空間向量的運算坐標(biāo)表示同步練習(xí)

空間向量的運算坐標(biāo)表示同步練習(xí)

一、選擇題

1.已知空間向量五=(3,0,1),b=(-2,1,n),c=(1,2,3)且0—則向

量不與方的夾角的余弦值為()

A.旦Bc.叱D.-叱

21212121

2.已知空間向量五二=(1,-1,0),b=(3,-2,1).貝3五+石|=()

A.y/5B.V6C.5D.V26

3.點M是棱長為3的正方體48CD-48道1。1中棱AB的中點，麗=2西，動點P

在正方形A415D(包括邊界)內(nèi)運動，且PH1〃平面DMN,則PC的長度范圍為()

A.[VT3,V19]B.C.[2V3(V19]D.[等,畫]

4.若向量1=(1,41)石=(2,-1,—2)，且五與石夾角的余弦值為玄，貝股等于()

6

A.-V2B.V2C.一夜或eD.2

5.二面角a—1-0為60。,4,8是棱/上的兩點,4。,8￡)分別在半平面戊、0內(nèi),4。1I,

BD11,且4B=4C=a,BD=2a,則CD的長為()

A.2aB.2V2aC.V5aD.娼a

6.如圖，平行六面體ABCC—ABiGDi中，AB=4。=24=1,^BAD=/.BAA1=

120°,/.DAA1=60°,則4cl=()

Di

A.1B.2C.V3-----1\

AB

7.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，

0(0,0,0),E(2&,0,0),F(0,2V2,0),B為E尸的中點，C為空間一點且滿足|說|=

|函=3,若cos<舐，前>=[,則無.赤=()

A.9B.7C.5D.3

8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點4(4,一3,5),8(—2,1,-7),則線段AB的中點坐標(biāo)是

()

A.(2,-2,-2)B.(1,-1,-1)C.(1,1,1)D.(2,2,2)

9.在空間直角坐標(biāo)系?！獂yz中，給出以下結(jié)論：①點4(1,3,—4)關(guān)于x軸的對稱點的

坐標(biāo)為(-1,-3,4)；②點P(-l,2,3)關(guān)于。孫平面對稱的點的坐標(biāo)是(一1,2,-3)；③

已知點4(一3,1,5)與點B(4,3,l),則AB的中點坐標(biāo)是2,3)；④兩點

”(一1,1,2),做1,3,3澗的距離為5.其中正確的是()

A.①②B.①③C.②③D.②④

10.已知空間向量a=(1,0,1),4=Q,1,m五不=3則向量五與43(4力0)的夾角為()

A.IB.何？C.gD.刎冷

oo6S33

11.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABCC為矩形，E為PB

的中點，AD1AE,且P4=4B=夜，AD=AE=1,則二

面角8-EC-。的正弦值是()

BTC-TD1

12.在空間直角坐標(biāo)系。一xyz中，0(0,0,0),E(2V2,0,0),F(0,2/,0),8為E尸的中點，

C為空間一點且滿足|萬|=|CB|=3>若cos<~EF,~BC>=3,則芯.而=()

A.9B.7C.5D.3

二、填空題

13.若不=(1,1,0),b=(-1,0,2).則與Z+B同方向的單位向量坐標(biāo)是.

14.已知之=(2,—1,0)，b=(/c,0,l)-若(乙3>=60。，則卜=-------

15.已知五=(4,2,—4),b=(6,-3,3)，則|五一石|=?

16,若向量五=(x,4,5),方=(1,-2,2)，且五與石的夾角的余弦值為半，則實數(shù)x的值

為?

17.已知4(2,—5,1),B(2,—4,2),C(l,-4,1),則同與左的夾角為.

三、解答題

18.已知空間中三點4(2,0,-2),5(1,-1,-2),C(3,0,-4),幽=而,b=AC.

(1)若|)=3,且W〃品,求向量六

(〃)己知向量k五+E與方互相垂直，求上的值；

(〃/)求△ABC的面積.

19.已知空間三點A(—2Q⑵，磯一1,1,2),。(一3,0,3).設(shè)W=渴，丁=渴，

(1)求五和B的夾角仇

(2)若向量k五+石與用/一斤互相垂直，求上的值.

(3)求他+3科

20.己知向量五=(1,2,-2),b=(4,-2,4)，c=(3,m,n).

(1)求五一又

(2)若五〃高求〃?，〃；

(3)求cos<a,b>.

21.如圖，直三棱柱ABC-的所有棱長都是2,D,E分別是4C,C6的中點.

(1)求證：4￡_1_平面48。；

求二面角-%的余弦值.

(2)B-ArD

答案和解析

1.【答案】B

【解答】

解：「向量五=(3,0,1),b=(-2,1>般)，3=(1,2,3),

u-c—(2,一2,—2)>

■■■(a-c)-b=2,

2x(-2)+(-2)x1+(-2)xn=2,解得n=-4,

故匕=(-2,1?—4),

二向量力與石的夾角的余弦值為：

->r_a-_3x(-2)+0xl+lx(-4)_1210

C0Sa，-|a|-|b|-V32+02+12X/(-2)2+12+(-4)2-—21,

故選艮

2.【答案】D

【解答】

解：":五=(1,—1,0),b=(3,—2,1)，

-.a+b=(4,-3,1)，：.\a+b\=742+(-3)2+I2=V26.

故選：D.

3.【答案】B

【解析】解：以。為原點，D4為x軸，CC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

平面DWN截正方體ABCO-AiBiGD］的截面為梯形DWEN,其中”E〃CN,BE=1,

取GA中點尸，在上取點H,使DH=2,在上取點G,使4G=1,

則平面DMEN〃平面BiFHG,

???動點P在正方形A41DDi(包括邊界)內(nèi)運動，且PS〃平面DMN,

??.P點的軌跡是線段GH,

易知G(3,0,1),H(0,0,2),C(0,3,0),

GH=(-3,0,1),GC=(-3,3,-1),

???點C到線段GH的距離d=|GC|-Jl-cos2(GC,GH)=V19-Jl-(7^7^=雪，

PC的長度的最小值為雙至，

3

GC=V19,HC=g,[PC長度的最大值為g.

???PC的長度范圍為[手,內(nèi)].

4.【答案】A

【解析】解：?向量W=(1,兒1),&=(2,—1,一2)，

五與石夾角的余弦值為今

U,b__A_>/2

???cos<a,b>=

[a\\b\-V2+P-V9-V

解得A=—\/2(2=企舍去).

故選：A.

5.【答案】A

【解答】

解：?.?4C_LZ,BD1/,

AC<麗>=60。，且宿瓦？=0，ABBD=0,

■■■'CD='CA+AB+前,

\CD\=J(CA+AB+BD)2

=yja2+a2+(2a)2+2a-2acosl20°=2a-

故選A.

6.【答案】D

【解答】

解：因為底面。是平行四邊形，

ABCAB^AD=AAy=1,/.BAD=^BAAX=120°,

NZMAi=60°,又石=赤+而+初,

22

所以ACi=AB+A^+AA^2+2ABAD+2A^BAAI+2AD'AAI_]+]+]_2X——2X二+2X^=2

-22T2-

因此AG的長為

故選D

7.【答案】D

【解答】

解：設(shè)C(x,y,z),

因為。(0,0,0),E(2直,0,0),F(0,2V2,0),8為EF的中點，

則B(或，四,0),

EF=(-2V2,2V2,0)，BC=(x-V2,y-V2,z).

因為|CO|=|CB|=3,且cos(EF,BC)—

所以“2+y2+z2=J(x—V2)2+(y—V2)2+z2=3,

-2夜(x-夜)+2近(y-VS)+0xz_1

4X3―6’

解得x=立,y=越,z=土亙，

所以歷?討=Ox立+2&x型+叵x0=3,

442

故選D.

8.【答案】B

【解答】

解：在空間直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(4,—3,5),點B的坐標(biāo)為(—2,1,-7),

則線段AB的中點坐標(biāo)為(1,—1,一1).

故選：B.

9.【答案】C

【解答】

解：①點4(1,3,-4)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為(1,—3,4),故①錯誤；

②點P(—1,2,3)關(guān)于Oxy平面對稱的點的坐標(biāo)是(一1,2,-3),故②正確；

③已知點4(一3,1,5)與點B(4,3,1),則AB的中點坐標(biāo)是62,3),故③正確；

④兩點2)、N(l,3,3)間的距離為：J(l++(3—1)2+(3—2)2=345,

故④錯誤；

正確的是②③.

故選：C.

10.【答案】B

【解析】

【解答】

解：???空間向量五=(1,0,1)，6=(1,1.n),且方i=3

則方?石=1+肛=3，解得n=2,

代入得cos<?5>=^=^=y.

又向量夾角范圍：［0,兀］,故乙石的夾角為全

則五與;1片的夾角，當(dāng);1>0時為32<0時為母.

故選：B.

11.【答案】B

【解答】

解：???底面A8CD為矩形，則4。1AB,又401AE,S.ABCiAE=A,.-.AD_L平面PAB,

：.AD1APo

■：PA=AB=V2,E為PB中點,AE=1,

22

貝”加+荏|=2n9+2AP-AB+AB=4=而?而=0，ABLAP.

以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸，

則B(e,0,0),E(,,0,苧),C(V2,l,0),D(0,l,0).

BC=(0,1,0),EC=(y,l,-y),CD=(一夜,0,0)，

n-BC=y=0

設(shè)平面BEC的法向量為記=(%,y,z),則__>企V2，令％=1,則y=0,

n?CE=——x+y---z=0

2z2

z=l,則元=(1,0,1)，

(m-DC=—y［2x=0

設(shè)平面DEC的法向量為沆=(%,y,z),則｛一大7t72V2z令y=l,則x=0,

n-CE=——%+v---z=0

2J2

z=&,則沅=(0,1,企)，

,一t、y/2yf3

COSVTH,Tl>=—p—=—，

x/2xV33

則B-EC-。的正弦值為史，

3

故選B.

12.【答案】D

【解答】

解:設(shè)C(x,y,z),因為0(0,0,0),E(2V2,0,0),F(0,2或,0),B為所的中點，則B(我,V2,0),

~EF=(-2V2,2V2,0)，BC=(x-V2,y-V2,z).因為|而|=|方|=3，若

cos(殖舐)=*,

-2凝%-物+2逅(y-物+Oxz_1

4X3-6’

解得欠=四,y=辿,z=土每，

所以0??而=Ox立+2&X型+匣xO=3,

4412

故選O.

13.【答案】(0,?,當(dāng))

【解答】

解：v~a=(1,1,0),b=(-1,0,2)，

-a4-b=(0,1,2)，

?:與~3+升司方向的單位向量，

?,?設(shè)單位向量為(0M，2m),m>0,

且？n2+4m2=1,

國軍得?n=Y

:.與N+9同方向的單位向量是（0,g,學(xué)），

故答案為：（0,g,雪）.

14.【答案】運

11

【解答】

解：???五=(2,-1,0),b=(fc/O,1),<a,b>=60%

C0S<a>°>=麗

???cos60°=/2k—1

J5.2+1)2

解得仁等仁一等（舍去）

故答案為運.

11

15.【答案】V78

【解析】解：Tn=(4,2,-4),b=(6,-3,3).

?-a—b=(—2,5,—7),

.-.\a-b\=J(-2)2+52+(-7)2=V78.

故答案為：V78.

16.【答案】3

【解答】

解：；向量R=(x,4,5),b=(1,-2,2)，,

???a-b=x-8+10=%+2>|a|=Vx2+42+52=V41+x2,|K|=

712+(-2)2+22=3.

又落石夾角的余弦值為四，

6

.y/2_ab_x+2

6|a||b|V41+X2X3,

解得x=3.

故答案為3.

17.【答案W

【解答】

解：=(2,-2,4)-(2,-5,1)=(0,3,3),

^C=(1,-4,1)-(2,-5,1)=(-1,1.0),

:.AB-AC=(0,3,3),(-1,1>0)=0+3+0=3.

再由|荏|=3&，|前|=遮，設(shè)向量荏與I?的夾角氏

則有荏-AC=\AB\\AC\cosd=3A/2-V2cosd=6cos6.

故有3=6cos6,???cos9=

再由OSOS兀，可得。=*

故答案為土

18.【答案】解：(/)BC=(2,1,-2).由于4〃元,故可設(shè)7=(2n,n,-2n),

故|工|=V4n2+n2+4n2=3|n|=3,

解得n=±1，

故不為(2,1,—2)或(一2,-1,2);

(II)a=AB=(-1,-1,O),K=(1,0,-2).

ka+b=(1—k,—k,-2)，

由于kW+3與石垂直，

則(1-k,-k,-2)?(1,0,-2)=1-fc+4=0,

所以k=5;

(〃/)依題意|四|=|(-1,-1,0)|=V2,|^4C|=|(1,0,-2)|=V5,|BC|=|(2,L—2)|=3,

故由余弦定理得coe4=2T_3=一"，

2xV2xv5ylO

所以ginA=y/1—CCM2^=3^^,

故三角形面積為3池H前卜in4=；xgx逐x嚕=|.

19.【答案】解：(1)空間三點4(—2,0,2),2),C(-3,0,3).

設(shè)五=4B=(1J,0),b—AC—(—1,0，1)，

???五?b=-1+0+0=—1，|a|=V2,\b\=V2，

cab-11

???COSd=,一,m=—=-,

同同22

777

0<0<7T,???0=—.

(2)???向量k方+3與左?/_7互相垂直，

(fca+K)?(fca-b)=fc2|a|2-|K|2=2/c2-2=0，

解得k=±l.

(3)|a+3b|2=|a|2+9|b|2+6a-K=2+9x2+6x(-1)=14.

則|五+3b/=V14.

20.【答案】解：(1)因為五=(1,2,—2),K=(4,-2,4)

所以日一3=(1-4,2+2,-2—4)=(-3,4,-6)；

(2)由五=