蘇教版必修第二冊(cè)11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用課堂練習(xí)

【基礎(chǔ)】11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用課堂練習(xí)

一.單項(xiàng)選擇

1.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東6?！?行駛

4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°,這時(shí)船與燈塔的距離為（）版.

A.15B.30&c.15cD.300

2.在A45。中，三條邊分別為“，瓦,,若°=4,'=5,C=6,則三角形的形狀（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.不能確定

3.—ABC的三邊長(zhǎng)分別為生5,7,則該三角形的形狀為（）

A.沒有滿足要求的三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

4.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)

A4c的三個(gè)內(nèi)角A,B,0的對(duì)邊分別為。，b,c,面積為S,則“三斜求積”公

<_1J年+/_/丫

SAABCc------------_

2

式為V12J,若a=7,b=8c=9,則.ABC的內(nèi)切圓

半徑為（）

A.3B.石C./D.百

5.2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》實(shí)施，根據(jù)該條例：小區(qū)內(nèi)

需設(shè)置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發(fā),

向正北方向走了80米，到達(dá)有害垃圾桶，隨后向南偏東60°方向走了30米，到達(dá)可回

收物垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走（）

A.50米B.57米C.64米D.70米

6.甲船在湖中3島的正南A處，AB=12km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,

同時(shí)乙船從3島出發(fā)，以8km/h的速度向北偏東60。方向駛?cè)?，則行駛半小時(shí)，兩船的

距離是（）

A.455-26kmB.4V3kmC.4akmD.455+26km

7.某市園林局設(shè)計(jì)了一款給城市道路中間花草澆水的裝置，設(shè)計(jì)圖如圖所示，為道

路，8為花草，砂為固定儀器，PG為噴桿，在點(diǎn)G處有個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的噴頭（假定

NEFG=—ZMGN=-

噴水口只能在豎直平面轉(zhuǎn)動(dòng)），已知E尸,筋，3,且噴射角4

EF=2,FG=1,則該噴水裝置噴在該道路的花草上的寬度MN的最小值為（)

5

A.5A/2-5B.5A/2c.^-5D.56

8.某大學(xué)的大門蔚為壯觀，有個(gè)學(xué)生想搞清楚門洞拱頂。到其正上方A點(diǎn)的距離，他

站在地面°處，利用皮尺測(cè)得3C=9m,利用測(cè)角儀器測(cè)得仰角NACB=45,測(cè)得仰

sinNACD=^^

角/BCD后通過計(jì)算得到26,則AD的長(zhǎng)度為（）

畬

A2mB2.5mc.3mD.4m

9.在一幢1°米高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0,塔基的俯角為45,那么這座

塔吊的高是（）

io[l+—

A.13

JB.10(1+右)c,5(瓜+正)D,2(76+V2)

10.如圖所示，RCN三點(diǎn)在地面同一直線上，DC=a,從CD兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰

角分別是則A點(diǎn)離地面的高等于（）

asinasin尸asinasinpasinacos°acosacosB

Acos(a-/?)Bsin(a-/7)Qsin(a-/?)口cos(a—,)

11.如圖，ABC中,ZBAC=90°；AD_LBC于。，若AB=2,BC=3,則CD

的長(zhǎng)是（）

A.3B.3C.3D.3

12.“白日依山盡，黃河入海流，欲窮千里目，更上一層樓”，古詩(shī)《登鸛雀樓》是一

首登高的名作，詩(shī)人王之渙描繪了一幅美妙的山水畫，從此也令鸛雀樓名聲大作，世人

也能領(lǐng)略鸛雀樓之美.鸛雀樓有三層，前對(duì)中條山，下臨黃河，傳說有鸛雀在此停留.下

面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，游客（視為一質(zhì)點(diǎn)）從地面D點(diǎn)看樓頂點(diǎn)A的仰角為30°,

沿直線前進(jìn)79米到達(dá)E點(diǎn)此時(shí)看點(diǎn)C的仰角為45。，若BC=2AC,則鸛雀樓的高

相約為（）（g=L73）

A.65米B.74米C.83米D.92米

13.伯樂樹是中國(guó)特有樹種.國(guó)家一級(jí)保護(hù)樹種，被譽(yù)為“植物中的龍風(fēng)”，常散生于

濕潤(rùn)的溝谷坡地或小溪旁.一植物學(xué)家為了監(jiān)測(cè)一棵伯樂樹的生長(zhǎng)情況，需測(cè)量樹的高

度.他在與樹干底部在同一水平面的一塊平地上利用測(cè)角儀（高度忽略不計(jì)）進(jìn)行測(cè)量，

在點(diǎn)A處測(cè)得樹干底部在西偏北30。的方向上，沿直線向西前進(jìn)3.4m后，在點(diǎn)3處測(cè)

得樹干底部在西偏北40。的方向上，此時(shí)樹干頂部的仰角為60。，則該伯樂樹的高度為

(sin10°=0.17)()

A.106mB.10V2mC.8/mD.70m

14.設(shè)」AB。的三個(gè)內(nèi)角Al,0的對(duì)邊分別為若a=6,b=8,c=12,若

。為AB邊的中點(diǎn)，貝,cq的值為（）

A.7B,10C,拒D.2幣

15.已知二A5c中，三內(nèi)角A5C依次成等差數(shù)列，三邊。，仇°依次成等比數(shù)列，則

ABC是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

參考答案與試題解析

1.【答案】D

【解析】分析：設(shè)過3點(diǎn)的南北方向直線與直線AB交于點(diǎn)D,且=結(jié)合題

中數(shù)據(jù)在RtABCD中算出BD=(2+4)xkm,然后在RtAADB中算出AD=(2/+3)x,

根據(jù)AC=M-8=15x4=60.建立關(guān)于x的方程解出x=15(若-1)加，最后在

RtABCD中利用三角函數(shù)的定義加以計(jì)算，即可算出此時(shí)的船與燈塔的距離.

詳解：解：設(shè)根據(jù)題意，可得

RtABCD中，設(shè)CD=xkm,

/.tan/CBD=-=(2-

ZCBD=15°BD

CDr-

BD=——尸=(2+43)x切i

由此可得2-,3

Rt_ADB中，ZABD=600

AD=6BD=(2百+3)x

因止匕AC=AD—CD—(2-\/3+3)x—x=15x4

即(2A/3+2)x=60角星之得x=15(若-l)km

CD15函-1)

=34?km

sin15°y/6-y/2

由此可得Rt^BCD中,4,即此時(shí)的船與燈塔的距離為

30匹km

故選：D.

北：，

???

西東

【點(diǎn)睛】

本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求航行過程中船與燈塔的距離.著重考查了利用正余弦定理解

三角形.直角三角形中三角函數(shù)的定義和方位角的概念等知識(shí)，屬于中檔題.

2.【答案】A

【解析】試題分析：根據(jù)余弦定理可求得cosC>。，可知C為銳角；根據(jù)三角形大邊對(duì)

大角的特點(diǎn)可知C為三角形最大的內(nèi)角，從而得到三角形為銳角三角形.

「a-+b2-c2f1-6-+-2-5-3-6---1---------

詳解：由余弦定理可得：2ab2x4x58

Ce（。㈤且

又a<b<c,則均為銳角，即AABC為銳角三角形

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形中三角形形狀的判斷，關(guān)鍵是能夠利用余弦定理首先確定最大角所處

的范圍，涉及到三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)的應(yīng)用.

3.【答案】D

【解析】試題分析：結(jié)合余弦定理判斷最大角后可得結(jié)論.

詳解：解析：因?yàn)??+52<72,由余弦定理易知，最大角為鈍角，該三角形為鈍角三角

形.

故選：D.

4.【答案】D

Swc=1（4+沙+。）義廠

【解析】分析：三角形的面積公式可以表示為2，其中「為內(nèi)切圓

的半徑，結(jié)合題干條件求出三角形的面積，然后解出「即可.

詳解：解：由已知條件可知：?1因?yàn)椤?7,8=8,

1LO1<49+81-64?s憶i

S/\ABC=.49x81-1-J=126又S3c=5(a+b+c)"

c=9,所以

人13(7+8+9卜廠=12方

則r=6

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查用內(nèi)切圓半徑和邊長(zhǎng)表示三角形面積，考查學(xué)生接受新知識(shí)的能力和運(yùn)算求解

能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】試題分析：畫出圖形，在4A3c中，利用余弦定理，即可求解AC的長(zhǎng)，得到

答案.

詳解：由題意，設(shè)李華家為A,有害垃圾點(diǎn)為3,可回收垃圾點(diǎn)為C,

則李華的行走路線，如圖所示，

在，ABC中，因?yàn)锳B=80,5C=30,8=60,

由余弦定理可得：

AC=AB2+BC2-2AB-BCcos60°=J802+302-2x80x30x-=70

V2米，

即李華回到自家樓下至少還需走70米.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，其中解答中作出示意圖,

結(jié)合余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.

6.【答案】C

行駛半小時(shí)后，設(shè)甲船到達(dá)C,乙船到達(dá)。，依題意可知5c=12-4=8（km）,

B￡>=4（km）,且NCB￡>=120。，在△CBD中，由余弦定理得：

CD2=BC2+BD2-2BCBr>cosZCB￡>=82+42-2x8x4xcosl200=112,

所以，CD=4V7（km）,即半小時(shí)后，兩船的距離是4j7km.故選：C.

7.【答案】A

5

【解析】分析：計(jì)算出點(diǎn)G到地面的距離為,，利用GMN的面積可得出

5MN=42GMGN,然后在_GMN利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得MN的最小

值.

詳解：設(shè)點(diǎn)=到地面的距離為〃，則

1171

S.=—MNh=—GMGNsin—

所以詼CMN224,^5MN=6GM.GN.

在4GMN中,由余弦定理得

MN-=GM2+GN2-2GM-GNcos->2GM-GN-&GM-GN

4

MN2＞（2-j2]GMGN?…

即IJ,當(dāng)且僅當(dāng)GW=GV時(shí)，等號(hào)成立,

lMN2>-^(2-y/2}MN=5(y/2-l\MN

豆5MN=4iGM-GN,即◎)v'

則MN25向5,則MN的最小值為50-5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理.三角形面積公式.基本不等式，考查運(yùn)算求解能力.數(shù)學(xué)運(yùn)算核心

素養(yǎng)，屬于中等題.

8.【答案】C

【解析】試題分析：設(shè)也二加，從而用工表示出即，8；在AACO中利用正弦定理

可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

詳解：設(shè)=則5D=（9T）機(jī)，CD=W+（9—xYm

CD_A。V2-726

在AACD中，由正弦定理得sinNDACsin/ACD得：226

."F+e—力2]=26）即2爐+3》—27=0,解得：x=3

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形實(shí)際應(yīng)用中的高度問題的求解，關(guān)鍵是能夠在三角形中利用正弦定理

構(gòu)造方程.

9.【答案】B

【解析】試題分析：根據(jù)題意作出圖形，解三角形即可.

詳解：根據(jù)題意作圖如下：

由題意知：A5=10,仰角ZDAE=60°,俯角NC4E=45,

在等腰直角三角形CAE中，AE=EC=AB=10t

在直角三角形DAE中，NDAE=60°,所以DE=AEtanNDAE—AEtanZ60=10A/3

所以塔高8=31°6=叩+百），

故選：B

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意畫出圖形，能找出俯角和仰角，

10.【答案】B

【解析】試題分析：用A5表示出。氏Cfi,然后由C°=a列出方程，解出后切化弦再

化簡(jiǎn)即得.

詳解：由題意tana,tan尸，

ABAB

CB-DB------------------------=CL

tan0tana

〃tanatan/_asinasin/?_asinasin/?

tana—tan0sinacos一sin尸cosasin（a一尸）

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形的應(yīng)用，解題方法是利用直角三角形中正切函數(shù)的定義及同角關(guān)系式

化簡(jiǎn)，結(jié)合兩角差的正弦公式得出結(jié)論.

n.【答案】D

AC_BC

【解析】試題分析：先證446cs即可證℃—AC,即可求CD的長(zhǎng).

詳解：解：AD±BCy

即ZA￡)C=90,

又NB4c=90°,

:.ZADC^ABAC=90°

且NC=NC,

ABCsZ\DAC,

ACBC

"~DC~~AC

AB=2，6C=3，

:.AC=^32-22=75

V5_3

即。C下,

DC=-

解得：3,

CD=-

即3.

故選：D.

12.【答案】B

tanZADB=—=—

【解析】試題分析：不妨設(shè)AC=x，則5c=2x,AB=3x,由BD3,

再根據(jù)9=2X+79,求出工的值即可.

詳解：解：設(shè)AC=",則5c=2x,AB=3尤

在RtAABE中，BC=BE=2x,ABD=2x+79

tan300=3%=—

2x+793

7973

x二----產(chǎn)x24.7

9-2V3

AB=3x874米,

故選：B.

13.【答案】A

【解析】作出示意圖如圖所示，G8為該樹.在中，ZAHB=40°-30°=10°,

由正弦定理可得BH=3-4sm30。=股,所以GH=BHtanGO。=10百，所以該伯樂樹

sinlO°

的高度為10扇.

Q、

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、「\

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'心、、.'、

40。'八3a

BA

14.【答案】C

【解析】分析：由已知