4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系（第2課時空間中的距離問題）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系第2課時空間中的距離問題第三章空間向量與立體幾何北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

點到平面的距離

如圖,設(shè)點P是平面α外一點,點A是平面α內(nèi)的已知點,n0是平面α的單位法向量.過點P作PP'⊥平面α,垂足為點P',則線段PP'的長度就是點P到平面α的就等于線段PP'的長度.點P到平面α的距離,等于點P與平面α內(nèi)任意一點A連線所得向量,在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長度,即d=|·n0|.

名師點睛1.如果一條直線l與一個平面α平行,可在直線l上任取一點P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點P到平面α的距離求解.2.兩個平行平面之間的距離如果兩個平面α,β互相平行,在其中一個平面α內(nèi)任取一點P,可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點P到平面β的距離求解.思考辨析線面距、面面距與點面距有什么關(guān)系?提示

自主診斷1.[人教A版教材習(xí)題]在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點A到平面B1C的距離等于

;直線DC到平面AB1的距離等于

;平面DA1到平面CB1的距離等于

.

111解析

如圖,點A到平面B1C的距離等于線段AB的長,又AB=1,∴點A到平面B1C的距離為1.∵直線DC∥平面AB1,故直線DC到平面AB1的距離即為點C到平面AB1的距離.又點C到平面AB1的距離為BC的長,BC=1,∴直線DC到平面AB1的距離為1.∵平面DA1∥平面CB1,∴平面DA1到平面CB1的距離即為點A到平面CB1的距離,為線段AB的長,又AB=1,∴兩平行平面的距離為1.2.[人教B版教材習(xí)題]已知A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,0,5),求原點O到平面ABC的距離.知識點2

點到直線的距離如圖,設(shè)點P是直線l外一點,l0是直線l的單位方向向量,過點P作直線l的垂線,垂足為點P',則垂線段PP'的長度就是點P到直線l的距離.如何求這個距離呢?按照前面的思路,若能求出垂線段PP'的方向向量,則可在直線l上任取一點A,求

方向上的投影向量的長度即可.事實上,在平面向量中就是這樣做的.然而在空間中,求垂線段的方向向量較為困難.但直線l的方向向量已知,所以可先求出

在l0方向上的投影數(shù)量,然后在Rt△PP'A中運用勾股定理求得|PP'|即可.若點P是直線l外一點,l0是直線l的單位方向向量,點A是直線l上任意一點,則點P到直線l的距離為已知點A在直線l外,點P是直線l上的一個動點,AP是否存在最小值?提示

存在.當(dāng)AP⊥l時,AP存在最小值.思考辨析

自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)點到直線的距離就是點和直線上任意一點之間的距離.(

)(2)當(dāng)點在直線上時,點到直線的距離為0.(

)(3)點A到直線l的距離就是點A與直線l上所有點連線的長度的最小值.(

)×√√2.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段DD1的中點,F為線段BB1的中點.(1)求點A1到直線B1E的距離;(2)求點A1到平面AB1E的距離;(3)求直線FC1到平面AB1E的距離.(3)∵FC1∥AE,FC1?平面AB1E,∴FC1∥平面AB1E,∴FC1到平面AB1E的距離即為F到平面AB1E的距離.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一利用空間向量求點線距【例1】

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求點B到直線A1C1的距離.解

以B為坐標(biāo)原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量變式探究1例1中的條件不變,若M,N分別是A1B1,AC的中點,試求點C1到直線MN的距離.變式探究2將例1條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱,求點B到A1C1的距離.規(guī)律方法

用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點:(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點,但一般選易求得坐標(biāo)的特殊點;(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計算正確.探究點二利用空間向量求點面距【例2】

[2024安徽宿州期末]如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,∠ADP=120°,AD=PD=2AB=2BC=2,平面ABCD⊥平面PAD,M為PA的中點.(1)求點M到平面PCD的距離;(2)求平面PCD和平面ADC夾角的余弦值.解

(1)如圖所示,平面ABCD⊥平面PAD,∠BAD=90°,即BA⊥AD,又平面ABCD∩平面PAD=AD,BA?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.在平面PAD中,過點A作直線l垂直于AD.又AD?平面PAD,所以AB⊥l,AB⊥AD,以A為坐標(biāo)原點,分別以直線l,AD,AB為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為AD=2,所以由題意A(0,0,0),D(0,2,0),又因為BC∥AD,BA⊥平面PAD,AB=BC=1,所以B(0,0,1),C(0,1,1),規(guī)律方法

求點到平面的距離的方法(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即點到平面的距離.(2)在三棱錐中利用等體積法求解.(3)向量法.步驟如下:變式訓(xùn)練如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分別為AD,PC的中點.(1)證明:DE∥平面PFB;(2)求點E到平面PFB的距離.(1)證明

以D為原點,DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)123456789101112131415A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點二]已知平面α的一個法向量為n=(1,2,1),A(1,0,-1),B(0,-1,1),且A?α,B∈α,則點A到平面α的距離為(

)B123456789101112131415A1234567891011121314151234567891011121314153.[探究點一]在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1D1的中點,則點C1到直線CE的距離為(

)C解析

以點A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.1234567891011121314151234567891011121314154.[探究點二]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為(

)B123456789101112131415解析

以D1為坐標(biāo)原點,分別以直線D1A,D1C1,D1D為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),1234567891011121314155.

[探究點一](多選題)

已知直線l的方向向量n=(1,0,-1),A(2,1,-3)為直線l上一點,若點P(-1,0,-2)為直線l外一點,則點P到直線l上任意一點Q的距離可能為(

)AB1234567891011121314156.[探究點二]在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1,則點B到平面D1AC的距離等于

.

123456789101112131415解析

如圖,以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,1234567891011121314157.[探究點二]如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,則點B1到平面A1BC的距離為

.

1234567891011121314158.[探究點二]如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,求平面A1BD與平面B1CD1間的距離.解

以點D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,123456789101112131415令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),根據(jù)題意有B1C∥A1D,B1C?平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD,同理D1B1∥平面A1BD,B1C∩P1B1=B1,∴平面A1BD∥平面B1CD1,∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點D1到平面A1BD的距離,∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離為1234567891011121314151234567891011121314159.如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,E,F分別是AB,AD的中點,GC⊥平面ABCD,且GC=2,則點B到平面EFG的距離為(

)B級關(guān)鍵能力提升練B12345678910111213141510.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是(

)D解析

以點P為原點,PA,PB,PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),12345678910111213141512345678910111213141511.如圖,棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1,O是底面A1B1C1D1的中心,則點O到平面ABC1D1的距離是(

)B解析

如圖,以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,連接A1D,OD1,∵AB⊥平面ADD1A1,A1D?平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又AD1⊥A1D,AB∩AD1=A,12345678910111213141512345678910111213141512.已知直線l的一個方向向量為m=(1,,-1),若點P(-1,1,-1)為直線l外一點,A(4,1,-2)為直線l上一點,則點P到直線l的距離為

.

12345678910111213141513.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為

.

123456789101112131415解析

點P到直線CC1距離的最小值就是異面直線D1E和CC1的距離,以D為坐標(biāo)原點,分別以直線DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,12345678910111213141514.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分別為AA1,AC,A1C1,BB