考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷9（共269題）

考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷9（共9套）（共269題）考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設f(x)為可導函數(shù)，F(xiàn)(x)為其原函數(shù)，則()．A、若f(x)是周期函數(shù)，則F(x)也是周期函數(shù)B、若f(x)是單調函數(shù)，則F(x)也是單調函數(shù)C、若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)D、若f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)標準答案：D知識點解析：令f(x)=cosx一2，F(xiàn)(x)=sinx一2x+C，顯然f(x)為周期函數(shù)，但F(x)為非周期函數(shù)，(A)不對；令f(x)=2x，F(xiàn)(x)=x2+C，顯然f(x)為單調增函數(shù)，但F(x)為非單調函數(shù)，(B)不對；令f(x)=x2，F(xiàn)(x)=x3+2，顯然f(x)為偶函數(shù)，但F(x)為非奇非偶函數(shù)，(c)不對；若f(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=∫axf(t)dt，因為F(—x)=∫a—xf(t)dt∫—axf(—u)(一du)=∫—axf(u)du=∫—aaf(u)du+∫axf(u)du=∫axf(u)du=F(x)，所以F(x)為偶函數(shù)，選(D)．2、設∫f(x)dx=x2+C，則∫xf(1一x2)dx等于()．A、(1一x2)2+CB、一(1一x2)2+CC、2(1一x2)2+CD、一2(1一x2)2+C標準答案：B知識點解析：∫xf(1一x2)dx=—(1一x2)2+C，選(B)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、設f(x)連續(xù)，則∫0xxf(x—t)dt=___________．標準答案：∫0xf(u)du+xf(x)知識點解析：4、=___________．標準答案：知識點解析：5、=___________．標準答案：知識點解析：6、=___________．標準答案：知識點解析：7、=___________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)8、求下列不定積分：標準答案：知識點解析：暫無解析9、求標準答案：知識點解析：暫無解析10、求標準答案：知識點解析：暫無解析11、求標準答案：知識點解析：暫無解析12、求標準答案：由A(x一4)(x—3)2+B(x一2)(x一3)2+C(x一2)(x一3)(x一4)+D(x一2)(x一4)知識點解析：暫無解析13、求標準答案：知識點解析：暫無解析14、求標準答案：知識點解析：暫無解析15、求∫arcsin2xdx．標準答案：知識點解析：暫無解析16、求標準答案：知識點解析：暫無解析17、求標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、求標準答案：知識點解析：暫無解析20、求標準答案：知識點解析：暫無解析21、求標準答案：知識點解析：暫無解析22、設f(x)=sin3x+∫—ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx。標準答案：令∫—ππxf(x)dx=A，則f(x)=sin3x+A，=xf(x)=xsin3x+Ax兩邊積分得∫—ππxf(x)dx=∫—ππxsin3xdx+∫—ππAxdx，即A=∫—ππxsin3xdx=2∫0πxsin3xdx=π∫0πsin3xdx知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、求標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、求標準答案：因為(3+sinxcosx)’=cos2x，所以知識點解析：暫無解析27、求標準答案：知識點解析：暫無解析28、求標準答案：知識點解析：暫無解析29、求標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、當x→0時，下列四個無窮小中，比其他三個高階的無窮小是()A、x2B、1-cosx。C、D、x-tanx。標準答案：D知識點解析：利用等價無窮小代換。由于x→0時，，所以當x→0時，B、C與A是同階的無窮小，由排除法知選D。2、設函數(shù)f(u)可導，y=f(x2)。當自變量x在x=-1處取得增量△x=-0．1時，相應的函數(shù)增量△y的線性主部為0．1，則f’(1)等于()A、-1。B、0．1。C、1。D、0．5。標準答案：D知識點解析：由微分的定義可知，函數(shù)f(x)在x0點處的增量△y的線性主部即為函數(shù)f(x)在該點處的微分=f’(x0)△x，所以有0．1=y’(-1)△x=-0．1y’(-1)，即y’(-1)=-1。而y’(-1)=[f(x)2]’｜x=-1=f’(x2).2x｜x=-1=-2f’(1)，因此f’(1)=0．5，故選D。3、已知函數(shù)y=f(x)對一切x均滿足xf(x)+3x[f’(x)]2=1-e-x，若f’(x0)=0(x0≠0)，則()A、f(x0)是f(x)的極大值。B、f(x0)是f(x)的極小值。C、(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點。D、f(x0)不是f(x)的極值，(x0，f(x0))也不是曲線y=f(x)的拐點。標準答案：B知識點解析：由f’(x0)=0知，x=x0是y=f(x)的駐點。將x=x0代入方程，得x0f’’(x0)+3x0[f’(x0)]2=(分x0＞0與x0＜0討論)，由極值的第二判定定理可知，f(x)在x0處取得極小值，故選B。4、曲線y=e-xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成的平面圖形的面積可表示為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：當0≤x≤π或2π≤x≤3π時，y≥0；當π≤x≤2π時，y≤0。所以y=e-xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成的平面圖形的面積為5、已知a，b均為非零向量，(a+3b)⊥(7a-5b)，(a-4b)⊥(7a-2b)，則向量a與b的夾角為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由題設知(1)-(2)得(1)×8+(2)×15得從而有｜a｜=｜b｜，cos＜a，b＞=，故選B。6、設，則f(x，y)在點(0，0)處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但兩個偏導數(shù)不存在。C、兩個偏導數(shù)存在但不可微。D、可微。標準答案：D知識點解析：由由微分的定義可知f(x，y)在點(0，0)處可微，故選D。7、已知曲線積分+[f(x)-x2]dy與路徑無關，其中f(x)有連續(xù)一階導數(shù)，f(0)=1，則+[f(x)-x2]dy等于()A、3e+1。B、3e+5。C、3e+2。D、3e-5。標準答案：D知識點解析：曲線積分+[f(x)-x2]dy與路徑無關，則f(x)=f’(x)-2x，即f’(x)-f(x)=2x。f(x)=e∫dx[∫2xe-∫dxdx+C]=ex[∫2xe-xdx+C]=ex[-2e-x-2xe-x+C]，由f(0)=1知，C=3，故f(x)=3ex-2x-2。因此8、如果級數(shù)都發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于｜an｜發(fā)散，而｜an｜≤｜an｜+｜bn｜，故(｜an｜+｜bn｜)必發(fā)散，故選D。9、設f(x)具有一階連續(xù)導數(shù)，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+[sinx-f(x)]dy，則f(x)等于()A、cosx+sinx-1。B、(cosx+sinx-e-x)。C、cosx-sinx+xex。D、cosx-sinx+xe-x。標準答案：B知識點解析：由du(x，y)=f(x)ydx+[sinx-f(x)]d)，知f(x)=cosx-f’(x)，即f’(x)+f(x)=cosx。因此f(x)=e-∫dx(∫cosxe∫dxdx+C)=e-x(∫cosxexdx+C)=(cosxe+sinxex+C)由f(0)=0得C=-1，所以f(x)=(cosx+sinx-e-x)，故選B。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、=_________。標準答案：0知識點解析：因為x→0時，11、已知=__________。標準答案：知識點解析：12、曲線的斜漸近線方程為_______。標準答案：知識點解析：設所求斜漸近線方程為y=ax+b。因為所以所求斜漸近線方程為13、設f(x)=max{1，x2}，則=_______。標準答案：知識點解析：由題意可知f(x)=當x＜-1時，當-1≤x≤1時，當x＞1時，所以14、點M1(1，2，3)到直線的距離為_______。標準答案：知識點解析：直線L過點M0(0，4，3)，方向向量l={1，-3，-2}，={1，-2，0}，則點M1到直線L的距離為且有因此點M1到L的距離為15、已知曲線L為曲面z=與x2+y2=1的交線，則x2y2z2ds=________。標準答案：知識點解析：將x2+y2=1代入z=，得z=1。則曲線L的參數(shù)方程為16、冪級數(shù)的收斂半徑R=_____。標準答案：知識點解析：根據(jù)收斂半徑的判斷方法，有由于該冪級數(shù)缺奇數(shù)項，所以R=17、微分方程y’’-4y=e2x的通解為________。標準答案：知識點解析：對應齊次微分方程的特征方程為r2-4=0，解得r1=2，r2=-2。故y’’-4y=0的通解為y1=C1e-2x+C2e2x。由于非齊次項f(x)=e2x，α=2為特征方程的單根，所以原方程的特解可設為y*=Axe2x，代入原方程可求出A=故所求通解為三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、設數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinn(n=1，2，…)。(Ⅰ)證明存在，并求該極限；(Ⅱ)計算標準答案：(Ⅰ)0＜x1＜π，則0＜x2=sinx1≤1＜π。由數(shù)學歸納法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即數(shù)列{xn}有界。于是(因當x＞0時，sinx＜x)，則有xn+1＜xn，可見數(shù)列{xn}單調減少，故由單凋減少有下界數(shù)列必有極限知，極限存在。設，在xn+1=sinxn兩邊令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即=0。(Ⅱ)因，由(Ⅰ)知該極限為1∞型。令t=xn，則n→∞，t→0，而知識點解析：暫無解析19、設函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內具有二階導數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，證明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。標準答案：構造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，由題設有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)內具有相等的最大值，不妨設存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得若x1=x2，令c=x2，則F(c)=0。若x1＜x2，因F(x1)=f(x1)-g(x1)≥0，F(xiàn)(x2)=f(x2)-g(x2)≤0，從而存在c∈[x1，x2](a，b)，使F(c)=0。在區(qū)間[a，c]，[c，b]上分別利用羅爾定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，再對F’(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應用羅爾定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使F’’(ξ)=0，即f’’(ξ)=g’’(ξ)。知識點解析：暫無解析20、設f(x)在區(qū)間[a，b]上可導，且滿足。證明至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ).tanξ。標準答案：由f(x)在區(qū)間[a，b]上可導，知f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，從而F(x)=f(x)cosx在[a，]上連續(xù)，由積分中值定理可知存在一點c∈使得在[c，b]上，由羅爾定理得至少存在一點ξ∈(c，b)(a，b)，使F’(ξ)=f’(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0，即f’(ξ)=f(ξ)tanξ，ξ∈(a，b)。知識點解析：暫無解析21、設y=y(z)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和r(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導數(shù)和一階連續(xù)偏導數(shù)，求標準答案：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的兩端對x求導，得整理后得解得知識點解析：暫無解析22、求｜z｜在約束條件下的最大值與最小值。標準答案：｜z｜的最值點與z2的最值點一致，用拉格朗日乘數(shù)法，令F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2-2z2)+μ(x+3y+3z-5)，由當x=1，y=時，｜z｜=1最??；當x=-5，y=時，｜z｜=5最大。知識點解析：暫無解析23、計算二重積分，其中D={(x，y)｜0≤y≤1，標準答案：積分區(qū)域D的圖形如圖1-6-6所示。知識點解析：暫無解析24、設函數(shù)φ(y)具有連續(xù)導數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。(Ⅰ)證明對右半平面x＞0內的任意分段光滑簡單閉曲線C，有(Ⅱ)求函數(shù)φ(y)的表達式。標準答案：(Ⅰ)如圖1-6-12所示，將C分解為：C=l1+l2，另作一條曲線l3圍繞原點且與C相接，根據(jù)題設條件則有(Ⅱ)設P=，P，Q在單連通區(qū)域x＞0內，具有一階連續(xù)偏導數(shù)。由(Ⅰ)知，曲線積分在該區(qū)域內與路徑無關，故當x＞0時，總有比較(1)、(2)兩式的右端，得由(3)得φ(y)=-y2+C，將q(y)代入(4)得2y5-4Cy3=2y5，所以C=0，從而φ(y)=-y2。知識點解析：暫無解析25、設有正項級數(shù)是它的部分和。(Ⅰ)證明收斂；(Ⅱ)判斷級數(shù)是條件收斂還是絕對收斂，并給予證明。標準答案：(Ⅰ)設Tn為的部分和，則(Ⅱ)對已知級數(shù)取絕對值因正項級數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}單調上升，將上式放縮由(Ⅰ)可知收斂，因此原級數(shù)絕對收斂。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設可微函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處取得極小值，則下列結論正確的是()．A、f(x0，y)在y=y0處導數(shù)為零B、f(x0，y)在y=y0處導數(shù)大于零C、f(x0，y)在y=y0處導數(shù)小于零D、f(x0，y)在y=y0處導數(shù)不存在標準答案：A知識點解析：可微函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處取得極小值，則有f’x(x0，y0)=0，f’y(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0處導數(shù)為零，選(A)．2、在曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z一4=0平行的切線有()．A、只有一條B、只有兩條C、至少有三條D、不存在標準答案：B知識點解析：T={1，一2t，3t2}，平面的法向量為n={1，2，1}，令1—4t+3t2=0，解得t=1，t=，故曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z一4=0平行的切線有兩條，選(B)．3、f(x，y)=arctan在(0，1)處的梯度為()．A、iB、一iC、jD、一j標準答案：A知識點解析：由，得gradf|(0，1)={1，0}=i，選(A)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)4、設z=f(x2+y2+z2，xyz)且f一階連續(xù)可偏導，則=___________．標準答案：知識點解析：z=f(x2+y2+z2，xyz)兩邊對x求偏導得5、設z=z(x，y)由z+ez=xy2確定，則dz=___________．標準答案：知識點解析：6、設z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z==___________．標準答案：知識點解析：7、設y=y(x)由=___________．標準答案：e—1知識點解析：8、由方程xyz+確定的隱函數(shù)z=z(x，y)在點(1，0，一1)處的微分為dz=___________．標準答案：知識點解析：9、設f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則f’x(0，1，一1)=___________．標準答案：1知識點解析：解得f’(0，1，一1)=1．10、曲線L：繞y軸一周所得旋轉曲面在點(0，—1，2)處指向外側的單位法向量為___________．標準答案：知識點解析：曲線L：繞y軸一周所得的旋轉曲面為4x2+9y2+4z2=25，n={8x，18y，8z}(0，—1，2)={0，一18，16}，所求的單位法向量為e=．11、曲面z=1一z2一y2上與平面x+y—z+3=0平行的切平面為___________．標準答案：π：2x+2y—2z+3=0知識點解析：設切點坐標為(x0，y0，1一x0一y0)，則n=±{2x0，2y0，1}∥(1，1，一1}，12、設f(x，y)可微。且f’1(一1，3)=一2，f’2(一1，3)=1，令z=f(2x—y，)，則dz｜(1，3)=___________．標準答案：—7dx+3dy知識點解析：三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)13、設z=f[x+φ(x—y)，y]，其中f二階連續(xù)可偏導，φ二階可導，求．標準答案：z=f[x+φ(x—y)，y]兩邊關于y求偏導得=一f’1．φ’1+f’2，=一(一f"11φ’+f"12)φ’+f’1φ"一f"21φ’+f"22=f"11(φ’)2—2φ’f"12+f’1φ"+f"22．知識點解析：暫無解析14、設u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)確定的x，y的函數(shù)，其中f(z)與φ(z)為可微函數(shù)．證明：．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設xy=xf(z)+yg(z)，且xf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函數(shù)．證明：[x—g(z)]．標準答案：xy=xf(z)+yg(z)兩邊分別對x，y求偏導，得知識點解析：暫無解析16、設z=f(x，y)由方程z一y—z+zez—y—x=0確定，求dz．標準答案：對z—y—x+xez—y—x=0兩邊求微分，得dz—dy一dy+ez—y—x+xez—y—x(dz—dy—dx)=0，解得dz=+dy．知識點解析：暫無解析17、設u=f(x，y，z)有連續(xù)的偏導數(shù)，y=y(x)，z=z(x)分別由方程exy一y=0與ez一xz=0確定，求．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設f(x+y，x—y)=x2—y2+．標準答案：知識點解析：暫無解析19、設y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0確定的x，y的函數(shù)，且f(x，t)，G(x，y，t)一階連續(xù)可偏導，求．標準答案：將y=f(x，t)與G(x，t，t)=0兩邊對x求導得知識點解析：暫無解析20、設=z一xy。標準答案：知識點解析：暫無解析21、設變換，求常數(shù)a。標準答案：知識點解析：暫無解析22、求二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極值．標準答案：二元函數(shù)f(x，y)的定義域為D={(x，y)|y＞0}，知識點解析：暫無解析23、試求z=f(x，y)=x3+y3一3xy在矩形閉域D={(x，y)｜0≤x≤2，一1≤y≤2}上的最大值、最小值．標準答案：當(x，y)為區(qū)域D內時，由=一1；在L1：y=一1(0≤x≤2)上，z=x3+3x一1，因為z’=3x2+3＞0，所以最小值為z(0)=一1，最大值為z(2)=13；在L2：y=2(0≤x≤2)上，z=x3一6x+8，由z’=3x2一6=0得x=，z(2)=4；在L3：x=0(一1≤y≤2)上，z=y3，由z’=3y2=0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(一1≤y≤2)上，z=y3一6y+8，由z’=3y2一6=0得y=，z(2)=4，故z=x2+y2一3xy在D上的最小值為一1，最大值為13．知識點解析：暫無解析24、求u=x2+y2+z2在=1上的最小值。標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、若正項級數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性不確定標準答案：C知識點解析：2、設級數(shù)()．A、發(fā)散B、收斂于C、收斂于0D、斂散性不確定標準答案：B知識點解析：3、級數(shù)(a＞0)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性與a有關標準答案：C知識點解析：即原級數(shù)絕對收斂，選(C)．4、若級數(shù)un收斂(un＞0)，則下列結論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：令S=u1，u2，…，un，因為=0，令S’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2Sn一u1+un+1，于是一u1存在，選(C)，(A)、(B)、(D)都不對．5、設un收斂，則下列正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：6、設常數(shù)k＞0，則級數(shù)()．A、發(fā)散B、絕對收斂C、條件收斂D、斂散性與k有關標準答案：C知識點解析：7、設un=(一1)nln(1+)，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由交錯級數(shù)審斂法，發(fā)散，選(C)．8、設an＞0(n=1，2，…)且()．A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與k有關標準答案：A知識點解析：令un=(一1)n絕對收斂，選(A)．9、設un收斂，則下列級數(shù)必收斂的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：10、下列說法正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：11、下列結論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)12、設=___________．標準答案：8知識點解析：13、級數(shù)的收斂域為___________，和函數(shù)為___________．標準答案：[—2，2)；—ln(1—)(—2≤x＜2)知識點解析：由，得收斂半徑為R=2，當x=—2時級數(shù)收斂，當x=2時級數(shù)發(fā)散，14、設f(x)=，則f(n)(0)=___________．標準答案：知識點解析：15、函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)為___________．標準答案：知識點解析：16、級數(shù)在一1＜x＜1內的和函數(shù)為___________．標準答案：Xln(1—x2)+x3—x3ln(1—x2)(—1＜x＜1)知識點解析：三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)17、判別級數(shù)的斂散性，若收斂求其和．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設f(x)=S0=∫02f(x)e—xdx，S1=∫24f(x—2)e—xdx，…，Sn=∫2n2n+2f(x一2n)e—xdx，求Sn．標準答案：S0=∫02f(x)e—xdx=∫01xe—xdx+∫12(2一x)e—xdx=(1一)，令t=x一2，則S1=e—2∫02f(t)e—tdt=e—2S0，令t=x一2n，則Sn=e—2n∫02f(t)e—tdt=e—2nS0，S=．知識點解析：暫無解析19、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：知識點解析：暫無解析20、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：因為當x≥0時sinx≤x，所以0≤sin收斂．知識點解析：暫無解析21、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：知識點解析：暫無解析22、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：知識點解析：暫無解析23、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：由收斂．知識點解析：暫無解析24、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：因為發(fā)散．知識點解析：暫無解析25、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：由收斂．知識點解析：暫無解析26、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：因為收斂．知識點解析：暫無解析27、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：知識點解析：暫無解析28、判斷級數(shù)的斂散性．標準答案：因為n→∞時，收斂．知識點解析：暫無解析29、判斷級數(shù)的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條件收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析30、判斷級數(shù)的斂散性．若收斂是絕對收斂還是條件收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析31、設級數(shù)收斂．標準答案：由an≤bn≤cn，得0≤bn一an≤cn一an．因為(cn一an)收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法得收斂．知識點解析：暫無解析32、設正項級數(shù)收斂，并說明反之不成立．標準答案：因為0≤(un+un+1)，而收斂，反之不一定成立，如級數(shù)1+0+1+0+…發(fā)散，因為unun+1=0(n=1，2，…)，所以收斂．知識點解析：暫無解析33、設收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析34、標準答案：(1)因為an+1=所以{an}n=1∞單調減少，而an≥0，即{an}n=1∞是單調減少有下界的數(shù)列，根據(jù)極限存在準知識點解析：暫無解析35、設un＞0(n=1，2，…)，Sn=u1+u2+…+un．證明：收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析36、若正項級數(shù)都收斂，證明下列級數(shù)收斂：標準答案：知識點解析：暫無解析37、判斷級數(shù)的斂散性，若級數(shù)收斂，判斷其是絕對收斂還是條件收斂．標準答案：知識點解析：暫無解析38、標準答案：(1)取ε0=1，由=0，根據(jù)極限的定義，存在N＞，當n＞N時，收斂(收斂級數(shù)去掉有限項不改變斂散性)，由比較審斂法得收斂(收斂級數(shù)添加有限項不改變斂散性)．(2)根據(jù)(1)，當n＞N時，有0≤an＜bn，因為發(fā)散．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、下列結論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：2、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：3、下列命題正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：4、A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與常數(shù)口有關標準答案：B知識點解析：5、下列正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：6、A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性不確定標準答案：B知識點解析：7、A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與k的取值有關標準答案：C知識點解析：8、A、R0=R2B、R0=R1C、R0＜R2D、R0＞R2標準答案：B知識點解析：暫無解析9、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：10、A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標準答案：B知識點解析：11、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)12、標準答案：知識點解析：13、標準答案：(0，4)知識點解析：14、標準答案：2知識點解析：15、設函數(shù)f(x)=πx+x2(一π＜x＜π)的傅里葉級數(shù)為，則b3=________.標準答案：知識點解析：16、標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)17、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析28、求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析29、求級數(shù)的收斂域與和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析30、求冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)及其極值．標準答案：知識點解析：暫無解析31、標準答案：知識點解析：暫無解析32、將f(x)=arctanx展開成x的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析33、標準答案：知識點解析：暫無解析34、將f(x)=lnx展開成x-2的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析35、標準答案：知識點解析：暫無解析36、設有冪級數(shù)(1)求該冪級數(shù)的收斂域；(2)證明此冪級數(shù)滿足微分方程y"一y=一1；(3)求此冪級數(shù)的和函數(shù)：標準答案：知識點解析：暫無解析37、標準答案：知識點解析：暫無解析38、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、若f’(x)=sinx，則f(x)的原函數(shù)之一是A、1+sinxB、1—sinxC、1+cosxD、1一cosx標準答案：B知識點解析：暫無解析2、設函數(shù)f(x)連續(xù)，，則F’(x)=A、f(x2)一f(e-x)．B、f(x2)+f(e-x)．C、2xf(x2)一e-xf(e-x)．D、2xf(x2)+e-xf(e-x)．標準答案：D知識點解析：暫無解析3、設f(x)，φ(x)在點x=0的某鄰域內連續(xù)，且x→0時，f(x)是φ(x)的高階無窮小，則x→0時，的()無窮?。瓵、低階．B、高階．C、同階非等價．D、等價．標準答案：B知識點解析：暫無解析4、設f(x)有一階連續(xù)導數(shù)，f(0)=0，當x→0時，與x2為等價無窮小，則f’(0)等于A、0．B、2．C、D、標準答案：D知識點解析：暫無解析5、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，φ(x)=，則存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于A、1．B、0．C、D、2．標準答案：B知識點解析：暫無解析6、設等于A、0．B、1．C、D、一1．標準答案：A知識點解析：暫無解析7、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)且g(x)＜f(x)＜m，則由曲線y=f(x)，y=g(x)與直線x=a，x=b圍成的平面圖形繞直線y=m旋轉而成的旋轉體體積V等于A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：暫無解析8、下列廣義積分中發(fā)散的是A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)9、=_____________標準答案：知識點解析：暫無解析10、設，則=__________標準答案：x一(1+e-x)ln(1+ex)+c知識點解析：暫無解析11、設∫xf(x)dx=ln(1+x2)+c，則=___________標準答案：知識點解析：暫無解析12、=___________標準答案：2(e2+1)知識點解析：暫無解析13、設f(x)連續(xù)，且，則=___________標準答案：知識點解析：暫無解析14、設，則=___________標準答案：知識點解析：暫無解析15、=____________標準答案：ln3知識點解析：暫無解析16、設f(x)連續(xù)，且，則=__________標準答案：6知識點解析：暫無解析17、=__________標準答案：知識點解析：暫無解析18、設函數(shù)f(x)連續(xù)，則=___________標準答案：xf(x2)知識點解析：暫無解析19、曲線y=xex與直線y=ex所圍成圖形的面積是_________．標準答案：知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、標準答案：知識點解析：暫無解析26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、標準答案：知識點解析：暫無解析28、已知f(x)的一個原函數(shù)為，求∫xf’(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析29、標準答案：知識點解析：暫無解析30、標準答案：知識點解析：暫無解析31、標準答案：知識點解析：暫無解析32、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸所圍成的圖形面積可表示為()．A、一∫02x(x一1)(2一x)dxB、∫01x(x一1)(2一x)dx—∫12x(x一1)(2一x)dxC、一∫01x(x一1)(2—x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD、∫02x(x一1)(2一x)dx標準答案：C知識點解析：曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸的三個交點為x=0，x=1，x=2，當0＜x＜1時，y＜0；當1＜x＜2時，y＞0，所以圍成的面積可表示為(C)的形式，選(C)．2、雙紐線(x2+y2)2=x2一y2所圍成的區(qū)域面積可表示為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：雙紐線(x2+y2)2=x2一y2的極坐標形式為r2=cos2θ，再根據(jù)對稱性，有A=4×cos2θdθ，選(A)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、設f(x)∈C[1，+∞)，廣義積分∫1+∞f(x)如收斂，且滿足f(x)=f(x)dx，則f(x)=___________．標準答案：知識點解析：4、設f(x)==___________．標準答案：e—1知識點解析：5、設f(x)二階連續(xù)可導，且y(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，則∫01xf"(2x)dx=___________。標準答案：2知識點解析：6、設f(x)=則∫—15f(x—1)dx=___________．標準答案：知識點解析：7、=___________(其中a為常數(shù))．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)8、設f(x)∈C[—π，π]，且f(x)=+∫—ππf(x)sinxdx，求f(x)．標準答案：知識點解析：暫無解析9、設f(x)=∫1xdt，求∫01x2f(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析10、求標準答案：知識點解析：暫無解析11、求標準答案：知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、設f(2)=，f’(2)=0，∫02f(x)dx=1，求∫01x2(2x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析14、設f(x)=．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設f(t)=∫12dx，求∫01t2f(t)dt．標準答案：知識點解析：暫無解析17、求∫013x2arcsinxdx．標準答案：知識點解析：暫無解析18、求函數(shù)f(x)=(2一t)e—tdt的最大值與最小值．標準答案：因為f(x)為偶函數(shù)，所以只研究f(x)在[0，+∞)內的最大值與最小值即可．因為f(+∞)=f(—∞)=∫0+∞(2一t)e—tdt=1及f(0)=0，所以最小值為0．知識點解析：暫無解析19、求標準答案：知識點解析：暫無解析20、計算．標準答案：知識點解析：暫無解析21、∫—11(2+sinx))dx．標準答案：知識點解析：暫無解析22、計算．標準答案：x=1為被積函數(shù)的無窮間斷點，則知識點解析：暫無解析23、設f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．標準答案：令g(x)=∫axf(x)dt—∫xbf(t)dt，因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，所以g(a)=一∫abf(t)dt＜0，g(b)=∫abf(t)dt＞0，由零點定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．知識點解析：暫無解析24、設f(x)為連續(xù)函數(shù)，證明：標準答案：(1)令I=∫0πxf(sinx)dx，則I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π—dt)f(sint)(—dt)=∫0π(π—t)f(sint)dt=∫0π(π一x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx一∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx—I，則I=∫0πxf(sinx)dx=f(sinx)dx．(2)∫02πf(|sinx|)dx=∫—ππf(|sinx|)dx=2∫0πf(|sinx|)dx=2∫0πf(sinx)dx=4f(sinx)dx．(3)知識點解析：暫無解析25、證明：．標準答案：知識點解析：暫無解析26、設f(x)連續(xù)，證明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x一t)dt．標準答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，則F’(x)=f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xF(t)dt，∫0xf(t)(x—t)dt=x∫0xf(t)dt一∫0xtf(t)dt=xF(x)一∫0xtdF(t)=xF(x)一tF(t)|0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt．命題得證．知識點解析：暫無解析27、設f(x)在區(qū)間[0，1]上可積，當0≤x＜y≤1時，｜f(x)一f(y)｜≤｜arctanx—arctany｜，又f(1)=0，證明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．標準答案：知識點解析：暫無解析28、設f(a)=f(b)=0，∫abf2(x)dx=1，f’(x)∈C[a，b]．(1)求∫abxf(x)f’(x)dx；(2)證明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥．標準答案：知識點解析：暫無解析29、設f(x)在區(qū)間[0，1]上可導，f(1)=2x2f(x)dx．證明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．標準答案：令φ(x)=x2f(x)，由積分中值定理得f(1)=，即φ(c)=φ(1)，顯然φ(x)在區(qū)間[0，1]上可導，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，當x→0時，f(x)與g(x)是等價無窮小，令F(x)=∫0xf(x—t)dt，G(x)=∫01xg(xt)出，則當x→0時，F(xiàn)(x)是G(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：D知識點解析：2、設F(x)=∫xx+2πesintsintdt，則F(x)()．A、為正常數(shù)B、為負常數(shù)C、為零D、取值與z有關標準答案：A知識點解析：由周期函數(shù)的平移性質，F(xiàn)(x)=∫xx+2πesintsintdt一∫-ππesintsintdt，再由對稱區(qū)間積分性得F(x)=∫0π(esintsint—e-sintsint)dt=∫0π(esint一e-sint)sintdt，又(esint一e-sint)sint連續(xù)、非負、不恒為零，所以F(x)＞0，選(A)．3、設α=，則當x→0時，兩個無窮小的關系是()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：C知識點解析：因為≠1，所以兩無窮小同階但非等價，選(C)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、設f(sin2x)=___________。標準答案：arcsin2+C知識點解析：5、設f(lnx)=，則∫f(x)dx=___________．標準答案：——ln(1+e-x)+C知識點解析：6、設∫xf(x)dx=arcsinx+C，則=___________。標準答案：知識點解析：7、設f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，則f(x)=___________．標準答案：f(x)=cosx—xsinx+C知識點解析：由∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得∫01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即∫0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，兩邊求導得f’(x)=一2sinxxcosx，積分得f(x)=cosx—xsinx+C．8、=___________．標準答案：知識點解析：9、=___________．標準答案：知識點解析：10、=___________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、設f(x)=，求∫01x2f(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析12、設f(x)連續(xù)，且f(x)=2∫0xf(x一t)dt+ex，求f(x)．標準答案：∫0xf(x—t)dt∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，f(x)=2∫0xf(u)du+ex兩邊求導數(shù)得f’(x)一2f(x)=ex，則f(x)=(∫ex．e∫—2dxdx+C)e=Ce2x—ex，因為f(0)=1，所以C=2，故f(x)=2e2x一ex．知識點解析：暫無解析13、求．標準答案：知識點解析：暫無解析14、計算標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：=ln｜x2lnx｜+C知識點解析：暫無解析17、標準答案：因為(x2ex)’=(xx+2x)ex，知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、設f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析20、計算標準答案：知識點解析：暫無解析21、計算標準答案：知識點解析：暫無解析22、設F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當x≥0時，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(xiàn)(x)＞0，求f(x)．標準答案：兩邊積分得F2(x)=知識點解析：暫無解析23、設f’(lnx)=，求f(x)．標準答案：令lnx=t，則f’(t)=，當t≤0時，f(t)=t+C1；當t＞0時，f(t)=et+C2．顯然f’(t)為連續(xù)函數(shù)，所以f(t)也連續(xù)，于是有C1=1+C2，故f(x)=知識點解析：暫無解析24、標準答案：知識點解析：暫無解析25、設f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．標準答案：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π—∫0πf’(x)sinxdx=—∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e-1—e知識點解析：暫無解析26、標準答案：知識點解析：暫無解析27、設f(x)連續(xù)，∫0xtf(x一t)dt=1—cosx，求f(x)dx．標準答案：由∫0xtf(x—t)dt∫x0(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x—u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du=1一cosx，兩邊求導得∫0xf(u)du=sinx，令x=f(x)dx=1．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（高等數(shù)學）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設直線及平面π：4x一2y+z一6=0，則直線L()．A、平行于平面πB、在平面π上C、垂直于平面πD、與平面π斜交標準答案：C知識點解析：直線L的方向向量為s={1，3，2)×{2，一1，一10)={一28，14，一7)，因為s∥n，所以直線L與平面π垂直，正確答案為(C)．2、設直線則直線L1，L2的夾角為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：s1={1，一2，1)，s2={1，一1，0)×{0，2，1)={一1，一1，2)，設直線L1，L2的夾角為θ，則，從而，正確答案為(C)．3、在曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()．A、只有1條B、只有2條C、至少3條D、不存在標準答案：B知識點解析：在t=t0處曲線的切向量為T={1，一2t0，3t02)，切線與平面x+2y+z=4垂直的充分必要條件是n×T=0，即1—4t0+3t02=0，解得或t0=1，選(B)．二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)4、標準答案：知識點解析：由｜a+b｜2=(a+b)(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一4，則｜a—b｜2=(a一b)(a一b)=｜a｜2+｜b｜2一2ab=13+19+8=40．則｜a—b｜=．5、過點(2，0，一3)且與直線垂直的平面方程為_________·標準答案：一16x+14y+11z+65=0知識點解析：s1={1，一2，4)，s2={3，5，一2)，所求平面的法向量n=s1×s2={一16，14，11)，則所求平面方程為一16x+14y+11z+65=0．6、過原點及點(6，一3，2)且與平面4x—y+2z=8垂直的平面方程為_________．標準答案：2x+2y一3z=0知識點解析：設所求平面為π：Ax+By+Cz+D=0，因為π經過原點，所以D=0，即π：AX+By+Cz=0，又因為π經過點(6，一3，2)且與4x—y+2z=8