數(shù)理方程分離變量法市公開課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

第二章分離變量法一、有界弦自由振動(dòng)二、有限長桿上熱傳導(dǎo)三、拉普拉斯方程定解問題四、非齊次方程解法五、非齊次邊界條件處理六、關(guān)于二階常微分方程特征值問題一些結(jié)論10/10/1第1頁基本思想：首先求出含有變量分離形式且滿足邊界條件特解，然后由疊加原理作出這些解線性組合，最終由其余定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動(dòng)問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等特點(diǎn)：a.物理上由疊加原理作確保，數(shù)學(xué)上由解唯一性作確保；b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。一、有界弦自由振動(dòng)10/10/2第2頁令代入方程：令代入邊界條件1、求兩端固定弦自由振動(dòng)規(guī)律10/10/3第3頁特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條件下求非零解問題特征（固有）值：使方程有非零解常數(shù)值特征（固有）函數(shù)：和特征值相對(duì)應(yīng)非零解分情況討論：1）2）3）令，為非零實(shí)數(shù)10/10/4第4頁10/10/5第5頁10/10/6第6頁10/10/7第7頁?分離變量?求特征值和特征函數(shù)?求另一個(gè)函數(shù)?求通解?確定常數(shù)分離變量法能夠求解含有齊次邊界條件齊次偏微分方程。10/10/8第8頁2解性質(zhì)

x=x0時(shí)：其中：駐波法t=t0時(shí)：10/10/9第9頁例1：設(shè)有一根長為10個(gè)單位弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)位移。解：10/10/10第10頁10/10/11第11頁于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/12第12頁10/10/13第13頁解：例2求以下定解問題10/10/14第14頁10/10/15第15頁10/10/16第16頁初始條件10/10/17第17頁例3求以下定解問題解：由例1中方法知，以上特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為10/10/18第18頁這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為于是得到一系列分離變量形式特解這些特故原問題解為10/10/19第19頁例4求以下定解問題令代入方程：解：10/10/20第20頁10/10/21第21頁于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/22第22頁10/10/23第23頁10/10/24第24頁二有限長桿上熱傳導(dǎo)令帶入方程：解：10/10/25第25頁由例4知，以上特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為滿足方程于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/26第26頁令代入方程：令例5求以下定解問題解：由例1中方法知，以上特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為10/10/27第27頁于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/28第28頁例6求以下定解問題解：令10/10/29第29頁10/10/30第30頁于是得到一系列分離變量形式特解10/10/31第31頁若則u為多少？為何會(huì)出現(xiàn)這么現(xiàn)象？思索這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為若10/10/32第32頁分離變量流程圖10/10/33第33頁三拉普拉斯方程定解問題1直角坐標(biāo)系下拉普拉斯問題解：由例1中方法知，以上特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為10/10/34第34頁于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/35第35頁10/10/36第36頁例7求以下定解問題解：由例6中方法知，以上特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為10/10/37第37頁于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/38第38頁10/10/39第39頁例8求以下定解問題解：由例1中方法知，以上特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為10/10/40第40頁于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/41第41頁2圓域內(nèi)拉普拉斯問題10/10/42第42頁例9求以下定解問題解：（自然邊界條件）（周期性邊界條件）周期特征值問題10/10/43第43頁(歐拉方程)令周期特征值問題故以上周期特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為10/10/44第44頁（由自然邊界條件）（由自然邊界條件）于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/45第45頁例10求以下定解問題解：（周期性邊界條件）周期特征值問題10/10/46第46頁歐拉方程這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/47第47頁其它為零10/10/48第48頁例11求以下定解問題解：由例1中方法知，以上特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為（自然邊界條件）10/10/49第49頁（由自然邊界條件）10/10/50第50頁例11求解以下二維熱傳導(dǎo)方程定解問題解：由例1中方法知，以上特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為10/10/51第51頁于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/52第52頁例12求以下熱傳導(dǎo)方程定解問題解法一：令10/10/53第53頁解法二：令由例1中方法知，以上特征值問題特征值和特征函數(shù)分別為10/10/54第54頁于是得到一系列分離變量形式特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程疊加原理，設(shè)原問題解為10/10/55第55頁慣用特征值問題周期特征值問題10/10/56第56頁四非齊次方程解法求以下定解問題方程是非齊次，是否能夠用分離變量法？思索10/10/57第57頁由線性方程疊加原理，令：10/10/58第58頁令：為何？非齊次方程特征函數(shù)展開法10/10/59第59頁用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程初值問題10/10/60第60頁例13求以下定解問題解：先解對(duì)應(yīng)齊次問題其特征值和特征函數(shù)為10/10/61第61頁10/10/62第62頁例14求以下定解問題解：令其特征值和特征函數(shù)為10/10/63第63頁10/10/64第64頁用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程初值問題10/10/65第65頁例15求定解問題解：將原問題變換到極坐標(biāo)系下：周期特征值問題10/10/66第66頁非齊次方程特征函數(shù)展開法10/10/67第67頁10/10/68第68頁例16求定解問題周期特征值問題10/10/69第69頁非齊次方程特征函數(shù)展開法10/10/70第70頁10/10/71第71頁五非齊次邊界條件處理解：首先要想方法將非齊次條件齊次化。令取其中輔助函數(shù)滿足10/10/72第72頁10/10/73第73頁常見非齊次邊界條件齊次化所使用輔助函數(shù)非齊次邊界條件齊次化所使用輔助函數(shù)以上方法適合用于波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和位勢方程。10/10/74第74頁例17求以下定解問題解：令能夠用非齊次方程特征函數(shù)展開法求解以上問題。10/10/75第75頁若f(x,t)和非齊次邊界條件都與t無關(guān)，則此時(shí)W僅是x函數(shù)W(x)此方法在使得非齊次邊界條件齊次化同時(shí)將造成方程非齊次化。能否做到二者同時(shí)齊次化？若能從中求出W(x,t)，就能夠?qū)崿F(xiàn)二者同時(shí)齊次化。但普通極難求出!10/10/76第76頁例18求以下定解問題解：令請(qǐng)與例17比較，研究其優(yōu)缺點(diǎn)。10/10/77第77頁例19求定解問題解：令能夠用分離變量法求解以上問題。10/10/78第78頁例20求定解問題解：令能夠用分離變量法求解以上問題。10/10/79第79頁例21求定解問題解：令10/10/80第80頁定解問題選擇適當(dāng)坐標(biāo)系邊界條件非齊次，轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件非齊次方程，齊次邊界條件齊次方程，齊次邊界條件直接用分離變量法非齊次方程，齊次定解條件特征