線性代數(shù)課后習(xí)題答案

線性代數(shù)課后習(xí)題答案

線性代數(shù)課后題詳解

第一章行列式

1.利用對角線法則計算下列三階行列式：相信自己加油

201abc

(1)141；(2)bca183cab

lllxyxy

(3)abc；(4)yxyx.a2b2c2xyxy

201

解注意看過程解答（1）14124)30(1)(1)118

183

0132(1)81(4)(1)

二248164

二4

abc

(2)bcaacbbaccbabbbaaaccccab

3abca3b3c3

(3)

111

abcbc2ca2ab2ac2ba2cb2a2b2c2

(ab)(bc)(ca)

xyxy

(4)yxyx

xyxy

x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3

3xy(xy)y33x2y3y2xx3y3x32(x3y3)

2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：耐心成就大業(yè)

(1)1234；(2)4132；

(3)3421；(4)2413；

(5)13…(2n1)24…(2n)；

(6)13…(2n1)(2n)(2n2)…2.

解(1)逆序數(shù)為011

(2)逆序數(shù)為4：41,43,42,32

(3)逆序數(shù)為5：32,31,42,41,21

(4)逆序數(shù)為3：21,41,43

(5)逆序數(shù)為n(n1)2：

321個52,542個72,74,763個...........

(2n1)2,(2n1)4,(2n1)6,…，(2n1)(2n2)

(n1)個

(6)逆序數(shù)為n(n1)

321個52,542個...............

(2n1)2,(2n1)4,(2n1)6,…，(2n1)(2n2)

(n1)個

421個

62,642個

(2n)2,(2n)4,(2n)6,…，(2n)(2n2)(n1)個

3.寫出四階行列式中含有因子alla23的項.

解由定義知，四階行列式的一般項為

(1)talpla2p2a3p3a4p4,其中t為pip2P3P4的逆序數(shù).由于pl1,p23已固定,

plp2p3p4只能形如只口□,即1324或1342.對應(yīng)的t分別為

00101或00022

alla23a32a44和alla23a34a42為所求.

4.計算下列各行列式：多練習(xí)方能成大財

41242141

1202

3121

(1)

10520；(2)

1232；

01175062

abacaealOO

biO

(3)bdcdde1

；(4)

clbfcfef01

00Id

解412441210

1202c2c31202(l)520c47c310321401170010

4110

二122(1)43

31422

41109910

二122c2c3

314clcOO2=0231714

21412140

3121c4c23122(2)12321230

50625062

21402140

r4r23122r4rl3122

12301230=0

21400000

abacaebee

(3)bdcdde=adfbcebfcfefbce

111

=adfbcel1l=4abcdef111

alOOOlabaOlbl0r(4)lar2IblO

0lclOlei00IdOOId

1abaOad

=(1)(1)21Iclclaba

3dc2leicd

0ldO10

(1)(1)321abad=11cd=abcdabcdad1

5,證明：a2abb2

(l)2aab2b=(ab)3;111

axbyaybzazbxxyz

(2)aybzazbxaxby=(a3b3)yzx;azbxaxbyaybzzxy3

3a2(al)2(a2)2(a3)2

b2

(3)(bl)2(b2)2(b3)2

c2(cl)2(c2)2(c3)20;d2(dl)2(d2)2(d3)2

1111

abed

(4)a2b2c2d2

a4b4c4d4

(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);x1000

Ox100

(5)xnal

Ixnanlxan.

000x1

ananlan2a2xal

證明a2aba2b2a2

(1)左邊c2cl

c3c2aba2b2a1100

2

3lb2a2

(Daba

ba2b2a

(ba)(ba)aba

12(ab)3右邊xaybzazbxyaybzazbx

⑵左邊按第一列

分開ayazbxaxbybzazbxaxby

zaxbyaybzxaxbyaybz

分別再分xaybzzyzazbx

a2yazbxx00bzxaxby

zaxbyyxyaybz

分別再分xyzyzx

a3yzxb3zxy

zxyxyz

xyzxyz

a3yzxb3yzx(1)2右邊

zxyzxy44

a2a2(2a1)(a2)2(a3)2

b22

(3)左邊b(2b1)(b2)2(b3)2

2

cc2(2c1)(c2)2(c3)2

d2d2(2d1)(d2)2(d3)2

a22a14a46a9

c2clb22b14b46b9

c2

3clc2c14c46c9

c2

4cld2d14d46d9

a2a4a46a9a214a46a9

按第二列2b4b46b9214b46b9分成二項2b

c2c4c46c9b

c214c46c9

d2d4d46d9d214d46d9

a492

第一項c34c2a2al4a6a

cb492

46c2b214b6b

cc492

34c2c2bcl4c6c0第二項c49c2d2d49d214d6d

1000

abacada

(4)左邊a2b2a2c2a2d2a2a4b4a4c4a4d4a4

bacada

二b2a2c2a2d2a2b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)

111

=(ba)(ca)(da)bacada

b2(ba)c2(ca)d2(da)

=(ba)(ca)(da)

100

bacbdb

b2(ba)c2(ca)b2(ba)d2(da)b2(ba)=(ba)(ca)(da)(cb)(db)

11

(c2beb2)a(cb)(d2bdb2)a(db)

=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)

(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)n2時,D12

2xalxa2,命題成立.

2xaxal55

假設(shè)對于(n1)階行列式命題成立，即

Dn12

nixalxnan2xan1,

則Dn按第1列展開：

1000

D)nlx100

nxDn1an(1xDn1an右邊

11x1

所以，對于n階行列式命題成立.

6?設(shè)n階行列式Ddet(aij),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn)90、或依副對角線翻

轉(zhuǎn)，依次得

anlannalnannannalnDl,D2,D3

al1alnal1anlanlall

n(n1)

證明D2

1D2(1)D,D3D.

證明Ddet(aij)

aalln

nlaal

nn

Danlann

1(l)n1

a

11a

lna21a2n

allaln

a21a2n

(l)n1(l)n2anlann

a31a3n

allaln

(Dn1(l)n2(1)

an1ann

n(n1)

(1)12(n2)(n1)D(1)2Dn(nl)allanln(nl)n(n1)

同理可證D2T

2(1)2(1)D(1)2Dalnann

n(nl)n(nl)n(n1)

D22

3(1)D2(1)(1)2D(l)n(n1)DD

7.計算下列各行列式(Dk為k階行列式)：

66

al

(DDn，其中對角線上元素都是a,未寫出的元素都是0；la

xaa

axa

(2)Dn;aax

an(al)n(an)nan1(al)n1(an)n1

(3)Dn1;

aa1anil1

提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果.anbn

0

Dab

(4)11

2nOcO;Idl

0cndn

(5)Dndet(aij),其中aijij;1all111a21

(6)Dn,其中ala2an0.

111an

解aOOOlOaOOODOa00按最后一行展開

(1)n0

000aOIOO0a7700001

aOO00a(l)nlOaO00(l)2na

a(n1)(n1)000a0(n1)(n1)

(再按第一行展開)

a

(l)n1(l)nananan2an2(a21)

a(n2)(n2)

⑵將第一一行乘(1)分別加到其余各行，得

xaaa

axxa00

DnaxOxa0

axOOOxa

再招各列都加到第一列上，得

x(nl)aaaa

OxaO0

DnOOxa0

OOOOxa

[x(nl)a](xa)n1

(3)從第n1行開始，第n1行經(jīng)過n次相鄰對換，換到第1行，第n行經(jīng)(n1)次

對換換到第2行…，經(jīng)n(n1)1n(n1)

2次行

交換，得

111

n(nl)aa1an

D2

n1(1)

an1(al)n1(an)n1

an(a1)n(an)n

此行列式為范德蒙德行列式

n(n1)

D(1)2

n1[(ai1)(aj1)]

n1ij188

n(nl)n(nl)n(n1)1

(1)2[(ij)](1)2(1)2[(ij)]

n1ijIn1ij1

(ij)

n1ij1

anObn

Dalbl

(4)2nOdd1

cnOdn

anlObn10

按第一行Oalbl

cO

展開anldl

cnlOdn10

0Odn

OanlObn1

albl

(l)2nIbOO

ncldl

cnldn1

cnOO

都按最后一行展開andnD2nbncnD2n2

由此得遞推公式：

D2n(andnbncn)D2n2

n

即D2n(aidibici)D2

i2

而Dbl

2alealdlblcl

ldl

n

得D2n(aidibici)i1

(5)aijij99

0123n11

012n2D101n3ndet(aij)

23210

n4nIn2

n3

n4

111111

1111

rlr21111lc2cl,c3clr2r3,

11111c

4cl,

n1

n2n3n40

1000012000122001222=0(1)

n1

(n1)2

n2

n1

2n32n42n5n1

1al

11D11a2leic2,c2c3

n

c

3c4,

1

1

1an

alOO001a2a200010a3a3

00100a001按最后一列4展開(由下往上)

000an1

an110

an

1an

alO

0000a2a200000a3a3

000(1an)(ala2an1)

00a4000000an2

an200

an

10

(6)10

alOO00

a2a2000

0a3a300

000anlan1

0000an

a2a2000

0a3a300

00a400

000anlan1

0000an

(1an)(ala2an1)ala2an3an2ana2a3an

n

(al

la2an)(1a)

ili

8.用克萊姆法則解卜.列方程組:

xlx2x3x45,

(1)xl2x2x34x42,2x3x,

12x35x42

3x1x22x311x40;

5x16x1,2

xl5x26x30,

⑵x25x36x40,

x35x46x50,

x45x51.

11111111

D12140123解(1)23150537

312110218

11111111

012323

0013801

00154142

005140001421111

51115111D2214509123150

2315

0121101211151915190509012110133230509

0121101332315191519012110121100104600142002

312000014215111511

D214072321221501237

3021101518

15111511

013212

00231103

00119284

003931000284

1151

D1224

3232542631011

1115

D212

412312142

3120

xDl

Dl,xD2

12D2,x3

3DD3,x4

4DD11212

56000560015600

(2)D01560按最后一行560

0156展開5D1

01505D6D

0001500165(5D6D)6D19D30D

65D114D65191145665（D為行列式D中all的余子

式,D為D中a11的余子式,D,D類推）

16000

056006000D1560按第一列D560010

00156展開1560100150156D6419D30641507

51000

1060016005000D5600200560按第二列

00156展開0

0156160

0560

0101500150156560

1565636510801145015

56100

1500015005600D301060按第三列01601500

00056展開0056016000115001500561605600566150196114703

0150161313560101560560015600D按第四列15056040

150000106展開

00016

10150

1

5

50

1

6

5

60

561

563950

1

5

56001156001560D50

1560按最后一列

01561211212

00150展開

0015D00

0110

00

1

X15071;

x2

1145x703395212665

665

3

665

x4

665

x4

665

.xlx2x309.問，取何值時，齊次線性方程組

xlx2x30有非零解？

xl2x2x30

11

解

D31

1,

1

2

1

齊次線性方程組有非零解，則D30

即0

得0或1

不難驗證，當(dāng)0或1時,該齊次線性方程組確有非零解.

(1)x10.問取何值時，齊次線性方程組

12x24x302x1(3)x2x30

xlx2(1)x30

有非零解？解

12434D

231

211

1

1

1

1

1

1414

(1)3(3)4(1)2(1)(3)

(1)32(1)23

齊次線性方程組有非零解，則D0

得0,2或3

不難驗證，當(dāng)0,2或3時，該齊次線性方程組確有非零解.

第二章矩陣及其運算

1.已知線性變換：

xl2yl2y2y3,x23yly25y3,

x33yl2y23y3,

求從變量xl,x2,x3到變量yl,y2,y3的線性變換.

解

xl221

由已知：235

1yi

y2

x

3323y

2

y211

12xl749yl故y2315

x2637

y2

y

2323X

3324y

3

yl7x14x29x3

y26x13x27x3

y33x12x24x3

2.已知兩個線性變換

X

12yly3,yl3zlz2,x22yl3y22y3,y22zlz3,

x34yly25y3,y3z23z3,求從zl,z2,z3到xl,x2,x3的線性變換.

解由已知

xl201yl0110zx22322

y22323

2011

z

2

x

3415y

2415013z

3

613zl

1249

z2

10116z

3

xl6zlz23z

所以有3x212zl4z29z3

x3lOzlz216z31515

11123

A1

3.設(shè)111

,B124

111051

求3AB2A及ATB.

解

11231

3AB2A31

1111

1241

211

11105111

5811

056213

301

211121729011142911112305

8ATB

111

124056

111051290

4.計算下列乘積:

4317

(1)12332

2;(2)1,2,32;(3)11,2

570113

131

140

(4)2012

1134

131;

402

al2al3

xxall

(5)(l,x2,3)al2a22axlx232

al3a23ax

333

1210031

01011

121

(6)0

0021023

0

00030003

解

43174732135

(1)1231

217(2)2316

570157720149

3

(2)123

2(132231)(10)

1

16111222021622(1)224

(3)112

1(1)

122

1

233(1)323

6131

140012

78(4)2

1

1

3

41316

205

6

02allal2al3(5)

xl

x2

x3al2

a22axl

23x2

al3

a23

a33x3

al1x1al2x2al3x3

al2xla22x2a23x3

al3xla23x2a33x3x1xa222

211x1a22x2a33x32al2xlx22al3xlx32a23x2x3x3

12101031125201121(i

010124

0021023

0

300040

30

30

9

05.設(shè)A12,113B1

2,問：

(1)ABBA嗎？

(2)(AB)2A2

2ABB2

嗎？

(3)(AB)(AB)A2

B

2

嗎？

解

20(l)A1

131,B1

2

4則AB3

12

4

6BA3

8ABBA

2(2)

(AB)2

2

214

2

525821429

A2

2ABB2

3

88但0

610164

118

1213

41527

故(AB)2

A2

2ABB

2

(AB)(AB)2

226(3)

2500100

9

0而

A2B2

388

111442317

1717

故(AB)(AB)A2B2

6.舉反列說明下列命題是錯誤的:

(1)若A20,則A0;

(2)若A2A,則A0或AE;

(3)若AXAY,且A0,貝IJXY.

解⑴取A01

A20,但A

000

⑵取A11

0A2A,但A0且AE

0

1(3)取A10

11

1Y1

1

0010

AXAY且

A。但XY

A107.設(shè)1,求A2,A3,,Ak.

0解A2100

11

11

21

A3A2A100011

11

2

31

利用數(shù)學(xué)歸納法證明：Ak10

k1

當(dāng)k1時,顯然成立,假設(shè)k時成立,則k1時

AkAkA10100

k1

11

(k1)1

由數(shù)學(xué)歸納法原理知:Ak10

k1

10

8.設(shè)A01

，求Ak.

00

解首先觀察

1010221

A2

01

01

022

0000

002

3323

A3A2A0332

003

1818

kkklk(kl)k2

2

由此推測Ak

0kkk1(k2)

00k

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)k2時，顯然成立.

假設(shè)k時成立，則k1時，

kkklk(k1)2

2k

Ak1AkA

0kkk11001

00k

00

kl(k1)kl(kl)kk1

2

0k1(k1)k1

00k1

kkklk(k1)

2k2

由數(shù)學(xué)歸納法原理知：Ak

0kkk1

00k

9.設(shè)A,B為n階矩陣，月.A為對稱矩陣，證明BTAB也是對稱矩陣.證明已知：ATA

則(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB從而BTAB也是對稱矩陣.

10.設(shè)A,B都是n階對稱矩陣，證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是ABBA.

證明由已知：ATABTB

充分性：ABBAABBTATAB(AB)T即AB是對稱矩陣.

必要性：(AB)TABBTATABBAAB.

11.求下列矩陣的逆矩陣：

221

(1)1sin

(2)cos

25；cos1

;(3)42

sin3

5411919

100020012005

0

(4)210

2130;(5)3;00812140052alaO

2

(6)

0(ala2an0)

a

n

解

12(1)A

25A1

All5,A212(1),A122(1),A221AA11A212

11AA5

122221AA

A

故A152

1

2

⑵A10故A1存在

AllcosA21sinA12sinA22cos從而A1cossin

sincos

⑶A2,故A1存在

All4A212A310而A1213A226A321A1332A2314A332

210

故A111

AA133

22

1671

1000

A1200

(4)

2130

1214

A24A21A31A41A32A42A430All24A2212A338A446

100120

A3

12(1)23012A4

13(1)21012

1141242020

1

A14(1)2

1

1

A24(1)221201051012020044002533A23(1)21071635

A34(1)12121

A11

AA1000

11

200

故A12

11

21

630

151

8241

124

(5)A10故A1存在

而All1A212A310A410A122A225A320A42

A130A230A332A433A140A240A345A448

1200

500

從而A12

0023

0058

al

(6)AaO

2

0

a

n

1

allO

由對角矩陣的性質(zhì)知A1

a2

01

a

n

12.解下列矩陣方程：

611

(1)252

10134

X

21;(2)X

21

1114

21133221(3)

1

4031122X1110

0100014

3

(4)

0011X00120

1.001

01012

0

解⑴

X251

4

6562

23

1

3

2131

24

2

10

8

1

13211

101(2)

X1

10314

3

22

13

321

1

131

22

4

3

3

0

22183

5

23

1

(3)

X14

3101

41012012111122

13

111012

116011263011

2

1

4

101

X01

4300

1

(4)

1

0020110

01

00

1

12

00

1

0

10431

002

10

01001

2010

011

34

00

112

001

01

2

13.利用逆矩陣解下列線性方程組：

xl2x23x31,xlx2x32,(1)

2x12x25x3

2,(2)2x1x23x31,3x15x2x33;3x1

2x25x30.

123xl1

解

(1)方程組可表示為2

25

x22351x33

xl

1

231

1故x22

251

20x3

35

1

30

2222

xl1

從而有x20

x30

111x

(2)方程組可表示為21312

x21

325x

30

xl1111

故x221325

10

x

332503

xl5

故有x20

x33

14.設(shè)Ak0(k為正整數(shù))，證明

(EA)1EAA2Ak1.

證明一方面，E(EA)1(EA)

另一方面，由Ak0有

E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)

故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)兩端同時右乘(EA)1

就有(EA)1EAA2Ak1

15.設(shè)方陣A滿足A2A2E0,證明A及A2E都可逆，并求A1及(A2E)1.

證明由A2A2E0得A2A2E

兩端同時取行列式：A2A2

即AAE2,故A0

所以A可逆，而A2EA2

A2EA2A20故A2E也可逆.

由A2A2E0A(AE)2E

A1A(AE)2AIEA11

2(AE)

又由A2A2E0(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E

(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1

(A2E)11

4(3EA)2323

3

3

016.設(shè)A1

10

,ABA2B,求B.

123

解由ABA2B可得(A2E)BA

2

331

33033故B(A2E)1

A1001

1101

23

12

1

12

311

0

17.設(shè)

P1

AP4,其中P1

0

111

11

0

2，求A

解P

1

AP故APP1

所以All

P11

P1

P3P141

11411P

311

1

0而

11

11

1002

0211

14

4故

A

11

11

032732

1127310

211

31

684

316833

18.設(shè)m次多項式

f(x)aa2

m

0alx2xamx

，記

f(A)aa2

m

OEalA2AamA

f(A)稱為方陣A的m次多項式.000

⑴設(shè)1

k，證明：k

1

k,f()f(1)

2

02

0f(;2)

⑵設(shè)APP

1

，證明：

AkPk

P

1

f(A)Pf()P

1

證明

(1)i)利用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)k

2時

002

1102

02

1

20

22

命題成立,假設(shè)k時成立,則k1時

k1

kk1

01

0k1

00

k20

1

20

k12

故命題成立.ii)左邊

f()a2

m

0Eala2am

a1

01

0m

00

1a1

0a1

m2

0m0

2

2am

0al1a21am10

0aa2m

0al222am2

2424

f(1)0

0f(=右邊

2)

(2)i)利用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)k2時

A2PPIPP1P2P1成立

假設(shè)k時成立，則k1時

Ak1AkAPkPIPP1PkIP1成立,故命題成立，即AkPkP1

ii)證明

右邊Pf()P1

P(a2am1

OEala2m)P

a1

OPEPaa1mPIIPP12P2PamPa2m

OEalAa2AamAf(A)=左邊

19.設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A,證明:

⑴若A0,則A0;

(2)AAn1.

證明

(1)用反證法證明.假設(shè)A0則有A(A)1E由此得

AAA(A)1AE(A)10A0這與A0矛盾，故當(dāng)A0時有A0

(2)由于A11

AA,貝IJAAAE

取行列式得到：AAAn若A0貝I」AAn1若A0由⑴知A0此時命題也

成立故有AAn1

BAB

20.取ABCD10

01A

，驗證

CDCD

10102000

AB1010200201檢驗：CD0

1010101002001010101

AB11

而CD1102501425

AB

故CDAB

CD

340

21.設(shè)A43

20，求A8及A40

22340解A4340

20,令A(yù)3

03A2

4222

22

0

則AAl

0A

2

8

故A8A10A80

OA1

20A8

2

A8A888

1A2A1A821016

A4A4

1054000A4054

2

2400

2624

階矩陣A及s階矩陣B都可逆，求0A1

22.設(shè)n0.

B

0A

解將1

分塊為C1C2B0

C

3C4

其中C1為sn矩陣，C2為ss矩陣

C3為nn矩陣，C4為ns矩陣0A0貝n

C1C2BCEEn

ssOC3E4Os

ACE13nC3A

0C1

由此得到AC440(A存在)

BC10Cl0(B1存在)BC2EIsC2BOA1

故OB1

BO

A10.

第三章矩陣的初等變換與線性方程組2626

1,把下列矩陣化為行最簡形矩陣：

102131

(1)203102

;(2)0343

30430471113433137

35412

2024

(3)32320(4)1;.

2

32830

33421

23743

1021r2(2)rl1021

解⑴2031~0013

3043r3(3)rl0020

r2(1)1021r3r021

~321

001z0013

r3(2)00100003

r331021r23r31021

"013

0~0010

00010001

rl(2)r21000

0010

rlr30001

0231r2231

(2)03432(3)rl0

?013

0471r)r0

3(210013

r0105

3r22rl2010

~0

0133

r0"001

13r200000000

11343134333541r1

0488

(3)23rl0

22320”

r

r32100366

33421r43r1051010

r4)1134310232(

~00122r1

13r200122

r3)0122~

3(0r00000

01223r2

r

4(5)04r2000002727

23137

2024rl2r01111

(4)1212024

32830~

088912

23743r33r2

r

42r2077811

r2r01111020221

~10202r1

1r201111

r

38rl00014~

00014

r

47rl00014r2(1)r4r300000

r10202

2r3

01103

00014

00000

2.在秩是r的矩陣中,有沒有等于0的r1階子式?有沒有等于0的r階子式？

解在秩是r的矩陣中,可能存在等于0的r1階子式,也可能存在等于0的r階子式.

1000

0100

例如，

0010

0000

0000

R()3同時存在等于0的3階子式和2階子式.

3.從矩陣A中劃去一行得到矩陣B,問A,B的秩的關(guān)系怎樣？解R(A)R(B)

設(shè)R(B)r,且B的某個r階子式Dr0.矩陣B是由矩陣A劃去一行得到的，所以在A

中能找到與Dr相同的r階子式Dr,由于DrDr0,故而R(A)R(B).

4.求作一個秩是4的方陣，它的兩個行向量是(1,0,1,0,0),(1,1,0,0,0)解設(shè)

1,2,3,4,5為五維向量，且1(1,0,1,0,0),

1

2

,0),則所求方陣可為A

2(1,1,0,03，秩為4,不妨設(shè)

3(0,0,0,x4,0)4(0,0,0,0,x5)取x4x51

5(0,0,0,0,0)2828

10100

11000

故滿足條件的一個方陣為

00010

00001

00000

5.求下列矩陣的秩,并求一個最高階非零子式：

310232131

(1)1121

;(2)21313

?

13447051821837

3075

(3)2

32580.

10320

3102r121

1

解⑴112lr21

~3102

13441344r3r1121112121465r3r2

~0465

秩為2

r0

3104650000

31二階子式114.

2321r2

3Ir

r2r13441

21

(2)21313

~071195

70518r37rl021332715

13441

r33r2071195

秩為2.?00000

32

二階子式217.

218371217

3075rl2r0

(3)2403635

32580?

r22r40242010320r

33r4103202929

rlr2

r3r0

1217

32021

?000016r10

4rl01217

r32rl0

00014~0001秩為3r1401

3

2

0

3r4

16

0

0

r4r3

75三階子式

5805

58700.

3

2

3

2

6.求解下列齊次線性方程組：

xlx22x3x40,xl2x2x3x40,(1)2xx12x3x40,(2)

3x16x2x33x40,

2x12x2x32x40;5x110x2x35x40;2x13x2x35x40,

3x14x25x37x40,(3)3x1x22x37x4

0,2x13x23x32x40,

(4)4x1x23x36x40,4x111x213x316x40,xl2x24x37x4

0;7x1

2x2x33x40.

解(1)對系數(shù)矩陣實施行變換：

xl

43x4

1

121

010

3x21111

~0

131

即得x244

22

1

2

1

4

3x

3

3

x4

x4

x4

x4

lx3故方程組的解為

2xk334

341

(2)對系數(shù)矩陣實施行變換：

1211

201

x2x1

2x43613

1

0010x即得x

22

510

1

5

00

00

x3

x4

x4

3030

xl2x1

故方程組的解為21

XkO

1k23

x0

00

1

4

(3)對系數(shù)矩陣實施行變換：2315000031271

100

x0

4136~0

0010即得21247x30

0001x40

x