新高考一輪復習核心考點講與練考點04 指對冪函數原卷版

考點04指對冪函數（核心考點講與練）1.冪函數(1)冪函數的定義一般地，形如y＝xα的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α為常數.(2)常見的5種冪函數的圖象(3)冪函數的性質①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；②當α>0時，冪函數的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調遞增；③當α<0時，冪函數的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調遞減.2.分數指數冪(1)規(guī)定：正數的正分數指數冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正數的負分數指數冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義.(2)有理指數冪的運算性質：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指數函數及其性質(1)概念：函數y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，函數的定義域是R，a是底數.(2)指數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數在(－∞，＋∞)上是減函數4.對數的概念一般地，對于指數式ab＝N，我們把“以a為底N的對數b”記作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，數a叫做對數的底數，N叫做真數，讀作“b等于以a為底N的對數”.5.對數的性質、換底公式與運算性質(1)對數的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數的運算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).6.對數函數及其性質(1)概念：函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞).(2)對數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象性質定義域：(0，＋∞)值域：R當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數在(0，＋∞)上是減函數7.指數、對數、冪函數模型性質比較函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)1.冪函數y＝xα(α∈R)圖象的特征α>0時，圖象過原點和(1，1)點，在第一象限的部分“上升”；α<0時，圖象不過原點，經過(1，1)點在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.判斷指數函數圖象上底數大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數的值再進行比較.3.指數函數的單調性取決于底數a的大小，當底數a與1的大小關系不確定時應分0<a<1和a>1兩種情況分類討論.4.對數值取正、負值的規(guī)律當a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時，logab>0；當a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時，logab<0.5.利用單調性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數式化為同底的對數式，然后根據單調性來解決.6.比較冪、對數大小有兩種常用方法：(1)數形結合；(2)找中間量結合函數單調性.7.多個對數函數圖象比較底數大小的問題，可通過比較圖象與直線y＝1交點的橫坐標進行判定.指數函數一、單選題1．（2022·江蘇·金陵中學模擬預測）已知SKIPIF1<0是正實數，函數SKIPIF1<0的圖象經過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．22．（2022·江西上饒·二模（理））函數SKIPIF1<0的大致圖像為（

）A． B．C． D．3．（2022·河北秦皇島·二模）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·浙江嘉興·二模）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題5．（2022·廣東汕頭·二模）設a，b，c都是正數，且SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題6．（2022·江蘇南通·模擬預測）若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_________．7．（2022·遼寧錦州·一模）已知函數SKIPIF1<0的值域為R，則實數a的取值范圍是___________.8．（2022·山西·二模（理））已知函數SKIPIF1<0給出下列結論：①SKIPIF1<0是偶函數；②SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數；③若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0與原點連線的斜率恒為正．其中正確結論的序號為______．9．（2022·福建龍巖·一模）已知函數SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有解，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是_________．10．（2022·海南·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．對數函數一、單選題1．（2022·遼寧錦州·一模）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則x，y，z的大小關系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·廣東惠州·一模）中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：SKIPIF1<0，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內信號的平均功率S?信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中SKIPIF1<0叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數中的1可以忽略不計，按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比SKIPIF1<0從1000提升至5000，則C大約增加了（

）（附：SKIPIF1<0）A．20% B．23% C．28% D．50%3．（2022·北京順義·二模）函數SKIPIF1<0的定義域為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（文））函數SKIPIF1<0的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．5．（2021·吉林·東北師大附中模擬預測（理））已知函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·山西·二模（理））已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個零點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個零點，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0二、多選題7．（2021·河北石家莊·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0是偶函數，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調函數C．SKIPIF1<0的最小值為1 D．方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實數根8．（2020·全國·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、雙空題9．（2022·河北石家莊·二模）已知函數SKIPIF1<0，若存在實數SKIPIF1<0.滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0的取值范圍是___________.四、填空題10．（2022·海南·模擬預測）若對任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0的圖象恒過定點P，則點P的坐標為___________.11．（2022·江西贛州·二模（理））若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________.五、解答題12．（2020·全國·一模（文））（1）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求實數k的最大值.冪函數一、單選題1．（2022·北京·一模）下列函數中，定義域與值域均為R的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·河北衡水中學模擬預測）已知冪函數SKIPIF1<0是定義在區(qū)間SKIPIF1<0上的奇函數，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．4 C．2 D．13．（2021·江西·模擬預測）已知冪函數SKIPIF1<0的圖象過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．2 C．4 D．54．（2021·四川·樂山市教育科學研究所一模（理））已知冪函數SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則有下列說法：①SKIPIF1<0和SKIPIF1<0圖象都過點SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0和SKIPIF1<0圖象都過點SKIPIF1<0；③在區(qū)間SKIPIF1<0上，增長速度更快的是SKIPIF1<0；④在區(qū)間SKIPIF1<0上，增長速度更快的是SKIPIF1<0.則其中正確命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．（2022·全國·貴陽一中二模（文））下列函數中是減函數的為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·陜西寶雞·三模（理））若SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．（2022·全國·模擬預測）已知實數SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,則下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2021·山東·模擬預測）已知實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<09．（2021·全國·模擬預測）已知e為自然對數的底數，則下列判斷正確的是（

）A．3e﹣2π＜3πe﹣2 B．πl(wèi)og3e＞3logπeC．logπeSKIPIF1<0 D．πe＜eπ10．（2021·山東濰坊·三模）已知函數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的圖象如下圖所示，則下列四個函數圖象與函數解析式對應正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2022·內蒙古赤峰·模擬預測（文））寫出一個同時具有下列性質①②③的函數SKIPIF1<0______．①SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；12．（2022·四川瀘州·模擬預測（文））已知當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象有且只有一個公共點，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是________.13．（2022·北京通州·一模）冪函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，能夠使SKIPIF1<0是奇函數的一組整數m，n的值依次是__________．一、單選題1．（2021·全國·高考真題）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·全國·高考真題（文））青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V的滿足SKIPIF1<0．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（

）（SKIPIF1<0）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.63．（2020·天津·高考真題）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2020·全國·高考真題（理））若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2020·全國·高考真題（理））已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b6．（2020·全國·高考真題（文））Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數據建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：SKIPIF1<0，其中K為最大確診病例數．當I(SKIPIF1<0)=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則SKIPIF1<0約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．697．（2020·全國·高考真題（文））設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2020·全國·高考真題（文））設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2020·全國·高考真題（理））設函數SKIPIF1<0，則f(x)（

）A．是偶函數，且在SKIPIF1<0單調遞增 B．是奇函數，且在SKIPIF1<0單調遞減C．是偶函數，且在SKIPIF1<0單調遞增 D．是奇函數，且在SKIPIF1<0單調遞減二、多選題10．（2020·海南·高考真題）信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，定義X的信息熵SKIPIF1<0.（

）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著SKIPIF1<0的增大而增大C．若SKIPIF1<0，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則H(X)≤H(Y)三、填空題11．（2020·山東·高考真題）若SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的值是______.12．（2020·北京·高考真題）函數SKIPIF1<0的定義域是____________．13．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時，SKIPIF1<0，則f(-8)的值是____.一、單選題1.（2022·全國·模擬預測）開普勒（JohannesKepler，1571~1630），德國數學家、天文學家，他發(fā)現所有行星運行的軌道與公轉周期的規(guī)律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等.已知金星與地球的公轉周期之比約為2:3，地球運行軌道的半長軸為a，則金星運行軌道的半長軸約為（）A.0.66a B.0.70a C.0.76a D.0.96a2.（2022·全國·模擬預測）已知SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的零點，則SKIPIF1<0的值（）A.為正數 B.為負數 C.等于0 D.無法確定正負3.（2022·全國·模擬預測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04.（2022·廣東汕頭·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則以下不等式正確的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<05.（2022·河北·模擬預測）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關系為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<06.（2022·山東·模擬預測）已知非零實數m，n滿足SKIPIF1<0，則下列關系式一定成立的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07.（2022·全國·模擬預測）分形幾何學的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路.圖1是長度為1的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”……，依次進行“n次分形”（SKIPIF1<0）.規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度，要得到一個長度不小于20的分形圖，則n的最小值是（）（取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A.9 B.10 C.11 D.128.（2022·全國·模擬預測）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關系為（）A.SKIPI