高中必修四知識點(diǎn)試題

第一章三角函數(shù)

'正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱a

為第幾象限角.

第一象限角的集合為{a360。<a<h3600+90。/ez}

第二象限角的集合為{a\k-360°+90。<h360°+180°,攵ez}

第三象限角的集合為k?360°+180°<a<h360°+270°次ez}

第四象限角的集合為［a\k-360°+270°<a<k-360°+360°次GZ}

終邊在x軸上的角的集合為{a|a=h180°/eZ}

終邊在y軸上的角的集合為{a|a=h180。+90。,攵ez}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{a卜=人90°?eZ}

3、與角a終邊相同的角的集合為{，忸=h360。+a,正Z}

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

5、半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,則角?的弧度數(shù)的絕對值是.

r

6、弧度制與角度制的換算公式：2^=360°,1°=—,l=f—?57.3°.

180（萬J

7、若扇形的圓心角為a（a為弧度制），半徑為廣，弧長為/,周長為C,面積為S,則

I=r\a\,C=2r+l,S=^lr=^\a\r2.

8、設(shè)a是一個(gè)任意大小的角，a的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（尤,y）,它與原點(diǎn)的距

離是7=J無2+y=〉0），貝（Jsina=2,cosa=—,tana=—（x^O）.

9、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正，第二象限正弦為正,

第三象限正切為正，第四象限余弦為正.

10、三角函數(shù)線：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.

11角三角函數(shù)的基本關(guān)系：

(l)sin2ez4-cos2a=1(sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2;

/c\Sina(.sina)g皿口十.

(2)------=tanasina=tanacosa,cosa=-------3)倒數(shù)關(guān)系:tanacota=1

cosa\tanaJ

12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

(l)sin(2攵萬+a)=sina,cos(2攵4+a)=cosa,tan(2^+dr)=tan(2(Z:GZ).

(2)sin(7r+a)=-sina；cos(4+a)=-cos。,tan("+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin(乃一a)=sina,cos(zr-a)=-cosa,tan(^r-a)=-tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

71

——+a=cosa

2

cos—+cr=-sina.

(2J

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.

13、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移網(wǎng)個(gè)單位長度，得到函數(shù),y=sin（x+夕）的圖象；

再將函數(shù)y=sin（x+°）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的《倍（縱坐標(biāo)不

變），得到函數(shù)y=sin（s+0）的圖象;再將函數(shù)y=sin?x+°）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐

標(biāo)伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=Asin（s+°）的圖象.

②數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），得

CO

到函數(shù)

2

y=sino）x的圖象;再將函數(shù)y=sin6yx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移必個(gè)單位長度，

CD

得到函數(shù)丁=sin（3+°）的圖象；再將函數(shù)》=sin（8+⑴的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸

長（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=Asin（。尢+夕）的圖象.

14、函數(shù)y=Asin（s+e）（A>0,0>0）的性質(zhì)：

①振幅：A;②周期：T=—；③頻率：f=-=——；④相位：cox+（p;⑤初相：（P.

CDT2萬

函數(shù)y=Asin（s;+0）+B，當(dāng)了3時(shí)，取得最小值為為由；當(dāng)行々時(shí)，取得最大值

11T

為Xnax,則A=Q（ymax-ymin）,B="（^max+^min）,耳=々一玉（％〈々）.

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

y=sinxy-cosxy-tanxy=cotx

▲▲

yy1：4

y=cotx

1:\

圖象

；；\x

Y77-n0n..it

22\

定義\xk/r+—,keZ\xx豐kjt+土，keZ

[2[2

RR

域

值域[-1』[-1』RR

當(dāng)當(dāng)x=2kMk￡Z）時(shí)，

“乃

X=2K7TH——Xnax=1；當(dāng)既無最大值也無最小既無最大值也無最小

2

最值

x=2k7l+71

（丘z）時(shí)，B值

小eZ）時(shí)，3n=-l.

Xnax=1'當(dāng)

3

X=2k7T--

2

(AeZ)時(shí)，

Nmin=T?

2/r2萬7171

周期

性

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

性

在

2k7r--,2k7r+—

_22J

在

生

[2%萬一萬,2%乃]（左GZ）

(,兀1萬、

單調(diào)伏GZ)上是增函數(shù);K7T-—,K7T+—\

上是增函數(shù)；在

性在

(ReZ)上是增函

[2%肛2左左+乃]

_.7C_.37r

2k7i-\——2k兀?---敢.

L22_?（keZ）上是減函數(shù).

(ZeZ)上是減函數(shù).

對稱中心

對稱中心荷稱中心對稱中心

對稱（左1,0）（女GZ）

（人乃+予0）（女GZ）:容。kGZ）（當(dāng),°卜eZ）

性對稱軸

又寸稱軸=上刀■（&）無對稱軸

x=k兀+/{keZ）xeZ無又寸稱5由

4

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度.零向量：長度為0的向量.

單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向量.

17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn).

⑶三角形不等式：同一愀卜憶+形同+忖.

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：a+b^b+a;

②結(jié)合律：（a+^）+c=a+（^+c）;?a+O=b+a=a.

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。,b=（x2,y2）,則。+很=（玉+々,必+必）.

18、向量減法運(yùn)算：?-^=AC-AB=BC

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量.

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=（王,必）,b={x2,y2），貝（]萬一B=（王一必）?

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（％],弘），（孫必），則AB=（%-々，乂一%）.

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)％與向量M的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作/IM.

①同|=|刈同；

②當(dāng)；1>0時(shí)，丸）的方向與口的方向相同；當(dāng)丸<0時(shí)，4）的方向與口的方向相反；當(dāng)

2=0時(shí)，25=6.

5

（2）運(yùn)算律：①/!（〃））=行;+=+;（?）=Aa+Ab.

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=（x,y），則=4（x,y）=（/bc,/ly）.

20、向量共線定理：向量用2=0）與很共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯——個(gè)實(shí)數(shù)X，使B=府.

設(shè)。=（xi，yj,b={x2,y2）其中一聲0，則當(dāng)且僅當(dāng)菁%-々y=0時(shí)，向量。、B倒王。）

共線.

21、平面向量基本定理：如果［、可是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面

內(nèi)的任意向量之，有且只有一對實(shí)數(shù)4、4，使萬=41+4窈.（不共線的向量1、Z作

為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P是線段PF?上的一點(diǎn)，耳、P2的坐標(biāo)分別是（%，X）,（9，必），

當(dāng)年=2畫時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什*'*）.（當(dāng)幾=1時(shí)，就為中點(diǎn)公式。）

I1+41+4/

23、平面向量的數(shù)量積：

⑴方防=間可3噸W0,BW6,OY"18O°）.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì)股之和B都是非零向量，則①=0.②當(dāng)方與B同向時(shí)，之名=|同W；

當(dāng)5與B反向時(shí)，）/=—同W；無之=方2=同2或同=訴意.③卜同同.

（3）運(yùn)算律：①方===;@（a+byc^a-c+b-c.

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量2=（七,x）,B=（馬，必），則之?B=玉々+X必?

若。=（x,y）,則同2=x2+y2,或同=Jd+y2.設(shè)五=（百,%），很=（%，％），則

萬_LB<=>百9+%%=0?

設(shè)d、B都是非零向量，2=（4凹），b=（x2,y2）,。是。與B的夾角，則

rnqn=m■坐

.同W&；；y：d"+y；'

知識鏈接：空間向量

6

空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，

求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.

1、直線的方向向量和平面的法向量

(1).直線的方向向量：

若A、B是直線/上的任意兩點(diǎn)，則,豆為直線/的一個(gè)方向向量；與陽平行的任意非

零向量也是直線/的方向向量.

⑵.平面的法向量：

若向量3所在直線垂直于平面a,則稱這個(gè)向量垂直于平面打，記作3La,如果

nVa,那么向量n叫做平面a的法向量.

(3).平面的法向量的求法(待定系數(shù)法)：

①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.

②設(shè)平面a的法向量為n=(x,y,z).

③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)Z=(%,%,&)，?=(仇/2也).

，一一

n-a=O

④根據(jù)法向量定義建立方程組一_.

n-h=0

⑤解方程組，取其中一組解，即得平面a的法向量.

7

1、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系

（I）線線平行

設(shè)直線4,4的方向向量分別是，則要證明/J4，只需證明力?不，即1=比（％€/?）.

即：兩直線平行或重合0兩直線的方向向量共線。

⑵線面平行

①（法一）設(shè)直線/的方向向量是￡,平面。的法向量是Z,則要證明/Ila,只需證明

a.Lu，即Q?〃=0.

即：直線與平面平行"直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外

②（法二）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方

向向量是共線向量即可.

（3）面面平行

若平面a的法向量為“，平面￡的法向量為u,要證anp，只需證〃Ilv，即證w=/lv.

即：兩平面平行或重合O兩平面的法向量共線。

3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系

⑴線線垂直

設(shè)直線4,4的方向向量分別是九否，則要證明414,只需證明々，區(qū),即=5=0.

即：兩直線垂直o兩直線的方向向量垂直。

（2）線面垂直

①（法一）設(shè)直線/的方向向量是Z,平面a的法向量是】，則要證明，只需證明］

IIu，即q=.

②（法二）設(shè)直線/的方向向量是￡,平面a內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為百、7,若

8

,_—.

a-m=0…

__，則/_L。

a-n=0

即：直線與平面垂直o直線的方向向量與平面的法向量共線o直線的方向向量與平面

內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。

（3）面面垂直

若平面a的法向量為U，平面P的法向量為V，要證aV/3，只需證"_Lu，即證M?v=0.

即：兩平面垂直O(jiān)兩平面的法向量垂直。

4、利用向量求空間角

⑴求異面直線所成的角

已知。力為兩異面直線，A,C與B,D分別是。力上的任意兩點(diǎn)，a力所成的角為6,

ACBD

則cos。

⑵賽直線和平面所成的角

①定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的

角?

②求法：設(shè)直線/的方向向量為々，平面a的法向量為％,直線與平面所成的角為。，a

與Z的夾角為e,則。為/的余角或°的補(bǔ)角

的余角.即有:

an

sin^=|cos(p\-

（3）求二面角

①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直

線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做

二面角的面.

9

二面角的平面角是指在二面角a-/一4的棱上任取一點(diǎn)0,分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作

射線A01l,B0Yl，則NA03為二面角a-1-p的平面角.

②求法：設(shè)二面角a-l-p的兩個(gè)半平面的法向量分別為碗、［，再設(shè)藍(lán)、3的夾角為

(P，二面角的平面角為。，則二面角。為石、［的夾角8或其補(bǔ)角%一°.

根據(jù)具體圖形確定，是銳角或是鈍角：

m-n

?如果0是銳角，則cose=|cos°|==^,

nmn

m-n

BP6^=arccos;

m\\n

m-n

?如果。是鈍角，貝（Jcos9=-|cose|=zTipr

一m-一n、

即。=arccos-

5、:求空間距離

點(diǎn)Q到直線,距離

若Q為直線/外的一點(diǎn),尸在直線/上,M為直線/的方向向量，B=而，則點(diǎn)Q到直線

I距離為。^^\a\\b\)2-(a-b)2

\a\

(2)點(diǎn)A到平面a的距離

若點(diǎn)夕為平面。外一點(diǎn)，點(diǎn)”為平面。內(nèi)任一點(diǎn),

平面a的法向量為［，貝IIP到平面a的距離就等于MP在法向量n方向上的投影的絕對值.

即4=1西cos^J叫

10

?___?n-MP

1?

M.兩

口

⑶直線q與平面色之間的距離

當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知,直線到平面

的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離,即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。

\n-MP\

即d'LpjA

⑷兩平行平面%￡之間的距離

利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。

限而

即

⑸異面直線間的距離

設(shè)向量7與兩異面直線都垂直，^^。，「^"則兩異面直線兄匕間的距離^就是

MP在向量n方向上投影的絕對值。

\n-MP\

即1\一^.

6、三垂線定理及其逆定理

⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也

和這條斜線垂直.

11

POLa,Oea

推理模式：PAna=A[=>aA.PA

aua,a_LOA

概括為：垂直于射影就垂直于斜線.

⑵三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也

和這條斜線的射影垂直.

POJ_a,0ea

推理模式：PAfla=A，na_LA。

aua,aJ-AP

概括為：垂直于斜線就垂直于射影.

7,三余弦定理

設(shè)AC是平面a內(nèi)的任一條直線AD是a的一條斜線AB在a內(nèi)的射影，且BD±AD,

垂足為D.設(shè)AB與a(AD)所成的角為我,AD與AC所成的角為02,AB與AC所成的

角為。.貝(]cos。=cos伍cos2.

8、面積射影定理

已知平面月內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S(S?j,它在平面a內(nèi)的射影圖形的面積為

S'(S射)，平面a與平面￡所成的二面角的大小為銳二面角。，則

cos^=—.

SS原

9、一個(gè)結(jié)論

12

長度為/的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為小，2、4，夾角分別為

4、％、。3,則有/=/：+/；+/；0cos26)+C0g2a+COS)4=1

222

<=>sin4+sin92+sin4=2.

(立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例).

13

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:

(i)cos(a-/)=cosacos/+sinasin〃;(2)cos(a+^)=cos6zcos^-sincrsin^;

⑶sin(a—/?)=sinacos〃一cosasin〃；@sin(a+/?)=sinacos〃+cosasin〃;

(tan。-tan〃=tan(a一夕)(1+tanatanQ));

/c、tana+tan

⑹皿…=■=>(tana+tan￡=tan(a+/7)。-tanatan尸)).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

(1)

sin2a=2sinacosa.=1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa產(chǎn)

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos21=1-2sin2a

=>升幕公式1+cosa=2cos2—,1-cos^z=2sin2—

22

cq-八32cos2a+ll-cos2cr

=>降曷公式cos-a=-------------,sin2a

22

26、萬能公式

a

2tan—1-,tan2—。

??

sma=----------------;cosa2

aa

1+tan9”一1+tan9-

22

-2tana

tan2a=------------

1-tan

27、

14

n(后兩個(gè)不用判斷符號，更加好

用)

28、合一變形n把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為"一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方"的

y=Asin(g+0)+3形式。Asina+Bcosa=，A?+B?sin(a+夕)，其中tan°=1.

29、三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，

靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能.常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

(1)角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角

與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的

差異，使問題獲解，對角的變形如：

①2a是a的二倍；4a是2a的二倍；a是巴的二倍；三是胃的二倍；

224

②15。=45。-300=60"-45"=雙;問：sin—=;

212----------------

③a=(a+尸)一尸；+a=[-(￡—a)；

424

JTTT

⑤2a=(a+Z7)+(a—B)—(—Fa)—(---a);等等

44

(2)函數(shù)各稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余

弦是基礎(chǔ)，通常化切為弦，變異名為同名。

(3)常數(shù)代換:在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例

如常數(shù)"1"的代換變形有：

1=sin2a+cos2a=tanacota-sin90°=tan45°

15

(4)幕的變換:降幕是三角變換時(shí)常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降幕處

理的方法。常用降幕公式有：；.降幕并非絕對，

有時(shí)需要升幕,如對無理式J1+cosa常用升鬲化為有理式，常用升幕公式

有：；；

(5)公式變形:三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。

1+tana1-tana

如：--------=__________________；-------=________________；

1-tana1+tana

tana+tan〃=;1-tancrtan(3-;

tana-tanJ3=;14-tancrtan/?=;

2tana=;1-tan2a=;

tan200+tan40"+gtan20"tan400=;

sina+cosa-=;

asina+bcosa-=;(其

中tan0=;)

1+cosa-;1-cosa-;

(6)三角函數(shù)式的化簡運(yùn)算通常從：〃角、名、形、黑"四方面入手；

基本規(guī)則是：見切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理

化有理，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。

如：sin500(1+V3tan10")=;

tana-cota-(

16

I<HC課后強(qiáng)化作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化

1.（文）（2011?廣州檢測）若sina<0且tana>0,則a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［答案］C

［解析］???sina<0,「.a為第三、四象限角或終邊落在y軸負(fù)半

軸上，

.tana>0,.'a為第一、三象限角，

「.a為第三象限角.

（理）（2011?綿陽二診）已知角A同時(shí)滿足siiL4>0且taiL4<0,貝lj角

A的終邊一定落在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

I答案］B

［解析］由siiU>0且taiU<0可知，cos/<0,所以角力的終邊一

定落在第二象限.選B.

2.（2010?安徽省168中學(xué)聯(lián)考）已知集合/=｛（*,y）\y=sinx｝,

集合6=｛（x,j）［F=tanx｝,則/GE=（）

A.｛（0,0）｝

B.｛（7T,0）,（0,0）｝

C.｛（x,y）\K=kn,y=0,4WZ｝

D.0

借案］c

17

［解析］函數(shù)y=sinx與y=tanx圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（Am0）,k

￡Z.

3.設(shè)“=§曜，Z>=cosj,c=T，</=tanp則下列各式正確的是

o454

（）

A.a>b>d>cB.b>a>c>d

C.c>b>d>aD.c>d>b>a

I答案］D

［解析］因?yàn)椤?b==,c=?>1,d=1,所以a<b<d<c.

/r4J

4.（文）（2010?河南新鄉(xiāng)市模擬）已知角a終邊上一點(diǎn)P（一

4?,3a）（?<0）,貝！hina的值為（）

,3^3

AqB.一耳

C.|D.4

5

【答案】B

［解析］a<0,->.r=-\l（~4a）2+（3a）2=-5a,

?*.sina=-=故選B.

r3

（理）（2010?河北正定中學(xué)模擬）已知角a終邊上一點(diǎn)

p（siny,cosy^）,則角a的最小正值為（）

A,6nB,6

c5

C.鏟D?于

［答案］B

18

［解析］由條件知，cosa=sin竺=sin?=坐

.2元711

sina=cos§=_cosj=~29

???角a為第四象限角，」.a=2元-*故選B.

,,..,,,?.6sina+cosa,,?

5.已知點(diǎn)P（l,2）在角a的終邊上，則二詁〃一工二〃的值為（）

A.3B.4v

I答案IB

［解析］由條件知tana=2,

6sina+cosa6tana+113

3sina-2cosa3tana-24"

6.(2010?廣東佛山順德區(qū)質(zhì)檢)函數(shù)作)=sinx在區(qū)間燈上是

增函數(shù)，且/(a)=—1,/(〃)=1,則cos9亭=()

A.0B.申

C.-1D.1

I答案ID

定7Ta+b

［解析］由條件知，〃=一不+2〃元(A€Z),/>=y+2kn,cos-3-

=cos2^71=1.

7.（2011?北京東城區(qū)質(zhì)檢）若點(diǎn)P（x,仍是300。角終邊上異于原點(diǎn)

的一點(diǎn)，貝吐的值為.

［答案］一審

19

［解析］依題意，知己=121>300。=-tan60°=~\［3.

8.（2011?太原調(diào)研）已知角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸

重合，點(diǎn)P（—4嗎3〃1）（〃1>0）是角a終邊上一點(diǎn)，貝（J2sina+cosa=

*

2

借案］5

［解析］由條件知x=-4m,y=3m,r=-\jx2+y2=5|?i|=5m,

..23x4

--sina==~,cosa=-=

r5r5

-2sina+cosa=

能力拓展提高

1.（文）（2011?深圳一調(diào)、山東濟(jì)寧一模）已知點(diǎn)P（sin/,cos彳）落

在角夕的終邊上，且夕￡［0,2兀），則〃的值為（）

?兀437r

A.T4B.74

八57r、77r

［答案］D

3IT

［解析］由sin-^->0,cos^y）知角夕是第四象限的角，,「tan〃

3兀

cos^-_

477r

=~=-1,夕€［0,2兀），**.0=~T.

s?ny

（理）（2011?新課標(biāo)全國理，5）已知角e的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊

與X軸的正半軸重合，終邊在直線>=2*上，貝IJcos20=（）

20

4

A.

5

C.|D.：

I答案］B

［解析］依題意：tan"±2,;.cos”土心,

23acos2^-sin20

二?cos2〃=2cos2〃-=廠1=-耳或32〃=荷〃+-2〃=

1-tan2，1-43

1+tan26>=1+4=-f故選B.

2.（2010?青島市質(zhì)檢）已知｛%｝為等差數(shù)歹（J,若用+恁+的二元,

則cosa+ag）的值為（）

A.-1B.-平

4D善

［答案］A

［解析］由條件知，元=“1+%+。9=3%，?，-?5=3,

/、?27rn1

COS(?2+48)=COS2%=COS-^-=—cos丁r故選A.

3.(2011?綿陽二診)記a=sin(cos2010°),Z>=sin(sin2010°),c=

cos(sin2010°),rf=cos(cos2010°),則a、b、c、d中最大的是()

A.aB.b

C.cD.d

［答案］C

I解析］注意至U2010°=360°X5+180。+30。，因此sin2010°=-

21

sin30°=cos2010°=-cos30°=--y<-^<0,-?<-1

]S711sA/3

<0,0<T<^-<T,co%>cos;>0,a=sin（-,）=-sin^-<0,b=sin（-

/44乙/

：）=-sin^<0,c=cos（-；）=cosj>0,d=cos（-率）=co：

因此選c.

［點(diǎn)評］本題“麻雀雖小，五臟俱全”考查了終邊相同的角、誘

導(dǎo)公式、正余弦函數(shù)的單調(diào)性等，應(yīng)加強(qiáng)這種難度不大，對基礎(chǔ)知識

要求掌握熟練的小綜合訓(xùn)練.

4.（文）（2010?北京西城區(qū)抽檢）設(shè)0＜回＜￡,則下列不等式中一定

成立的是（）

A.sin2a>sinaB.cos2a<cosa

C.tan2a>tanaD.cot2a<cota

借案］B

元

［解析］當(dāng)-彳＜々＜0時(shí)，4C、O不成立?如a—不則2a=

n]

2<~J5tan2a=一木,tana=

r

看，cot2?=cota=一小,而一木〈一看,此時(shí)，cot2a＞cota.

（理）如圖所示的程序框圖，運(yùn)行后輸出結(jié)果為（）

22

開始

A.1B.2680

C.2010D.1340

［答案］C

(nnnn.”

懈析I,「/(〃)=2sin|jy+^|+1=2cos-y+1.由S=S+H〃)及n

=〃+1知此程序框圖是計(jì)算數(shù)列%=2co號+1的前2010項(xiàng)的和.

7r+2c。號+1+2cos爭1

即S2。cos§+上1i++

20107T

2cos+1

3

nIn37r20107r71

=2lcosj+cos-y+cos!T+…+COS-~+2010=2X335Xcos^

2元37r47r57r

+cos5+cos-y+COS亍+COS三+cosiy+2010=2010.

5.（文）（2010?南京調(diào)研）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x,-6）,且tana

3

1則x的值為

［答案］10

23

-63

［解析］根據(jù)題意知tana=~^j=-《，所以x=10.

（理）已知/\ABC是銳角三角形，則點(diǎn)P（cosE-siivi,tanB—cotQ,

在第象限.

［答案］二

|解析|???△4BC為銳角三角形，.

0<B<T,0<C<?,且4+B>T，B+O?>

7T九一c九一九一

-j?>0,5>B>5-OO,

,.j=sinx與y=tanx在0,號上都是增函數(shù)，

siivi>sinj-tanJ5>tan/-cj,

sin/Acos—tanB>cotC,在第二象限.

6.在（0,2元）內(nèi)使sinx>cosx成立的x的取值范圍是.

I答案］（小苧）

［解析］由三角函數(shù)定義結(jié)合三角函數(shù)線知，在（0,2兀）內(nèi)，使

sinx>cosx成立的x的取值范圍為。苧）.

［點(diǎn)評］要熟知單位圓中的三角函數(shù)線在三角函數(shù)值的大小中

的應(yīng)用.

24

7.（文）（2010?上海嘉定區(qū)模擬）如圖所示,角a的終邊與單位圓（圓

心在原點(diǎn)，半徑為1的圓）交于第二象限的點(diǎn)［cosa,|）,則cosa一

sina=<

7

借案］-5

3

［解析］由條件知，sina=三，

4.7

cosa=-g,「?cosa-sina=一g.

（理）直線歹=2*+l和圓/+y=1交于4，6兩點(diǎn)，以x軸的正

方向?yàn)槭歼叄?4為終邊（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的角為a,05為終邊的角為

fi,求sin（a+/?）的值.

25

I答案］-f

［解析］將y=2x+1代入Y+/=1中得，5x2+4x=0,/.x=0

4(431

或一g,???4(0,1),5［一目,故

5Vsina=l,cosa=0,sinfi=

c4

COSjff=-g,

4

/?sin(a+0=sinacosy?+cosasin/?=-g.

8.（文）已知角a終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x,一啦）（x關(guān)0）,且cosa=^-x.

求sina+忑匕；的值.

［解析］?.P（x,-啦）（xN0）,

二.點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離r=迎+2.

26

r近.x小

Xcosa=七x,…cosa=/,=4x.

6#+26

TxWO,；.x=；.r=2小.

當(dāng)*=恒時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（師，一啦），

由三角函數(shù)的定義，有sina=一點(diǎn)，

??1_亞__6y［5+y［6

一sinatana~~6~^5~~6'

當(dāng)x=-，］歷時(shí)，同理可求得sina+馬京=一

（理）已知sin。、cos。是方程d一（陋一l）x+/n=0的兩根.

（1）求m的值；

sin，cosO

Q）求彳的值.

一cot。1—tan。

［解析］（1）由韋達(dá)定理可得

sin〃+cos。=5T①

sin，,cos〃=m②

由①得1+2sin^cos0=4-2班.

將②代入得利=不-巾，滿足A=（小一1）2-4次20,

故所求m的值為|-巾.

sin。cosOsin。cos。

（2）先化簡:+~+

1-cote1-tan。_cos。_sin。

sin，cos。

sin26>cos2^co』。-si，。

+=cos"+sin”

sin。-cos。cos。-sin，cos。-sin。

=y[3-l.

27

BXTK備選題庫

1.已知關(guān)于x的方程21—(巾+l)x+/〃=O的兩根為sin，和

cos，，且夕￡(0,2兀)，

八、分sin。.cosO占人告

()求的值；

11i—cot，1~—7t-an，

(2)求加的值；

(3)求方程的兩根及此時(shí)0的值.

［解析］(1)由韋達(dá)定理可知

‘小+1

sin0+cos?=_2~①

m

②

Isin^-cos^=vL

__sin。cos。sin2^cos?。

而------+-------=---------+---------

1-cot，1-tan〃sin，-cos0cos，-sin，

V§+1

=sin。+cos。=-2~；

5

(2)由①兩邊平方得1+2sin，cos，=2?

將②代入得加=半；

(3)當(dāng)陽=孚時(shí)，原方程變?yōu)?/p>

2x，-(1+小)x+*=0,解得為=乎，x2=p

28

rrjr

又'：：.或不

8￡(0,2?r),.8=UJ

2.周長為20cm的扇形面積最大時(shí)，用該扇形卷成圓錐的側(cè)面,

求此圓錐的體積.

［解析］設(shè)扇形半徑為尸，弧長為/,則/+2—20,

20-2r,

S=jr/=^(20-2r)?r=(10-r),r,

???當(dāng)r=5時(shí)，