數(shù)列解題方法高考真題

一、通向的求法：

1.定義法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。

例.等差數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為S“，且%,成等比數(shù)列，

S5=a；.求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)數(shù)列彳4｝公差為d(d>0)

成等比數(shù)列，，a3=a網(wǎng),

2

即(4+2d)2=/(4+8J)=>d-axd

dw0,/.ax—d.............................................①

5x4

S5=al/.5a(+??=(%+4d-...............②

33

由①②得：a,d=-

'55

333

a?=一+(〃—l)x-=一〃

,555

2.公式法：已知(即4+a,++a=/(〃))求。“，用作差法：a>

nn-2)

例.己知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和S,滿足S“=2a,,+(—求數(shù)列上,｝的通

項(xiàng)公式。

解：由因=S[=2tZ]—1=>。]=1

當(dāng)〃N2時(shí),有?！?S“—S“T=2(a“—an_t)+2x(—1)",

:.a“=2%+2x(-1產(chǎn)，

??_i=2a”_2+2x(T)"~,......a,=2q-2.

：.a?=2。+2"Tx(-l)+2"-2x(-N++2x(-1)"-'

=2"i+(-l)"[(-2嚴(yán)+(-2嚴(yán)+…+(-2)]

=2jl)“2U-y

7

=-[2"-2+(-1)"-'].

2

經(jīng)驗(yàn)證％=1也滿足上式，所以/=早2"-2+(-1)?-']

)⑴,5=1)

3.作商法：已知a。a”=f(n)求a”,用作商法：an=</(?)(>>。

如數(shù)列｛〃“｝中，/=1,對(duì)所有的〃22都有《出生…=〃t則。3+。5=

4.累加法：

若生田~%=/(〃)求an：an=(an-an_,)+(an_,-an_2)++(a2-a,)+a,(n>2)?

例.已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=1，〃〃+]=?！?一一,求4。

2Q+〃

解：由條件知：a-a=—=-----------=-----------

｝n2+n以〃+1)n幾+1

分別令〃=1,2,3,…?一,(〃一1),代入上式得5-1)個(gè)等式累加之，即

(〃2_%)+(々3一。2)+(。4一〃3)+...........+(4

1、/1、/I、11、

丁R+……+z(k7

所以-q=1——

n

11,131

12n2n2n

例：己知數(shù)列，且°i=2,an+\=an+n,求a”.

解：，/a?+1=an+n

：,an="一1,an_x-an_z=n-2,an_2-an_3=/i-3,???,a2-at

將以上各式相加得a“一＜2|=l+2+3+-?+〃—1

“I----------2----------=2+-2-

又因?yàn)楫?dāng)〃=1,4=2+上@二?=2成立，

2

.a*、

..an=2+——-——(neN)

5.累乘法：已知④?=/(〃)求％，用累乘法：/=上匚.也??生.4(〃之2)。

an-\an-2a\

2〃

例.已知數(shù)列{氏J滿足q=—，a〃+]=——an,求凡。

3〃+1

Qn

解：由條件知3=—^,分別令九=1,2,3,?……,(九一1),代入上式得

a?〃+1

(〃-1)個(gè)等式累乘之，即

a-,a.a123

z.4..................n〃—_x__x__x............X

a}a2%an_}234

n

例：已知4=3,a〃+]=3an，求通項(xiàng)an.

解：：%=3"4

，4=3'1，也=3"-2,…,”=3

an-\4-2?1

把以上各項(xiàng)式子相乘得

a〃3132333〃T31+2+3+…+〃-132

a\

(〃-1)〃1]

4=32

@+i

又當(dāng)n=l時(shí)，6=32=3成立

(〃T)\]

；?4=3丁

6.已知遞推關(guān)系求為,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。

⑴形如“用=〃a,,+/(〃)只需構(gòu)造數(shù)列物,｝,消去/(〃)帶來的差異.其中/(〃)有多種

不同形式

①/(〃)為常數(shù)，即遞推公式為4用=〃4+4(其中p,q均為常數(shù)，(p次〃一1)片0))。

解法：轉(zhuǎn)化為：4+1-f=p(a“-。，其中f=—"，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。

1-P

例.已知數(shù)列｛a“｝中，=1.an+l=2an+3,求

解：設(shè)遞推公式4M=2%+3可以轉(zhuǎn)化為《用T=2(4T)即《用=2a,—f=r=—3.

故遞推公式為a,用+3=2(4+3),令2=a“+3,則仇=4+3=4,且如=%^=2.

b“a?+3

所以也,｝是以4=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則2=4x2"T=2"M,所以

n+l

an=2-3.

②/(〃)為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為a“+i=pa“+m+s

例.設(shè)數(shù)列｛a“｝：4=4,a“=3a“_]+2〃-1,(〃22),求a“.

解：設(shè)包=a“+a”+B,貝以“=2一4〃一B,將a,,a,T代入遞推式，得

bn—An—B—3[Z??_]—A(n—1)—B]+2n—1

=3%—(3A-2)〃一(33-3A+1)

A=34-2=]

《nJ

B=3B-3A+\[8=1

取勿=4+“+l…（i）則2=32_|,又a=6,故包=6x3"T=2x3"

代入（1）得a“=2x3”-

備注：本題也可由?！?34_1+2〃-1,%_1=3%_2+2（〃-1）一1（/23）兩

式相減得?！耙?_1=3（。,一—?！耙?）+2轉(zhuǎn)化為a=pb時(shí)i+q求之.

③/（〃）為〃的二次式，則可設(shè)a=a“+A/2+B〃+C；

（2）遞推公式為a“+1（其中p,q均為常數(shù)，（〃雙〃一1）0-1）工0））.（或

n

an+l=pan+rq，其中p,q,r均為常數(shù)）

解法：該類型復(fù)雜一些。一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以《已得：患"=:?亍+：

引入輔助數(shù)列物）（其中勿=之），得：再應(yīng)用類型（1）的方法解決。

qqq

例.已知數(shù)列｛%｝中,?,=|,%=；%+，嚴(yán),求凡。

）,+|

解：在=ga“+g）"+i兩邊乘以2"+i得：2.??+|=-|（2"?4）+1

22

令bn=2〃?〃,則%=,a+1,應(yīng)用例7解法得：bfl=3-2（'）”

所以凡等=3（5"-2（]

（3）遞推公式為a,.=Pa“+i+44,（其中P-q均為常數(shù)）。

解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為%+2—s。,用=?生用一$風(fēng)）其中s，t滿足，再應(yīng)

[sf=-q

用前面類型（2）的方法求解。

2?

例.已知數(shù)列｛a“｝中，4=1,“2=2,?！?2=§a.+i，求見。

21

解：由/+2=-4田+-4可轉(zhuǎn)化為4+2-s%,+i=Kan+i-san)

,2(

s+?=—s=11

即4+2=(s+，)a”+i-s4=><；=>S1或<3

1t=---?

s=11

這里不妨選用一（當(dāng)然也可選用1—3大家可以試一試），則

I3J=1

“"+2-4"+1=一!（。"+1一。"）=｛。"+1—是以首項(xiàng)為的一。1=1，公比為一;的等比數(shù)列，

所以4m一/=（-；嚴(yán),應(yīng)用類型1的方法，分別令〃=1,2,3,……,（〃—1）,代入上式得

（〃_1）個(gè)等式累加之，即氏_6=（_；）°+（—；y+……+（_〉"-2=—、_

1+3

731

又???6=1,所以4“=’。

'"443

7.形如an=%或a,,rba=kanan,的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。

Mi+b

例：a?二°%—；，4=1

解：取倒數(shù)：-L=3&L+1=3+_L

a.??-i%

是等差數(shù)列，—+(n-l)-3=l+(n-l)-3=>a?=—^―

an\ana｝3〃一2

8、a.=p-a：型

該類型是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類型，然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比數(shù)列

求出通項(xiàng)。

兩邊取對(duì)數(shù)得

lga”+i=lg（P?a：）

lg%=lgp+rlg??

設(shè)b“=lg%

；?原等式變?yōu)椤ㄓ?也“+lg〃即變?yōu)榛拘汀?/p>

2

例.已知q=2,。1=之，求其通項(xiàng)公式。

3

2

解:由弓=2,%吟知"0且33,

將等式兩邊取對(duì)數(shù)得1g。,川=21g??-lg3,

即lg%M—lg3=2(lga“一lg3),

.?.{lga“—lg3}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1g%-lg3=lg§,公比為2

2

lg3=2"T.lg§,

2

.?.lga〃=2flgj+lg3。

通項(xiàng)公式為a“=3《］)2

二、求和方法

(一)、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.

1、等差數(shù)列求和公式：s“=".+%)=叫+^

22

nay(q-1)

2、等比數(shù)列求和公式：S“=卬(1一0’)a「a"q,八

”:=~—(q*1)

\-q\-q

3、S“=+k=f(〃+1)4、S“=>K=—〃(〃+1)(2〃+1)

k=\2k=i6

［例1］已知log3%==1—,求%+/+X3+…+/+…的前n項(xiàng)和.

log23

解：由log3*=-------=logsx=-log32nx=—

log232

由等比數(shù)列求和公式得S,,=x+x2+/+…+*"

(利用常用公式)

U1

=x(l-x")=22"-r_

l-x~i-2"

1--

2

［例2］設(shè)鼠=1+2+3+…+n,nWN*,求/(〃)=——鼠——的最大值.

("+32)S,出

解：由等差數(shù)列求和公式得S“=g〃("+1),S“=g(〃+l)(〃+2)

(利用常用公式)

,,(“)_s”________q___

,'(n+32)S“+i“2+34〃+64

=--------1-------=-------------1----------<——1

〃+34+竺(V?--^)2+5050

n

,當(dāng)品一卡,即n=8時(shí)，/(〃)max=\

(二)、錯(cuò)位相減法求和

這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用

于求數(shù)列｛4,?bj的前n項(xiàng)和，其中｛a“｝、｛bj分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

［例3］求和：S?=1+3x+5/+7/+…+(2n-l)xn-1....................................①

解：由題可知，｛(2〃-1)/-｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2n—l｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列

｛x"T｝的通項(xiàng)之積

設(shè)=lx+3x2+5x3+7x4H-----1-(2n—i)xn..............②

(設(shè)制錯(cuò)位)

①一②得(1—x)S〃=1+2x+2廠++2%44------F2x"?—(2〃—V)xn

1_Y"T

再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1-X)S.=1+2X-3-—(2〃-l)x

1-x

(2〃-1)￡用一(2〃+l)x〃+(1+x)

=

(I-

［例4］求數(shù)列—F",…前n項(xiàng)的和.

222232"

解：由題可知，｛4｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2n｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列｛上｝的通

22

項(xiàng)之積

、幾。2462〃公

"222232"

102462〃分

22223242"+,

(設(shè)制錯(cuò)位)

g不劣日八1、0222222H

①一②得(1-5電=-+-T+-T+-T+---+-r

(錯(cuò)位相

12n

=2-----------

n+2

S.〃一?

(三)、倒序相加法求和

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排

列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(4+4).

［例5］求證：端+3c+5C：+…+(2〃+1)C：=伽+1)2"

證明：設(shè)S“=C；+3C：+5C；+…+(2/+1)禺...................①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得

S“=(2〃+1)C；；+(2〃-l)C：i+…+3C：+C?

(反序)

又由C：=CT"可得

s,=(2〃+l)C；+(2〃-l)C+…+3C,；T+禺........……..

②

①+②得25“=(2〃+2)(C?+C：+…+C；；-'+C,；)=2(〃+1)-2”

（反序相加）

5?=(?+1)-2"

［例6］求sin2f+sin220+sin23°+…+sin288°+sin289°的值

解：^S=sin2f+sin220+sin230+---+sin288u+sin289°........①

將①式右邊反序得

S=sin2890+sin2880+---+sin230+sin220+sin210..........②

(反序)

又因?yàn)閟inx=cos(9(y-x),sin2x+cos2x=1

①+②得

(反序相加)

25=(sin210+cos2V)+(sin220+cos22°)+-??+(sin289°+cos289°)=

89

S=44.5

(四)、分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,

可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

［例7］求數(shù)列的前n項(xiàng)和：l++++…

aa

解：設(shè)S“=(1+1)+(—h4)+(―+7)H---1-(+3n—2)

aaa

將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

Sn=(l+-+-^+---+—^-)+(1+4+7+---+3?-2)

aa'a"

(分組)

*c-iirtc,(3〃—1)"―+

當(dāng)a—1，S=MH-----------------------------

n22

(分組求和)

當(dāng)awl時(shí)，S=3+(3〃-1)〃="。"+(3"1)〃

n.12a-\2

1-----

a

［例8］求數(shù)列｛n(n+l)(2n+l)｝的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)4=攵(2+1)(2%+1)=2k'+3%2+k

/.Sn=汽%(攵+1)(2女+1)=￡(2公+3公+左)

k=\k=\

將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

Sn=22公+3￡E+fk

k=\k=\k=i

(分組)

=2(13+23+---+H3)+3(12+22+…+/)+(1+2+???+〃)

22〃(〃+l)(2〃+l)n(n+1)

_H=(H-+--1-)-----1--------------1-------

222

(分組求和)

_〃(〃+1)“〃+2)

2

（五）、裂項(xiàng)法求和

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中

的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.

通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

(2)-----包^-----=tan似+1)。-tann0

(1)a=/(?+1)-/(?)

ncosn°cos(〃+l)°

/八111/八(2〃)211/11、

(3)ci——(4)a——1+()

n〃(〃+1)nn+1(2“一1)(2〃+1)22n-l2n+l

?(?-1)(?+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)

(6)

n+212(〃+1)-〃1_11|_11

Q=---------=-------------=------:----------,則nilSC=1---------

'〃(〃+1)2"〃(〃+1)2"n-2n-'(“+1)2""(〃+1)2"

［例9］求數(shù)列」二廠,…，/)，…的前n項(xiàng)和.

1+J2J2+J3+\

解：設(shè)％=—j=_1,----=J〃+l-

VH+AM+1

（裂項(xiàng)）

則S“=-----j=+—r=-----j=H---F—r=----1

1+V2V2+V3Vn+Vn+1

(裂項(xiàng)求和)

=(V2—VI)+(A/3_V2)+…+(Jzi+1—V^)

=J/+1—1

[例10]在數(shù)歹Ij{aj中，/=j_+_2_+…+q,又2=_1_,求數(shù)列{bj

〃+1〃+1〃+1an?。〃+]

的前n項(xiàng)的和.

12nn

解:+-----+…+-----

〃+1〃+1n+12

21

,"b”=)

nn+1〃+1

了2

（裂項(xiàng)）

數(shù)列{bj的前n項(xiàng)和

1

S?=8[(1+)J

"22334〃+1

（裂項(xiàng)求和）

=8(1-W)8n

〃+1

［例⑴求證：fr+品正+一嬴忌嬴二瑞

解：設(shè)5=——!——+——!——+?.?+------!-------

cos0°cos1°cos1°cos2°cos88°cos89°

?/----------------=tan(h+l)°-tan72°

cosn°cos(n+l)0

(裂項(xiàng))

111

??S--------------------------1----------------------------1-???d------------------------------

cos0°cos1°cos1°cos2°cos88°cos89°

(裂項(xiàng)求和)

-----{(tan1°-tan0°)+(tan20-tan1°)+(tan3°-tan20)+[tan89°-tan88°]}

sinl°

=-1—(tan89°-tan00)=—1—?cotf=

sinfsinl°sin2r

原等式成立

（六）、合并法求和

針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此,

在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求S、

[例12]求cosl°+cos2°+cos3°+???+cosl78°+cosl79°的值.

解：設(shè)Sn=cosl°+cos2°+cos3°+???+cosl78°+cosl79°

cosn°=-cosQ80-〃0）

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）

.?.Sn=（cosl°+cosl79°）+（cos2°+cosl78°）+（cos3°+

cosl77°）+???

+（cos89°+cos91°）+cos90°

（合并求和）

=0

[例）13]歹ll{aj:tZj—1,=3,%=2,—^2002*

解：設(shè)S2002=4+。2+。3+???+々2002

由。]=1,a2=3,a3=2,an+2=an+[-a〃可得

4=-l,a5=-3,a6=-2,

%=1,々8=3,a）=2,al0=-1,an=-3,al2=-2,

a6k+l=La6A2=3,“62+3=2,〃6&+4=-La^k+5~13,〃6&+6=12

*a6k+\+a6k+2+a6k+3+a6k+4+a6k+5+a6k+6=。

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）

??S2002=4]+。2+。3+,,,+。2002

（合并求和）

（6+電+。3+一?6）+（%+。8+一以吆）+,.?+（〃6%+1+。6?2+，''+。6攵+6）

H^（々1993+々1994^々1998）+“1999+.2000+。2001+々2002

―"1999+〃2000+〃2001+^2002

-a6k+\+°6k+2+a6k+3+。6H4

=5

［例14］在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若

d

。5a6=9,求log3al+log3a2---1-log3?10的值.

解：設(shè)S“=log3q+log3%+…+log3al0

由等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+q=a?,alt=apaq

(找特殊性質(zhì)項(xiàng))

和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)log“M+log?N=lo&M-N得

aa

Sn=(lOg34+lOg360)+(1崎2+喝％)+…+。限5+喝。6)

(合并求和)

=(1。83?！浮0)+。083。2??9)+---+(log3a5-a6)

=log,9+log,9+,,?+log,9

=10

(七)、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和

先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用

數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.

［例15］求1+11+111+…+比山之和.

〃個(gè)1

解：由于111…l=」x999…9=’(10人一1)

'---V---'Q'---V--'Q

4個(gè)I火個(gè)］/

(找通項(xiàng)及特征)

1+11+111+---+111--1

'--V--'

”個(gè)1

=1(10'-l)+!(102-l)+1(103-1)+…+［(10"-1)

(分組求和)

=-(io'+io2+io3+---+i(y,)--(,i+i+i+---+i)

99"個(gè)］

=\_10(18—1)〃

-9-10^19

=—(10,,+l-10-9n)

81

8，求之("+!)(??-%)的值.

［例16］已知數(shù)列｛a.｝：an

5+1)(/+3)M=1

解：???(n+l)(a?-a?)=8(n+l)[-1（找

+I(n+V)(n+3)(〃+2)(〃+4)

通項(xiàng)及特征）

1

=8-[-----------------------------1-----------------------------]

(〃+2)(〃+4)("+3)(〃+4)

（設(shè)制分組）

1111

=4-()+8()

n+2.〃+4九十377+4

（裂項(xiàng)）

000011811

?#-Z(”+l)(?！耙籥,8y帝一）（分組、

〃=1〃+4

裂項(xiàng)求和）

=4?(g+；)+8?；

=13

一不

三、常考題型

題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題

例1設(shè)他”｝是公比大于1的等比數(shù)列,S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.己知陽(yáng)=7,且?+3,3色，

6+4構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)；

（2）令兒〃=1,2，…，求數(shù)列仍“｝的前〃項(xiàng)和北.

4]+。2+。3=7,

解（1）由已知得，,,'1/解得做=2.

(〃]+3)+(的+4)=6〃2，

2

設(shè)數(shù)列｛四｝的公比為q,由"2=2,可得勾=7,”3=24,

2

又§3=7,可知7+2+2g=7,即2q~—5q+2=0.

解得3=2,理=/.

■1,??q=2,.?Q\=-\.

故數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)為斯=2"」

=

(2)由于bnln^3n+i?1=1,2,

由⑴得fl3n+l=23n,

In23"=3〃ln2.

又又+i=31n2,A｛?。堑炔顢?shù)列,

〃(b|+b“)

〃歷+…

=b]++6”=2

3〃("+1)

—^2--In2.

T3n(n+l)

故Tn—2In2.

思維升華(1)正確區(qū)分等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中公比等于1的等比數(shù)列也是等差數(shù)列.

(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化，若數(shù)列｛%｝是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，則｛ab?｝(a>0,

a豐1)就是一個(gè)等比數(shù)列，其公比q=/；反之，若數(shù)列仍“｝是一個(gè)公比為虱q>0)的正項(xiàng)等比

數(shù)列，則｛log/“｝(a>0,aWl)就是一個(gè)等差數(shù)列，其公差d=log,q.

跟蹤訓(xùn)練1已知等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)卬=1,公差">0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別

是等比數(shù)列｛勿｝的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛斯｝與｛幾｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛c“｝對(duì)"6N*均有耕+卷H-----\-^—an+]成立，求q+cz+c3H-----Fc20i3.

解(1)由已知有42=1+乩“5=1+44,04=1+134,

二(1+402=(]+⑨(I+13Q,解得d=2(因?yàn)槔?).

=

an1+(〃-1>2=2〃-1.

又歷=。2=3,63=。5=9,?,?數(shù)列｛瓦J的公比為3,

???力=3?3〃-2=3〃T.

⑵由尹尹…+戶*，得

當(dāng)心2時(shí)，/尹…+/=而

L

兩式相減得，^=a?+l—a,,—2.

；.c%=2為=2-3"T(n>2).

又當(dāng)"=1時(shí)，言=色，：.ci=3.

.J3(〃=1),

.,.C|+C2+C3H--------HC2013

6—2X3233

=3+———=3+(-3+32°Q)=3

題型二數(shù)列的通項(xiàng)與求和

例2已知數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為S”且勾當(dāng)研尸彳骨斯.

(1)證明：數(shù)列佛是等比數(shù)列；

⑵求通項(xiàng)斯與前"項(xiàng)的和S”.

(1)證明因?yàn)椤╙=],即+1=斯,

當(dāng)"CN*時(shí)，*#0.

若4,篙：?訃*)為常數(shù)，

所以｛與｝是以:為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

⑵解由中是以聶首項(xiàng)，聶公比的等比數(shù)列，

得料Xg)i,

所以4"=〃義(3)”.

：.S?=1.(1)+2-(1)2+3-(1)34----F".即，

9=1.(乎+2.(3-----卜(〃-l)g)"+〃?(1)"+1，

21

|sn=(1)+(1)+即H-----卜(?—"?(獷

=一^一〃弓嚴(yán)，

1-2

...S,=2-g)"Tf?即

=2—(〃+2)擊.

綜上，%=〃?8)",S"=2-(〃+2>g)".

思維升華(1)一般數(shù)列的通項(xiàng)往往要構(gòu)造數(shù)列，此時(shí)要從證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解

題信息.

(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，本題選用的錯(cuò)位相減法，常用的還有分組求和，

裂項(xiàng)求和.

跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列｛〃,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為S”且S,產(chǎn)“&乙”CN*.

(1)求證：數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)/，北="+。2^------卜b〃,求Tn.

⑴證明尸吟2,〃GN*,

二.當(dāng)〃=1時(shí)，0=5]=----2—伍〃>。)，.'.6?i=l.

2S“一跖十%，

當(dāng)時(shí)，由

2SZj-i=。11+cin-\>

仔2?！ㄒ?+61〃-。"-1斯-1?

即5〃+為-1)3〃-1—1)=0,

Van-\-an-\>09.?.?！ㄒ??！╛]=1(〃22).

?.?數(shù)列｛恁｝是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.

n(n+\)

ff==

(2)斛由(1)可付a?n,Sn2

11」_1

n

2Srl77(77+1)n?+1-

Tn=b\+62+63]------\~hn

223nn+\

=一擊=備

題型三數(shù)列與不等式的綜合問題

例3(2013?廣東)設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S,‘已知”|=1,2金=斯+1—；/一〃一,，"GN：

⑴求“2的值；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

1117

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)”，有;----F--<7.

1?

(1)解2Si=a2—^—l—y又Si="i=l,

所以政=4.

]2

⑵解當(dāng)時(shí)，2S〃=〃〃“+]—勺/一；72-m?，

2S〃—[=(〃-1)斯一