平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動(dòng)探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識(shí)1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)__________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝________．若e1，e2________，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．把一個(gè)向量分解為兩個(gè)________的向量，叫做把向量作正交分解．不共線λ1e1＋λ2e2不共線互相垂直

(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)

x1y2－x2y1＝0

√×√×2．(教材改編)已知a＝(3，6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，則b＝(

)A．(1，2)

B．(－1，－2)

C．(－1，2)

D．(1，－2)答案：B解析：由a＋3b＝(3，6)＋3(x，y)＝0得x＝－1，y＝－2.故選B.

答案：B解析：根據(jù)平面向量基底的定義知，兩個(gè)向量不共線即可作為基底．故選B.

答案：A

5．(易錯(cuò))已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，0)，(0，1)，(2，1)，則其第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案：(3，0)或(1，2)或(－1，0)

課堂互動(dòng)探究案1.了解平面向量基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．問(wèn)題思考·夯實(shí)技能

【問(wèn)題1】在給定基底的情況下，同一向量的分解形式是否唯一？提示：唯一．若{e1，e2}是基底，且a＝λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，則必有λ1＝λ2，μ1＝μ2.

答案：D

答案：C

題后師說(shuō)應(yīng)用平面向量基本定理的策略鞏固訓(xùn)練1

(1)(多選)[2024·山東聊城模擬]已知e1，e2是平面向量的一組基底，則下列四組向量中，可以作為一組基底的是(

)A．e1和e1＋e2

B．e1－2e2和e2－2e1C．e1＋e2和e1－e2

D．e1－2e2和4e2－2e1答案：ABC

答案：D

答案：D

題后師說(shuō)(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，首先利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解．(2)向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來(lái)，引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算．

答案：D

(2)如圖，在4×4的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量m，n，p滿足p＝xm＋yn(x，y∈R)，則4x＋y＝________．答案：7

題型三

向量共線的坐標(biāo)表示角度一利用向量共線求參數(shù)例3[2024·河北唐山模擬]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若(kb＋a)∥(b－a)，則實(shí)數(shù)k＝________．答案：－1解析：由a＝(1，2)，b＝(2，3)，得kb＋a＝(2k＋1，3k＋2)，b－a＝(1，1)，由(kb＋a)∥(b－a)，得(3k＋2)－(2k＋1)＝0，所以k＝－1.

答案：(10，－21)

題后師說(shuō)平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略

答案：D

答案：C

1．[2024·河北保定模擬]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，則x＝(

)A．9

B．3

C．6

D．5答案：C解析：因?yàn)閍＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，所以2x＝3×4，解得x＝6.故選C.

答案：D

3．[2024·河南平頂山模擬]已知向量a＝(1，－1)，b＝(m2，m)，則m＝－1是a∥b的(

)A．充分不必要條件B