唯一的，使得．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．10分因?yàn)?，所以在上恒成立，即在恒成立，即符合題意．11分綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．12分22．解：（1）由題意可得直線l的一般方程為．2分曲線C的直角坐標(biāo)方程為，即．4分（2）直線l的參數(shù)方程可化為（為參數(shù)）．5分將直線l的參數(shù)方程代入曲線C