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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.12.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.193.一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為,高為,有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切,則該球的表面積為()A. B. C. D.4.在三棱錐中,,,P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上,且,.設三棱錐的每個頂點都在球Q的球面上,則球Q的半徑為()A. B. C. D.5.已知雙曲線的左、右焦點分別為、,拋物線與雙曲線有相同的焦點.設為拋物線與雙曲線的一個交點,且,則雙曲線的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或6.費馬素數(shù)是法國大數(shù)學家費馬命名的,形如的素數(shù)(如:)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A. B. C. D.7.已知正項等比數(shù)列中,存在兩項,使得,,則的最小值是()A. B. C. D.8.在等差數(shù)列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.109.下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數(shù)的回眸和中國代表團獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖,根據(jù)表和統(tǒng)計圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實際意義C.第30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.510.點在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.11.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-112.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)是偶函數(shù),則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據(jù)如圖所示的偽代碼,輸出的值為______.14.在平面直角坐標系中,曲線在點處的切線與x軸相交于點A,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若點,的面積為3,則的值是______.15.不等式的解集為________16.已知三棱錐,,是邊長為4的正三角形,,分別是、的中點,為棱上一動點(點除外),,若異面直線與所成的角為,且,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點.(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)的極大值點和極小值點分別為和,且,求實數(shù)a的取值范圍.(e是自然對數(shù)的底數(shù))18.(12分)[選修4-5:不等式選講]設函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關于的不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)在中,角、、的對邊分別為、、,且.(1)若,,求的值;(2)若,求的值.20.(12分)已知拋物線C:x24py(p為大于2的質(zhì)數(shù))的焦點為F,過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A,B兩點,線段AB的垂直平分線交y軸于點E,拋物線C在點A,B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.(1)求點G的軌跡方程;(2)當點G的橫坐標為整數(shù)時,S是否為整數(shù)?若是,請求出所有滿足條件的S的值;若不是,請說明理由.21.(12分)如圖,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.過頂點,的平面與棱,分別交于,兩點.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證:四邊形是平行四邊形;(Ⅲ)若,試判斷二面角的大小能否為?說明理由.22.(10分)設等比數(shù)列的前項和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)在和之間插入個實數(shù),使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設數(shù)列的前項和為,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
利用復數(shù)的模的運算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點睛】本小題主要考查復數(shù)模的運算,屬于基礎題.2.B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時,a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時,要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設中的遞推關系變形得到新的遞推關系,從而可簡化與數(shù)列相關的方程,本題屬于難題.3.B【解析】
根據(jù)正四棱錐底邊邊長為,高為,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示:因為正四棱錐底邊邊長為,高為,所以,到的距離為,同理到的距離為1,所以為球的球心,所以球的半徑為:1,所以球的表面積為.故選:B【點睛】本題主要考查組合體的表面積,還考查了空間想象的能力,屬于中檔題.4.A【解析】
設的中點為O先求出外接圓的半徑,設,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設的中點為O,因為,所以外接圓的圓心M在BO上.設此圓的半徑為r.因為,所以,解得.因為,所以.設,易知平面ABC,則.因為,所以,即,解得.所以球Q的半徑.故選:A【點睛】本題考查球的組合體,考查空間想象能力,考查計算求解能力,是中檔題5.D【解析】
設,,根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出,再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出,,最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關系,從而可得出離心率.【詳解】過分別向軸和拋物線的準線作垂線,垂足分別為、,不妨設,,則,為雙曲線上的點,則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線離心率的求解,涉及雙曲線和拋物線的簡單性質(zhì),考查運算求解能力,屬于中檔題.6.B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有,,,共有個,根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎題.7.C【解析】
由已知求出等比數(shù)列的公比,進而求出,嘗試用基本不等式,但取不到等號,所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】,,或(舍).,,.當,時;當,時;當,時,,所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值,屬于基礎題.8.C【解析】
將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數(shù)列的首項為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解,難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值,可通過構(gòu)建和的方程組求通項公式.9.B【解析】
根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢,29屆最多,錯誤;B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯誤;D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點睛】此題考查統(tǒng)計圖,關鍵點讀懂折線圖,屬于簡單題目.10.D【解析】
確定點為外心,代入化簡得到,,再根據(jù)計算得到答案.【詳解】由可知,點為外心,則,,又,所以①因為,②聯(lián)立方程①②可得,,,因為,所以,即.故選:【點睛】本題考查了向量模長的計算,意在考查學生的計算能力.11.D【解析】試題分析:因為an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考點:數(shù)列的通項公式.12.A【解析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式,從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)解析式為,故.令,,解得,.因為為偶函數(shù),故直線為其圖象的對稱軸,令,,故,,因為,故,當時,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì),注意平移變換是對自變量做加減,比如把的圖象向右平移1個單位后,得到的圖象對應的解析式為,另外,如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸,則有,本題屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.7【解析】
表示初值S=1,i=1,分三次循環(huán)計算得S=10>0,輸出i=7.【詳解】S=1,i=1第一次循環(huán):S=1+1=2,i=1+2=3;第二次循環(huán):S=2+3=5,i=3+2=5;第三次循環(huán):S=5+5=10,i=5+2=7;S=10>9,循環(huán)結(jié)束,輸出:i=7.故答案為:7【點睛】本題考查在程序語句的背景下已知輸入的循環(huán)結(jié)構(gòu)求輸出值問題,屬于基礎題.14.【解析】
對求導,再根據(jù)點的坐標可得切線方程,令,可得點橫坐標,由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.15.【解析】
通過平方,將無理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由得,解得,所以解集是?!军c睛】本題主要考查無理不等式的解法。16.【解析】
取的中點,連接,,取的中點,連接,,,直線與所成的角為,計算,,根據(jù)余弦定理計算得到答案?!驹斀狻咳〉闹悬c,連接,,依題意可得,,所以平面,所以,因為,分別、的中點,所以,因為,所以,所以平面,故,故,故兩兩垂直。取的中點,連接,,,因為,所以直線與所成的角為,設,則,,所以,化簡得,解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)首先對函數(shù)求導,根據(jù)函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點求出a的取值范圍;(2)首先求出的值,再根據(jù)求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為是,,若有兩個極值點,則方程一定有兩個不等的正根,設為和,且,所以解得,此時,當時,,當時,,當時,,故是極大值點,是極小值點,故實數(shù)a的取值范圍是;(2)由(1)知,,,則,,,由,得,即,令,考慮到,所以可化為,而,所以在上為增函數(shù),由,得,故實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點和單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式,屬于難題.18.(1)(2)【解析】
(1)零點分段去絕對值解不等式即可(2)由題在上有解,去絕對值分離變量a即可.【詳解】(1)不等式,即等價于或或解得,所以原不等式的解集為;(2)當時,不等式,即,所以在上有解即在上有解,所以,.【點睛】本題考查絕對值不等式解法,不等式有解求參數(shù),熟記零點分段,熟練處理不等式有解問題是關鍵,是中檔題.19.(1);(2).【解析】
(1)利用余弦定理得出關于的二次方程,結(jié)合,可求出的值;(2)利用兩角和的余弦公式以及誘導公式可求出的值,利用同角三角函數(shù)的基本關系求出的值,然后利用二倍角的正切公式可求出的值.【詳解】(1)在中,由余弦定理得,,即,解得或(舍),所以;(2)由及得,,所以,又因為,所以,從而,所以.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,同時也考查了兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系以及二倍角公式求值,考查計算能力,屬于中等題.20.(1)(2)當G點橫坐標為整數(shù)時,S不是整數(shù).【解析】
(1)先求解導數(shù),得出切線方程,聯(lián)立方程得出交點G的軌跡方程;(2)先求解弦長,再分別求解點到直線的距離,表示出四邊形的面積,結(jié)合點G的橫坐標為整數(shù)進行判斷.【詳解】(1)設,則,拋物線C的方程可化為,則,所以曲線C在點A處的切線方程為,在點B處的切線方程為,因為兩切線均過點G,所以,所以A,B兩點均在直線上,所以直線AB的方程為,又因為直線AB過點F(0,p),所以,即G點軌跡方程為;(2)設點G(,),由(1)可知,直線AB的方程為,即,將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立,,整理得,所以,,解得,因為直線AB的斜率,所以,且,線段AB的中點為M,所以直線EM的方程為:,所以E點坐標為(0,),直線AB的方程整理得,則G到AB的距離,則E到AB的距離,所以,設,因為p是質(zhì)數(shù),且為整數(shù),所以或,當時,,是無理數(shù),不符題意,當時,,因為當時,,即是無理數(shù),所以不符題意,當時,是無理數(shù),不符題意,綜上,當G點橫坐標為整數(shù)時,S不是整數(shù).【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系,拋物線中的切線問題通常借助導數(shù)來求解,四邊形的面積問題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問題,表示出面積的表達式是求解的關鍵,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).21.(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)不能為.【解析】
(1)由平面平面,可得平面,從
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