2.2.3直線的一般式方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

直線的一般式方程第二章直線和圓的方程人教A版

數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標學(xué)習目標1.了解直線的一般式方程的形式特征,理解直線的一般式方程與二元一次方程的關(guān)系.(邏輯推理)2.能正確地進行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化.(數(shù)學(xué)運算)

3.能運用直線的一般式方程解決有關(guān)問題.(數(shù)學(xué)運算)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

直線的一般式方程定義:關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.

一般式方程可以表示平面內(nèi)任意一條直線名師點睛1.解題時,如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.2.直線的一般式方程與其他形式的互化.微思考1.方程y-y0=0是二元一次方程嗎?

2.直線與二元一次方程的關(guān)系是什么?提示

是,是A為0的特殊的二元一次方程.提示

二元一次方程從形上來看代表直線,直線從代數(shù)上通過二元一次方程刻畫.知識點2

兩條直線的位置關(guān)系

名師點睛直線的一般式方程的法向量若直線l的方程為Ax+By+C=0,則直線l的法向量為n=(A,B),方向向量為(B,-A),法向量與方向向量垂直.兩直線平行,則其法向量也平行;兩直線垂直,則其法向量也垂直.直線的法向量在討論直線位置關(guān)系時運算相對簡單,且可以避免討論直線斜率不存在的情況.微思考1.兩條直線的斜率相等,這兩條直線是否平行?

2.直線l1:ax+(a+2)y+2=0與l2:x+ay+1=0平行,則實數(shù)a的值為-1或2.是否正確?提示

不一定,還有可能重合.平行關(guān)系的判斷,關(guān)鍵在于排除是否重合.提示

不正確,沒有排除重合的情況.由l1∥l2知,a×a=1×(a+2),即a2-a-2=0,∴a=2或a=-1.當a=2時,l1與l2重合,不符合題意,舍去;當a=-1時,l1∥l2.∴a=-1.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程都是關(guān)于x,y的二元一次方程.這是否說明直線與二元一次方程都有這種關(guān)系?問題2平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關(guān)于x,y的二元一次方程表示嗎?問題3任意一個關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線嗎?探究點一直線的一般式方程問題4直線的其他形式方程可否轉(zhuǎn)化為一般式方程?本質(zhì)上說明什么問題?問題5直線的一般式方程,形式上如何約定其規(guī)范?【例1】

根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式方程.(1)斜率是,且經(jīng)過點A(5,3);(2)斜率為4,在y軸上的截距為-2;(3)經(jīng)過A(-1,5),B(2,-1)兩點;(4)在x軸、y軸上的截距分別是-3,-1.思路分析先選擇合適的形式將直線方程寫出來,再化為一般式.規(guī)律方法

直線的一般式方程的特征求直線方程時,要求將方程化為一般式方程,其形式一般作如下設(shè)定:x的系數(shù)為正;系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù);一般按含x項、含y項、常數(shù)項的順序排列.探究點二由一般式方程判斷兩直線平行或垂直問題6通過直線的一般式方程,能否看出其蘊含的直線方向特征?據(jù)此,如何利用直線的一般式方程來判斷兩直線的位置關(guān)系?【例2】

(1)已知直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,求實數(shù)m的值.思路分析利用在一般式方程下,兩直線平行或垂直的條件求解.解

由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.當m=-3時,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,顯然l1與l2不重合.同理,當m=2時,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1與l2不重合.故m的值為2或-3.(2)已知直線l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0與直線l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求實數(shù)a的值.解

由直線l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.故當a=1或a=-1時,直線l1⊥l2.規(guī)律方法

由直線的一般式方程解決平行與垂直問題的兩個等價關(guān)系.若直線l1:A1x+B1y+C1=0,直線l2:A2x+B2y+C2=0,A1和B1,A2和B2均不同時為0,則(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0);(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.探究點三含有一個參數(shù)的一般式方程的定點特征問題7通過直線的點斜式方程y-1=k(x-2)很容易看出直線過定點(2,1),若化為直線的一般式方程kx-y+1-2k=0,可否從代數(shù)的角度來理解直線過定點?問題8有怎樣特征的直線方程會過定點?如何求此定點坐標?【例3】

已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R),則該直線過定點

.

(-2,1)解析

∵直線l:kx-y+1+2k=0,即k(x+2)+(-y+1)=0,當x=-2,y=1時,k無論取何值,方程都成立.∴該直線過定點(-2,1).本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)直線的一般式方程;(2)直線五種形式方程的互化;(3)利用直線方程判定直線的平行與垂直位置關(guān)系.2.方法歸納:分類討論法、轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū):(1)容易忽視直線斜率不存在的情況;(2)容易忽視兩直線重合的情況;(3)容易對于直線的一般式方程形式化簡不徹底.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標12345678910111213A級必備知識基礎(chǔ)練1.已知直線2x+ay+b=0在x軸、y軸上的截距分別為-1,2,則a,b的值分別為(

)A.-1,2 B.-2,2C.2,-2 D.-2,-2A123456789101112132.直線l的方程為Ax+By+C=0,若直線l過原點和二、四象限,則(

)A.C=0,B>0B.A>0,B>0,C=0C.AB<0,C=0D.AB>0,C=0D123456789101112133.兩直線3x+y-a=0與3x+y-1=0的位置關(guān)系是(

)A.相交

B.平行C.重合

D.平行或重合D123456789101112134.已知三條直線l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,l3:bx+2y+a=0,若l1⊥l2,且l2∥l3,則a+b=(

)A.2 B.4 C.2或1 D.4或1D解析

由l1⊥l2得a(a-1)-b=0,①由l2∥l3得2(a-1)-b=0,②經(jīng)驗證,兩組均滿足題意.故a+b=1或4.123456789101112135.(多選題)直線l1:ax-y+b=0與直線l2:bx+y-a=0(ab≠0)的圖象可能是(

)BC解析

l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a.在A中,由l1知a>0,b<0,則-b>0,與l2的圖象不符;在B中,由l1知a>0,b>0,則-b<0,與l2的圖象相符;在C中,由l1知a<0,b>0,則-b<0,與l2的圖象相符;在D中,由l1知a>0,b>0,與l2的圖象不符.12345678910111213123456789101112136.已知直線l1:mx+3y-3=0,l2:(3m-2)x+my+1=0,則“m=-”是“l(fā)1⊥l2”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件A123456789101112137.若直線l的方程為y-a=(a-1)(x+2),且l在y軸上的截距為6,則a=

.

解析

令x=0,得y=(a-1)×2+a=6,解得a=.123456789101112138.若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直,則實數(shù)m=

.

1解析

∵兩直線垂直,∴1×2-2m=0,m=1.123456789101112139.直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在兩坐標軸上的截距相等,求a的值;(2)若l不經(jīng)過第一象限,求實數(shù)a的取值范圍.

解

(1)當直線過原點時,該直線在x軸和y軸上的截距為0,此時a=2,即l的方程為3x+y=0;若a≠2,則

=a-2,即a+1=1,所以a=0,即l的方程為x+y+2=0.所以a的值為0或2.(2)直線l的方程化為a(x-1)+(x+y+2)=0,l恒過定點(1,-3),所以當斜率-3≤-(a+1)≤0,即-1≤a≤2時,l不經(jīng)過第一象限.故a的取值范圍是[-1,2].12345678910111213B級關(guān)鍵能力提升練10.已知線段AB的中垂線方程為x-y-1=0且A(-1,1),則B點坐標為(

)A.(2,-2) B.(-2,2) C.(-2,-2) D.(2,2)A解析

設(shè)B的坐標為(a,b),解得a=2,b=-2,所以B點坐標為(2,-2).故選A.1234567891011121311.若AB<0,AC>0,則直線Ax+By+C=0不經(jīng)過(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限D(zhuǎn)1234567891011