走進重高-培優(yōu)講義-數(shù)學(xué)-八年級-上冊-(浙教版)

走進重高培優(yōu)講義數(shù)學(xué)八年級上冊(浙教版)基礎(chǔ)鞏固篇第一講認識三角形思維導(dǎo)圖重難點分析重點分析：1.三角形是由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接而成的圖形，是最簡單、最基本的幾何圖形，是學(xué)習(xí)其他幾何圖形的基礎(chǔ).2.三角形的邊的性質(zhì)有：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，這一性質(zhì)可用“兩點之間線段最短”來說明，若三角形的兩邊長分別為a和b，那么第三邊長c的取值范圍是|a-b|<c<a+b.3.三角形的角的性質(zhì)有：三個內(nèi)角的和為180°，三個外角的和為360°，每個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.4.三角形按邊可以分為等腰三角形(等邊三角形是特殊的等腰三角形)和不等腰三角形，按角可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.難點分析：1.判斷三條線段能否組成三角形時，一般先確定最長的一條線段，然后將另外兩條線段的和與最長的一條線段作比較，如果兩條線段的和大于最長的線段，則這三條線段可以組成三角形，反之則不能.2.三角形角的性質(zhì)主要是關(guān)于角的等量關(guān)系，常應(yīng)用于角度計算，解題時要注意把已知角和未知角統(tǒng)一到一個三角形中.例題精析例1、有四條線段，長度分別為4cm，8cm，10cm，12cm，選其中三條組成三角形，試問可以組成多少個三角形？思路點撥：四條線段中選三條線段共有4種選法，可以將每種情況列舉出來，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行判斷，如果兩條較短線段的和大于最長線段，則可以組成三角形.解題過程：有3種情況可以組成三角形：①12cm，10cm，8cm；②12cm，10cm，4cm；③10cm，8cm，4cm.方法歸納：判斷三條線段能否組成三角形分兩步：(1)確定最長的一條線段；(2)檢驗兩條較短線段的和是否大于最長的線段.易錯誤區(qū)：四條線段中選三條共有四種選法，用枚舉法將各種情況列舉出來，注意不重不漏.例2、如圖，在△ABC中，點D為△ABC內(nèi)一點，已知∠BDC=100°，∠1=30°，∠2=20°，求∠A的度數(shù).思路點撥：要求∠A的度數(shù)，只需要求出∠ABC+∠ACB的度數(shù).根據(jù)∠BDC=100°，利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠DBC+∠DCB的度數(shù)，從而可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù).解題過程：∵∠BDC=100°，且∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=80°.∴∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+∠1+∠2=130°.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=50°.方法歸納：本題也可延長BD或CD分割△ABC，然后利用三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)計算.易錯誤區(qū)：本題∠DBC與∠DCB的度數(shù)不能確定，要把它們看成一個整體，即求它們的和.例3、如圖，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD，CE上的中點，且S△BEF=1，求S△ABC.思路點撥：根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答．解題過程：∵點E是AD的中點，∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ACD．∴S△ABE+S△ACE=S△ABC.∴S△BCE=S△ABC．∵點F是CE的中點，∴S△BEF=S△BCE=S△ABC.∴S△ABC=4S△BEF=4．方法歸納：本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等．易錯誤區(qū)：題中三角形面積的倍半關(guān)系比較復(fù)雜，注意三角形面積相等的條件．例4、如圖:(1)圖1是一個五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)；(2)將圖1中的點A向下移到BE上(如圖2)，五個角的和有無變化？說說你的理由；(3)將圖2中的點C向上移到BD上(如圖3)，五個角的和有無變化？說說你的理由.圖1圖2圖3思路點撥：要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，需要將這些角轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角或外角，如圖4，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠A+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D，其他兩個圖形用同樣的方法即可解決.解題過程：(1)如圖4，∵∠A+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D.而∠1+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.圖4圖5(2)不變，仍為180°，如圖5，同（1）可證∠CAD+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D=180°.(3)不變，理由同(2).方法歸納：應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將問題轉(zhuǎn)化為三角形的外角和內(nèi)角的性質(zhì)問題.易錯誤區(qū)：本題中三個圖形雖然有變化，但其中角之間的數(shù)量關(guān)系沒有變化，解題時要抓住圖形中的三角形特征.圖中角比較多，要注意理清數(shù)量關(guān)系，不要混淆.例5、將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE，DF恰好分別經(jīng)過點B，C．圖1圖2圖3（1）如圖1，若∠A=40°，點D在△ABC內(nèi)，則∠ABC+∠ACB=度，∠DBC+∠DCB=度，∠ABD+∠ACD=度；（2）如圖2，改變直角三角板DEF的位置，使點D在△ABC內(nèi)，請?zhí)骄俊螦BD+∠ACD與∠A之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并驗證你的結(jié)論；（3）如圖3，改變直角三角板DEF的位置，使點D在△ABC外，且在AB邊的左側(cè)，直接寫出∠ABD，∠ACD，∠A三者之間存在的數(shù)量關(guān)系．思路點撥：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=90°，進而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，則∠ABD+∠ACD=90°-∠A；（3）由（1）（2）的解題思路可得：∠ACD-∠ABD=90°-∠A．解題過程：（1）答案為：140；90；50.（2）∠ABD+∠ACD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．證明：∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°.∴∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A.（3）∵在△ABC中，∠ABC+∠BCD+∠ACD=180°-∠A,在△DBC中，∠ABD+∠ABC+∠BCD=90°,∴∠ACD-∠ABD=180°-∠A-90°.∴∠ACD-∠ABD=90°-∠A．方法歸納：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．易錯誤區(qū)：題（3）直角的位置發(fā)生了變化，所以結(jié)論與題（2）有區(qū)別，要注意圖形的變化．探究提升圖1圖2例、已知如圖1，線段AB，CD相交于點O，連結(jié)AD，CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD，AB分別相交于點M，N.試解答下列問題：(1)在圖1中，請直接寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)有個；(3)在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數(shù)；(4)如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D，∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出結(jié)論即可)思路點撥：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D=∠B+∠C；(2)根據(jù)“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；(3)先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義可得∠P與∠D，∠B之間的數(shù)量關(guān)系，進而求出∠P的度數(shù)；(4)由（3）可得.解題過程：(1)∠A+∠D=∠B+∠C(2)6(3)由(1)得，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B，∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，∠PAB-∠PCB=∠B-∠P.又∵AP，CP分別平分∠DAB和∠BCD，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB.∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D.∴∠P=(40°+36°)÷2=38°.(4)2∠P=∠B+∠D.方法歸納：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識的遷移能力.(1)中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“8字形”中的角的規(guī)律；(2)是考查學(xué)生的觀察理解能力，需從復(fù)雜的圖形中辨認出“8字形”；(3)(4)直接運用“8字形”中的角的規(guī)律解題.易錯誤區(qū)：找基本圖形“8字形”是本題難點及易錯點，一般可以先確定“8字形”中的其中一個三角形，然后根據(jù)“8字型”的特征找另一個與它相對應(yīng)的三角形.專項訓(xùn)練拓展訓(xùn)練A組1.略2.略3.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處.若∠A=24°，則∠BDC等于().A.42°B.66°C.69°D.77°(第3題)(第4題)4.如圖是一塊三角形木板的殘余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，則這塊三角形木板的另外一個角是度.5.略6.略7.如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF交于點G，若S△ABC=12，則陰影部分的面積是．(第7題)(第8題)8.如圖，BM是△ABC中AC邊上的中線，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM與△BCM的周長之差為cm.9.略10.如圖所示，已知DF⊥AB于點F，∠A=40°，∠D=50°，求∠ACB的度數(shù).(第10題)11.如圖，在△ABC中，∠A=∠ABC，直線EF分別交△ABC的邊AB，AC和CB的延長線于點D，E，F(xiàn)．（1）求證：∠F+∠FEC=2∠A；（2）過點B作BM∥AC交FD于點M，試探究∠MBC與∠F+∠FEC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(第11題)B組12.略13.如圖，△ABC的兩條中線相交于點F，若△ABC的面積是45cm2，則四邊形DCEF的面積是().A.30cm2B.15cm2C.20cm2D.不能確定(第13題)(第14題)(第16題)14.如圖，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點D1，∠ABD1與∠ACD1的平分線交于點D2，依次類推，∠ABD4與∠ACD4的平分線交于點D5，則∠BD5C的度數(shù)是().A.60°B.56°C.94°D.68°15.略16.如圖，點G是△AFE的兩外角平分線的交點，點P是△ABC的兩外角平分線的交點，點F，C在AM上，又點B，E在AN上，如果∠FGE=66°，那么∠P=.17.略18.在Rt△ABC中，∠C=90°，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是一動點，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點P在線段AB上，如圖1，且∠α=50°，則∠1+∠2=；（2）若點P在邊AB上運動，如圖2，則∠α,∠1,∠2之間的關(guān)系為；（3）如圖3，若點P在斜邊BA的延長線上運動（CE＜CD），請寫出∠α，∠1，∠2之間的關(guān)系式，并說明理由．圖1圖2圖3(第18題)走進重高1.【綿陽】如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC=42°，∠A=60°，則∠BFC等于().A.118°B.119°C.120°D.121°(第1題)(第2題)(第5題)2.如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點E，如果△CDE的面積為3，△BCE的面積為4，△AED的面積為6，那么△ABE的面積為（）.A.7B.8C.9D.103.略4.略5.【臨?！咳鐖D，若∠B=40°，A，C分別為角兩邊上的任意一點，連結(jié)AC，∠BAC與∠ACB的平分線交于點P1，則∠P1=，D，F(xiàn)也為角兩邊上的任意一點，連結(jié)DF，∠BFD與∠FDB的平分線交于點P2……按這樣的規(guī)律，則∠P2016=．6.如圖是一張三角形紙片ABC，其中∠A=∠C．（1）把△ABC紙片按如圖1所示折疊，使點A落在AC邊上的點F處，DE是折痕，說明BC∥DF；（2）把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCED內(nèi)時（如圖2），探索∠C與∠1+∠2之間的大小關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)點A落在四邊形BCED外時（如圖3），∠C與∠1，∠2的關(guān)系是.（直接寫出結(jié)論）圖1圖2圖3(第6題)高分奪冠1.如圖，在△ABC中，已知點P，Q分別在邊AC，BC上，BP與AQ相交于點O，若△BOQ，△ABO，△APO的面積分別為1，2，3，則△PQC的面積為（）.A.22B.22.5C.23D.23.5(第1題)2.將長度為25cm的細鐵折成邊長都是質(zhì)數(shù)(單位：cm)的三角形，若這樣的三角形的三邊的長分別是a，b，c，且滿足a≤b≤c，則(a，b，c)有組解，所構(gòu)成的三角形都是三角形.3.已知△ABC中，∠A=α.如圖1，∠B，∠C的平分線交于點O1，則可計算得∠BO1C=90°+α；如圖2，∠B，∠C的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于點O1，O2，則∠BO2C=；請你猜想，當(dāng)∠B，∠C同時n等分時，（n-1）條等分角線分別對應(yīng)交于點O1，O2，…，O；如圖2，∠B，∠C的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于點O1，O2，則∠BO2C=；請你猜想，當(dāng)∠B，∠C同時n等分時，（n-1）條等分角線分別對應(yīng)交于點O1，O2，…，On-1，如圖3，則∠BOn-1C=（用含n和α的代數(shù)式表示）．圖1圖2圖3(第3題)(第4題)4.如圖，點D，C，G在同一直線上，BE平分∠ABD交AC于點E，CF平分∠ACG，BE延長線與CF相交于點F，若∠BDC=160°，∠A=100°，則∠F=度.5.已知△ABC的面積是60，請完成下列問題：（1）如圖1，若AD是△ABC的BC邊上的中線，則△ABD的面積（填“＞”“＜”或“=”）△ACD的面積;（2）如圖2，若CD，BE分別是△ABC的AB，AC邊上的中線，求四邊形ADOE的面積可以用如下方法：連結(jié)AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO.設(shè)S△BDO=x，S△CEO=y，則S△ADO=x，S=x，S△AEO=y.由題意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程組為：解得，通過解這個方程組可得四邊形ADOE的面積為；（3）如圖3，AD∶DB=1∶3，CE∶AE=1∶2，請你計算四邊形ADOE的面積，并說明理由．圖1圖2圖3(第5題)第二講命題與證明思維導(dǎo)圖重難點分析重點分析：1.利用命題的定義來判斷語句是否為命題，關(guān)鍵看語句是否為一個判斷句，對一個命題，要準確找出命題的題設(shè)和結(jié)論部分，并寫成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后寫題設(shè)，“那么”后寫結(jié)論.2.判斷一個命題是真命題，主要依據(jù)已知的定理、公理或相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)，而判斷一個命題是假命題，只要舉一個反例即可.3.證明一個命題，要根據(jù)題意，分析命題的條件和結(jié)論，有條理的寫出證明過程，證明的每一步都要有依據(jù)，這些依據(jù)可以是定義、定理、公理、已知等.4.反證法的基本步驟：(1)假設(shè)，否定待證命題的結(jié)論；(2)推理導(dǎo)出矛盾；(3)肯定原命題的結(jié)論.難點分析：1.探求證明的途徑，一般有兩種思考方法：一種是從已知出發(fā)，推出可能的結(jié)果，并與要證明的結(jié)論作比較，直至得到要證明的結(jié)論，另一種是從要證明的結(jié)論出發(fā)，探索要使結(jié)論成立的條件，并與已知對照，直至找到所需要并已知的條件.對于比較復(fù)雜的證明，常常把這兩種思考方法綜合運用，稱為分析綜合法.2.有以下特征的命題宜用反證法證明：(1)結(jié)論涉及唯一性；(2)結(jié)論涉及“至多或至少”；(3)結(jié)論為否定形式；(4)結(jié)論涉及無限形式等.3.作輔助線是證明命題常用的手段，要會作簡單的輔助線解決證明題.常見的輔助線有：分割圖形，作平行線，截長可補短等.例題精析例1、把下列命題寫成“如果……，那么……”的形式.(1)兩直線平行，同位角相等；(2)周長相等的兩個三角形全等；(3)等角的補角相等.思路點撥：先找出命題的題設(shè)和結(jié)論，然后改寫成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”后面跟命題的題設(shè)，“那么”后面跟命題的結(jié)論.解題過程：(1)如果兩條平行線被第三條直線所截，那么所得的同位角相等.(2)如果兩個三角形的周長相等，那么這兩個三角形全等.(3)如果兩個角分別是兩個相等角的補角，那么這兩個角相等.方法歸納：將命題改寫成“如果……，那么……”的形式更容易分清命題中的條件和結(jié)論.易錯誤區(qū)：第(3)題的結(jié)論是兩角相等，所以條件應(yīng)該是滿足何種條件的兩角，為了命題的證明方便一般不改寫成“如果兩個角相等，那么它們的補角相等”.例2、（1）如圖，若∠1=∠2，則AB∥CD，試判斷命題的真假：（填“真”或“假”）；（2）若上述命題為真命題，請說明理由，若上述命題為假命題，請你再添加一個條件，使該命題成為真命題，并說明理由．思路點撥：（1）利用平行線的判定方法進而判斷即可；（2）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合判定方法添加合理的條件．解題過程：（1）假（2）添加條件：BE∥DF，則∠EBD=∠FDN．又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠CDN.∴AB∥CD．方法歸納：本題主要考查了命題與定理以及平行線的判定，正確把握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．易錯誤區(qū)：注意本題是添加條件而不是修改條件，切不可把原來“∠1=∠2”的條件改掉．例3、在研究三角形內(nèi)角和等于180°的證明方法時，小胡和小杜分別給出了下列證法.小胡：在△ABC中，延長BC到點D(如圖1).∵∠ACD=∠A+∠B(三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定義)，∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).圖1圖2小杜：在△ABC中，作CD⊥AB于點D(如圖2).∵CD⊥AB(已知)，∴∠ADC=∠BDC=90°(直角定義).∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°(直角三角形兩銳角互余).∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等量加等量和相等).∴∠A+∠B+∠ACB=180°.請你對上述兩名同學(xué)的證法給出評價，并另給出一種你認為較簡單的證明三角形內(nèi)角和定理的方法.思路點撥：兩名同學(xué)的證法都不對.因為“三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和”與“直角三角形兩銳角互余”都是由三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)得到的，這種用結(jié)論來說明的錯誤稱為“循環(huán)論證”，不符合推理論證的邏輯規(guī)律.解題過程：評價：兩位同學(xué)都巧妙地通過作輔助線將問題轉(zhuǎn)化，作輔助線的思路對解題有幫助，但證明過程用到的理論依據(jù)是由本命題的結(jié)論推導(dǎo)出來的，所以證明方法不正確，陷入了“循環(huán)論證”的錯誤之中.圖3正確的證法如下：如圖3，過點A作直線MN，使MN∥BC.∵MN∥BC，∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°(平角定義)，∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代換).方法歸納：要證明三角形的內(nèi)角和等于180°，即三角形三個內(nèi)角的和是平角，可以通過作輔助線，使得三角形的三個內(nèi)角的和轉(zhuǎn)化成組成平角的三個角之和.平行線是幾何證明中常用的輔助線.易錯誤區(qū)：“循環(huán)論證”是初學(xué)幾何證明者比較容易出現(xiàn)的一種錯誤，即用命題的結(jié)論推導(dǎo)得到的性質(zhì)來證明命題本身，做證明題時對每一步的說理依據(jù)要認真考證，以避免出現(xiàn)“循環(huán)論證”.例4、如圖，在△ABC中，點E在AC上，∠AEB=∠ABC．圖1圖2（1）在圖1中，作∠BAC的平分線AD，分別交CB，BE于點D，F(xiàn)，求證：∠EFD=∠ADC；（2）在圖2中，作△ABC的外角∠BAG的平分線AD，分別交CB，BE的延長線于點D，F(xiàn)，試探究（1）中結(jié)論是否仍成立？為什么？思路點撥：（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD=∠DAC，再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，進而得到∠EFD=∠ADC；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD=∠GAD，再根據(jù)等量代換可得∠FAE=∠BAD，然后再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，進而可得∠EFD=∠ADC．解題過程：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．（2）探究（1）中結(jié)論仍成立．理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD．∵∠FAE=∠GAD，∴∠FAE=∠BAD．∵∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．方法歸納：本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．易錯誤區(qū)：利用三角形外角的性質(zhì)要注意找準三角形及相應(yīng)的內(nèi)角，看清并讀懂圖形很重要．例5、在△ABC中，BO平分∠ABC，點P為直線AC上一動點，PO⊥BO于點O．圖1圖2圖3（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=40°，∠BAC=60°，點P與點C重合時，∠APO=；（2）如圖2，當(dāng)點P在AC的延長線上時，求證：∠APO=（∠ACB-∠BAC）；（3）如圖3，當(dāng)點P在邊AC上如圖所示位置時，請直接寫出∠APO與∠ACB，∠BAC之間的等量關(guān)系式.思路點撥：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC，然后求出∠OCB，再根據(jù)∠APO=∠ACB-∠OCB計算即可得解；（2）作射線AO，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，從而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解；（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠OBC，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理即可得解.解題過程：（1）∵∠ABC=40°，∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-40°-60°=80°．∵BO平分∠ABC，∴∠OBC=∠ABC=20°．∵PO⊥BO，∴∠OCB=90°-∠OBC=90°-20°=70°．∴∠APO=∠ACB-∠OCB=80°-70°=10°．（2）如圖4，作射線AO.則∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P．∵PO⊥BO，∴∠3+∠4=90°．∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，即∠BAC+∠2+∠P=90°．圖4∵BO平分∠ABC，∴∠2=∠ABC．∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB．∴∠2=12（180°-∠BAC-∠ACB）．∴∠APO=90°-∠BAC-∠2=90°-∠BAC-（180°-∠BAC-∠ACB）=（∠ACB-∠BAC）．（3）∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=12（180°-∠BAC-∠ACB）．∵PO⊥BO，∴∠APO=90°+（∠ABO+∠BAC）=90°+（180°-∠BAC-∠ACB）+∠BAC=180°+（∠BAC-∠ACB），即∠APO=180°+（∠BAC-∠ACB）．方法歸納：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，難度中等，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．易錯誤區(qū)：本題中涉及的角較多，要準確表示出各角度之間的等量關(guān)系，運用三角形外角的性質(zhì)時要注意對應(yīng)的角度關(guān)系不要混淆．探究提升例、如果一個數(shù)能表示成x2+2xy+2y2(x，y是整數(shù))，我們稱這個數(shù)為“好數(shù)”.(1)判斷29是否為“好數(shù)”；(2)寫出1，2，3，…，20中的“好數(shù)”；(3)如果m，n都是“好數(shù)”，求證：mn是“好數(shù)”.思路點撥：(1)根據(jù)x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2可以得到好數(shù)特征，根據(jù)“好數(shù)”定義判斷29是否為“好數(shù)”；(2)根據(jù)好數(shù)的定義判斷1，2，3，…，20中的“好數(shù)”；(3)設(shè)m=x2+2xy+2y2，n=p2+2pq+2q2，化簡得到mn=［(x+y)(p+q)+qy］2+［q(x+y)-y(p+q)］2，令u+v=(x+y)(p+q)+qy，v=q(x+y)-y(p+q)，于是可以判斷出mn為“好數(shù)”.解題過程：(1)x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2，特征：“好數(shù)”就是兩個整數(shù)的平方和，而29=52+22，故29是“好數(shù)”.(2)1，2，3，…，20中的“好數(shù)”有1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20.(3)m=x2+2xy+2y2，n=p2+2pq+2q2.則mn=(x2+2xy+2y2)(p2+2pq+2q2)=［(x+y)2+y2］［(p+q)2+q2］=［(x+y)(p+q)+qy］2+［q(x+y)-y(p+q)］2，令u+v=(x+y)(p+q)+qy，v=q(x+y)-y(p+q).那么mn=(u+v)2+v2=u2+2uv+2v2，∵x，y，p，q均為整數(shù)，∴(x+y)(p+q)+qy，q(x+y)-y(p+q)也為整數(shù).∴u+v，v為整數(shù).∴u，v為整數(shù).∴mn為“好數(shù)”.方法歸納：本題是代數(shù)證明題，解答本題的關(guān)鍵是掌握“好數(shù)”的定義，并能將此定義作為依據(jù)利用完全平方式的知識進行推理證明.易錯誤區(qū)：題(3)中代數(shù)式的變形是本題難點，要注意正確利用完全平方式對式子進行恒等變形.專項訓(xùn)練拓展訓(xùn)練A組1.略2.下列命題中，正確的是().A.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行B.相等的角是對頂角C.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等D.和為180°的兩個角叫做鄰補角3.略(第4題)4.如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)是平面上的6個點，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是().A.180°B.360°C.540°D.720°5.略6.略7.如圖，已知AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，則∠3=.（第7題）（第8題）8.如圖，CD，CE分別是△ABC的高和角平分線，∠A=30°，∠B=60°，則∠DCE=．9.如圖，有三個論斷：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C.請從中任選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論構(gòu)成一個命題，并證明該命題的正確性.(第9題)10.略11.如圖，已知∠EGF=∠E+∠F，求∠A+∠B+∠C+∠D的度數(shù).(第11題)B組12.略13.如圖，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于點G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，則∠A為().A.70°B.75°C.80°D.85°(第13題)(第14題)14.如圖，AB⊥AC，CD，BE分別是△ABC的角平分線，AG∥BC，AG⊥BG，下列結(jié)論：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°.其中正確的結(jié)論是().A.①③B.②④C.①③④D.①②③④15.略16.略17.在學(xué)習(xí)中，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=1，2，3時，n2-6n的值都是負數(shù).于是小明猜想：當(dāng)n為任意正整數(shù)時，n2-6n的值都是負數(shù).小明的猜想正確嗎？請簡要說明你的理由.18.探究發(fā)現(xiàn)圖1圖2圖3(第18題)探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？如圖1，∠FDC，∠ECD為△ADC的兩個外角，則∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系為．探究二：在四邊形ABCD中，∠F為四邊形ABCD的內(nèi)角∠ABC的平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的銳角，設(shè)∠A=α，∠D=β．（1）如圖2，若α+β＞180°，求∠F；（用α，β表示）（2）如圖3，若α+β＜180°，請在圖中畫出∠F，并求∠F=；（用α，β表示）（3）一定存在∠F嗎？如有，直接寫出∠F的值，如不一定，直接指出α，β滿足什么條件時，不存在∠F．走進重高1.略2.如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A在四邊形BCDE的外部時，記∠AEB為∠1，∠ADC為∠2，則下列∠A，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系中，正確的是（）.A.∠1=∠2+∠AB.∠1=2∠A+∠2C.∠1=2∠2+2∠AD.2∠1=∠2+∠A(第2題)3.略4.在A，B，C三個盒子里分別放一些小球，小球數(shù)依次為a0，b0，c0，記為G0=（a0，b0，c0）.游戲規(guī)則如下：若三個盒子中的小球數(shù)不完全相同，則從小球數(shù)最多的一個盒子中拿出兩個，給另外兩個盒子各放一個（若有兩個盒子中的小球數(shù)相同，且都多于第三個盒子中的小球數(shù)，則從這兩個盒子序在前的盒子中取小球），記為一次操作.若三個盒子中的小球數(shù)都相同，游戲結(jié)束，n次操作后的小球數(shù)記為Gn=（an，bn，cn）．（1）若G0=（5，8，11），則第次操作后游戲結(jié)束；（2）小明發(fā)現(xiàn)：若G0=（1，5，12），則游戲永遠無法結(jié)束，那么G2016=．5.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．（1）若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度數(shù)；（2）在△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），請你根據(jù)（1）問的結(jié)果大膽猜想∠DAE與α，β間的等量關(guān)系，并說明理由．(第5題)6.已知△ABC，△DEF是兩個完全一樣的三角形，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠D=30°．（1）將它們擺成如圖1的位置（點E，F(xiàn)在AB上，點C在DF上，DE與AC相交于點G）.求∠AGD的度數(shù)；（2）將圖1的△ABC固定，把△DEF繞點F按逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180）．①當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)到DE∥AB的位置時（如圖2），n=；②若由圖1旋轉(zhuǎn)后的EF能與△ABC的一邊垂直，則n的值為．圖1圖2(第6題)高分奪冠1.如圖，A，B，C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上穿有三個大小不同的圓片，下面的直徑總比上面的大.現(xiàn)想將這三個圓片移動到B柱上，要求每次只能移動一片(叫移動一次)，被移動的圓片只能放入A，B，C三根立柱之一，且較大的圓片不能疊在較小的圓片上面，那么完成這件事情至少要移動圓片的次數(shù)是().A.6B.7C.8D.9(第1題)(第2題)(第3題)2.如圖，△ABC內(nèi)有三個點D，E，F(xiàn)，分別以A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個點為頂點畫三角形，如果每個三角形的頂點都不在另一個三角形的內(nèi)部，那么這些三角形的所有內(nèi)角之和為().A.360°B.900°C.1260°D.1440°3.如圖，平面鏡A與B之間夾角為120°，光線經(jīng)過平面鏡A反射后射在平面鏡B上，再反射出去，若∠1=∠2，則∠1=度.4.(1)閱讀理解：如圖1是二環(huán)三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°.理由：連結(jié)A1A4.∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°，∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°，又∵∠A1OA4=∠A5OA6，∴∠1+∠2=∠A5+∠A6.∵∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°，∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°，即S=360°.(2)延伸探究：①如圖2是二環(huán)四邊形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，請你加以證明；②如圖3是二環(huán)五邊形，可得S=，聰明的你，請根據(jù)以上的規(guī)律直接寫出二環(huán)n邊形(n≥3的整數(shù))中，S=度.(用含n的代數(shù)式表示最后的結(jié)果)圖1圖2圖3（第4題）第三講全等三角形思維導(dǎo)圖重難點分析重點分析：1.能夠完全重合的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.2.三角形全等的條件有：SAS(邊角邊)、SSS(邊邊邊)、ASA(角邊角)、AAS(角角邊).3.角平分線上的點到角兩邊的距離相等，線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等.難點分析：1.找全等三角形的關(guān)鍵在于確定對應(yīng)邊、對應(yīng)角，找對應(yīng)邊、對應(yīng)角常用的方法有：公共邊或公共角一般是對應(yīng)邊或角；對頂角、角平分線、直角等得到的等角一般是對應(yīng)角；最大(或最小)的邊或角是對應(yīng)邊或角；對應(yīng)邊的夾角是對應(yīng)角，對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；書寫全等時頂點字母要對應(yīng)，便于我們找對應(yīng)的邊和角.2.注意邊邊角(兩邊及一角對應(yīng)相等)不能判定兩個三角形全等，這是本節(jié)內(nèi)容的易錯點.3.注意借助常見的全等基本圖形以及對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換來確定圖形中的全等三角形.例、如圖，已知點A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，△AED≌△CFB，你能得出哪些結(jié)論？(答出5個即可，不需證明)思路點撥：根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等即可解答.參考答案：AD=CB，AE=CF，ED=FB，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，∠EAD=∠FCB等.方法歸納：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確判斷對應(yīng)角、對應(yīng)邊是解答本題的關(guān)鍵.如果再根據(jù)全等三角形的判定定理，圖形中還能再找出兩對全等的三角形.易錯誤區(qū)：要正確找出兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，除了利用圖形直觀判斷外，還要能應(yīng)用“△AED≌△CFB”中字母的對應(yīng)關(guān)系來確定對應(yīng)邊及對應(yīng)角.例2、如圖，已知點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，并且BF=CE，∠B=∠E.(1)請你只添加一個條件(不再加輔助線)，使得△ABC≌△DEF.你添加的條件是：；(2)添加了條件后，請證明△ABC≌△DEF.思路點撥：(1)根據(jù)全等三角形的判定定理AAS可以添加條件∠A=∠D；根據(jù)ASA可以添加條件∠ACB=∠DFE，根據(jù)SAS可以添加條件AB=DE；(2)根據(jù)題意可得BC=EF，再根據(jù)全等三角形的判定定理即可證明結(jié)論.解題過程：(1)∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE，AB=DE).(2)以添加∠A=∠D為例證明：∵BF=CE，∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF(AAS).方法歸納：本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解全等三角形的判定定理，全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS.易錯誤區(qū)：增加邊相等的條件時，不可添加AC=DF，因為“SSA”不能判定兩個三角形全等.例3、如圖，點C在線段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC.CF平分∠DCE．求證：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．思路點撥：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠B，再根據(jù)SAS即可證明全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出CD=CE，根據(jù)角平分線的定義即可證明△DCF≌△ECF,從而可證結(jié)論．解題過程：證明：（1）∵AD∥BE，∴∠A=∠B．在△ACD和△BEC中，∵∴△ACD≌△BEC（SAS）．（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE．又∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠ECF．在△DCF和△ECF中，∵∴△DCF≌△ECF(SAS).∴∠CFE=∠CFD=90°.∴CF⊥DE．方法歸納：本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．易錯誤區(qū)：證明兩個三角形全等需要三個條件，每個不是直接的已知條件都要先證明．例4、如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連結(jié)CD，EB.(1)圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉；(2)求證：CF＝EF.思路點撥：（1）可以從條件出發(fā)，根據(jù)圖形特征，利用全等三角形知識進行探索;(2)實際上就是要求證明(1)中列舉出來的與CF，EF有關(guān)的那組全等三角形.解題過程：(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.(2)證法一：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AB=AD，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB.∴△ACD≌△AEB.∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF.∴CF＝EF.證法二：如圖，連結(jié)AF.∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°.又∵AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF.∴BF＝DF.又∵BC＝DE，∴BC-BF＝DE-DF.即CF＝EF.方法歸納：第（1）題屬于結(jié)論探究題型，它難在要求一一列舉出其中的全等三角形，蘊含多解且要求全部找出來，需要具備很好的分辨圖形能力和邏輯分析能力.易錯誤區(qū)：找全等三角形時，結(jié)合圖形的軸對稱性找可以避免遺漏.例5、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E.(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如右圖所示位置時，求證：DE=AD+BE;(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到與線段AB相交(交點不是AB中點)時，畫出相應(yīng)的圖形，探求線段DE，AD與BE之間的等量關(guān)系，并寫出其關(guān)系式.思路點撥：當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)時，點A，B到直線MN的距離也隨著發(fā)生變化，但旋轉(zhuǎn)過程中，△ACD與△CBE始終全等，可推得AD＝CE，CD＝BE，進而利用等式性質(zhì)可以解答本題.解題過程：(1)證明：∵△ACD與△CBE均是直角三角形，∴∠ACD+∠CAD=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°.∴∠CAD=∠BCE.∴Rt△ACD≌Rt△CBE.∴AD=CE，CD=BE.∴DE=CD+CE=AD+BE.(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)與線段AB相交(交點不是AB中點)時，相應(yīng)的圖形如右圖.由題意知：△ACD與△CBE均是直角三角形.∵∠CAD=∠BCE，AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB.∴AD=CE，CD=BE.∴DE=CE-CD=AD-BE.方法歸納：本題是直線的旋轉(zhuǎn)問題，解題的關(guān)鍵是明確基本圖形△ABC的始終不變性，而在直線MN旋轉(zhuǎn)的過程中，我們可以探求變中相對不變的圖形.利用圖形中AC=BC的特征作為解題的切入點，很容易發(fā)現(xiàn)在變化過程中△ACD與△CBE始終全等，這點為“變”中“不變”，可以“動”中思“靜”，也是求解該類題的核心.易錯誤區(qū)：將線段和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明線段相等時，要注意線段對應(yīng)關(guān)系不要混淆.探究提升：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD.求證：EF=BE+DF；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？圖1圖2圖3（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．思路點撥：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換.延長EB到點G，使BG=DF，連結(jié)AG.由作圖可知EG=BE+DF，于是只要證明△AEG≌△AEF即可證明EF＝EG＝BE+DF；（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過在證明△ABG和△ADF全等中，證明∠ABG=∠ADF時，用到的知識點是等角的補角相等，其他的過程都一樣，因此與（1）的結(jié)果完全一樣；（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換.就應(yīng)該在BE上截取BG，使BG=DF，連結(jié)AG.根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．解題過程：（1）證明：如圖4，延長EB到點G，使BG=DF，連結(jié)AG．在△ABG和△ADF中，∵∴△ABG≌△ADF(SAS).∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD.∴∠GAE=∠EAF．在△AEG與△AEF中，∵∴△AEG≌△AEF(SAS).∴EG=EF．∵EG=BE+BG=BE+DF,∴EF=BE+DF.圖4圖5（2）（1）中的結(jié)論EF=BE+DF仍然成立．（3）結(jié)論EF=BE+DF不成立，應(yīng)該是EF=BE-DF．證明：如圖5，在BE上截取BG，使BG=DF，連結(jié)AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG和△ADF中，∵∴△ABG≌△ADF(SAS).∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD,∠GAE=∠BAD-∠BAG-∠EAD=∠BAD-∠DAF-∠EAD=∠BAD-∠EAF=∠BAD.∴∠GAE=∠EAF．在△AEG和△AEF中，∵∴△AEG≌△AEF(SAS).∴EG=EF.∵EG=BE-BG，∴EF=BE-DF．方法歸納：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)；本題中通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形．易錯誤區(qū)：題中利用構(gòu)造全等三角形實現(xiàn)“截長補短”的等量轉(zhuǎn)換，要注意有效利用題中的條件添加輔助線構(gòu)造全等．專項訓(xùn)練拓展訓(xùn)練A組1.略2.小明不慎將一塊三角形的玻璃碎成如圖所示的四塊(圖中所標(biāo)1，2，3，4)，你認為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃？應(yīng)該帶()去.A.第1塊B.第2塊C.第3塊D.第4塊(第2題)（第3題）3.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)六個格點，根據(jù)圖中標(biāo)示的各點位置，與△ABC全等的是().A.△ACFB.△ACEC.△ABDD.△CEF4.略5.略6.如圖所示，取一張長方形紙片ABCD，將其折疊，使點D與點B重合，EF為折痕，觀察圖形，圖中有全等的三角形嗎？如果有，請找出全等的三角形并說明理由；如果沒有，請說明理由.(第6題)7.將兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點O為邊AC和DF的交點，那么不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？(第7題)8.略9.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E是AB的中點，連結(jié)DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF．（1）求證：△AED≌△BEF；（2）連結(jié)EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由．(第9題)10.兩個大小不同的等腰直角三角形三角板按如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，點B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC.(1)請找出圖2中的全等三角形，并給予證明(說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母)；(2)證明：DC⊥BE.(第10題)B組11.略12.如圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=6.延長BC到點E，使CE=2，連結(jié)DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC-CD-DA向終點A運動，設(shè)點P的運動時間為t（s），當(dāng)t的值為（）時，△ABP和△DCE全等．A.1B.1或3C.1或7D.3或7（第12題）（第13題）（第14題）13.如圖，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是．14.如圖，已知△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于點F，交DE于G，∠D=30°，∠E=115°，∠DAC=31°，則∠EGB=.15.某產(chǎn)品的商標(biāo)如圖所示，點O是線段AC，BD的交點，且AC=BD，AB=DC，小華認為圖中的兩個三角形全等，他的思考過程是：∵AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，∴△ABO≌△DCO.你認為小華的思考過程正確嗎？如果正確，指出他用的是判別三角形全等的哪個條件；如果不正確，寫出你的思考過程.(第15題)16.略17.如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點.(1)如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動.①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在哪條邊上相遇.(第17題)18.已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．（1）如圖1，若∠BAD=90°，AD=2，則CD的長度為；（2）如圖2，點P，Q分別在線段AD，DC上，滿足PQ=AP+CQ，求證：∠PBQ=90°-∠ADC；（3）如圖3，若點Q運動到DC的延長線上，點P也運動到DA的延長線上時，仍然滿足PQ=AP+CQ，則（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請給出證明過程；若不成立，請寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．圖1圖2圖3（第18題）走進重高1.【略2.【泰州】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC，AD，AB于點E，O，F(xiàn)，則圖中全等三角形的對數(shù)是().A.1對B.2對C.3對D.4對（第2題）（第3題）3.【宜昌】兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正確的結(jié)論有().A.0個B.1個C.2個D.3個4.略5.如圖，D是△ABC的邊AB上一點，E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F.求證：AB=CF+BD．（第5題）6.【永州】如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC.延長AD到E點，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．（第6題）高分奪冠1.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB于點E，并且AE=(AB+AD)，則∠ABC+∠ADC的度數(shù)為.(第1題)（第2題）2.如圖，AM是△ABC的中線，∠DAM=∠BAM，CD∥AB．求證：AB=AD+CD．3.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如圖1，當(dāng)∠C=90°，AD為∠BAC的平分線時，在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE，易證AB=AC+CD.(1)如圖2，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的平分線時，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；(2)如圖3，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明.圖1圖2圖3（第3題）4.已知四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC(或它們的延長線)于點E，F(xiàn).（1）當(dāng)∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(如圖1)，證明：AE+CF=EF；（2）當(dāng)∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需要證明.圖1圖2圖3(第4題)第四講圖形的軸對稱思維導(dǎo)圖重難點提示重點分析：1.軸對稱和軸對稱圖形的定義：把一個圖形沿一條直線折疊，如果它能與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線軸對稱.如果將一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.2.軸對稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；對稱軸是對應(yīng)點連線的中垂線；對應(yīng)線段所在直線的交點在對稱軸上.3.作一個圖形關(guān)于一條直線的軸對稱圖形分兩步：第一步作出原圖形中某些點關(guān)于這條直線的對稱點；第二步順次連結(jié)對稱點.4.線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.難點分析：1.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別：前者表示兩個圖形的關(guān)系，后者表示一個圖形的特征.2.對稱軸是一條直線而不是一條線段，描述對稱軸時要特別注意語言表達要準確.3.線段垂直平分線的性質(zhì)和作圖都是解決幾何證明或計算的重要方法，根據(jù)其性質(zhì)還可以得到三角形三條邊的中垂線交于一點.4.利用軸對稱變換，可以解決幾何中的最近距離問題，解決這類問題主要是根據(jù)轉(zhuǎn)化思想將直線同一側(cè)的點利用軸對稱變換轉(zhuǎn)化到直線兩側(cè)，然后根據(jù)兩點之間線段最短這一原理解決問題.例題精析例1、如圖所示的四個圖形中，從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個與其他三個不同？請指出這個圖形，并簡述你的理由.①②③④答：圖形是；理由是.思路點撥：根據(jù)圖形的對稱性判斷，四個圖形中有三個是軸對稱圖形，所以與其他三個不同的圖形是非軸對稱圖形.參考答案：②四個圖形中，只有②不是軸對稱圖形.方法歸納：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，對稱軸可使圖形兩部分折疊后重合.易錯誤區(qū)：圖②找不到對稱軸，所以不是軸對稱圖形，注意要整體觀察考慮圖形.例2、如圖，五邊形ABCDE是軸對稱圖形，線段AF所在的直線為對稱軸，連結(jié)BF，EF，請你找出圖中的一對全等三角形，并證明.思路點撥：根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)找出對應(yīng)相等的線段和角，再利用全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCF≌△EDF.解題過程：△BCF≌△EDF（答案不唯一）.證明：∵五邊形ABCDE是軸對稱圖形，線段AF所在的直線為對稱軸，∴在△BCF與△EDF中，∴△BCF≌△EDF.方法歸納：本題考查了全等三角形的判定、軸對稱圖形.軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)的圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合.易錯誤區(qū)：本題中證明全等時要用SAS，不能根據(jù)SSA(兩邊及其中一邊的對角相等)去判斷三角形全等.例3、如圖所示均為2×2的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1.請分別在四個圖中各畫出一個與△ABC成軸對稱、頂點在格點上，且位置不同的三角形．思路點撥：根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，不同的對稱軸，可以有不同的對稱圖形，所以可以先找出不同的對稱軸，再思考如何畫軸對稱圖形．解題過程：如圖所示：方法歸納：考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，其依據(jù)是軸對稱的性質(zhì).基本作法：①先確定圖形的關(guān)鍵點；②利用軸對稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對稱點；③按原圖形中的方式順次連結(jié)對稱點．易錯誤區(qū)：要認真審題，審清題中的兩個關(guān)鍵詞，一是“軸對稱”，二是“格點”．例4、如圖，O為△ABC內(nèi)部一點，OB=，點P，R為點O分別以直線AB、直線BC為對稱軸的對稱點．（1）請指出當(dāng)∠ABC在什么角度時，會使得PR的長度等于7？并完整說明PR的長度在此時會等于7的理由．（2）請判斷當(dāng)∠ABC不是你在（1）中指出的角度時，PR的長度是小于7還是會大于7？并完整說明你判斷的理由．思路點撥：（1）連結(jié)PB，RB，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得PB=OB，RB=OB，然后判斷出點P，B，R三點共線時PR=7，再根據(jù)平角的定義求解；（2）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答．解題過程：（1）如圖，∠ABC=90°時，PR=7.證明：連結(jié)PB，RB．∵P，R為O分別以直線AB、直線BC為對稱軸的對稱點，∴PB=OB=，RB=OB=．∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°．∴點P，B，R三點共線．∴PR=2×=7．（2）PR的長度是小于7.理由如下：∵∠ABC≠90°，∴點P，B，R三點不在同一直線上.∴PB+BR＞PR．∵PB+BR=2OB=2×=7，∴PR＜7．方法歸納：本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．易錯誤區(qū)：正確作圖、讀圖是本題的解題關(guān)鍵．例5、如圖，在△ABC中，DE，MN分別是邊AB，AC的垂直平分線，其垂足分別為點D，M，分別交BC于點E，N，且DE和MN交于點F.(1)若∠B=20°，求∠BAE的度數(shù);(2)若∠EAN=40°，求∠F的度數(shù);(3)若AB=8，AC=9，求△AEN周長的范圍.思路點撥：(1)由DE是邊AB的垂直平分線可知A，B兩點關(guān)于直線DE對稱，所以∠BAE=∠B；(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=BE，AN=CN，由軸對稱性可得∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，然后由三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN=70°，然后由三角形的內(nèi)角和等于180°，求得∠F的度數(shù)；(3)由AE=BE，AN=CN，即可得△AEN周長等于BC的長，又由三角形三邊關(guān)系即可求得△AEN周長的范圍.解題過程：(1)∵DE分別是邊AB的垂直平分線，∴A，B兩點關(guān)于直線DE對稱.∴∠BAE=∠B=20°.(2)連結(jié)AF，如圖，∵DE，MN分別是邊AB，AC的垂直平分線，∴A，B兩點關(guān)于直線DE對稱，A，C兩點關(guān)于直線MN對稱.∴∠BAE=∠B，∠CAN=∠C.∵∠EAN=40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C=180°，∴∠BAE+∠CAN=70°.∴∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110°.∵∠ADF=∠AMF=90°，∴∠DFM=∠DFA+∠MFA=90°-∠DAF+90°-∠MAF=180°-∠BAC=70°.(3)∵DE，MN是邊AB，AC的垂直平分線，∴AE=BE，AN=CN.∴BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN.∵AB=8，AC=9，∴1＜BC＜17.∴△AEN周長的范圍為：1＜AE+EN+AN＜17.方法歸納：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和以及三角形三邊關(guān)系.解題時注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.易錯誤區(qū)：本題的圖形比較復(fù)雜，要仔細分析圖形，通過軸對稱變換將角和邊的數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化到同一個三角形中解決是關(guān)鍵.探究提升例、如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=8，點E為CD邊的中點，點P，Q為BC邊上兩個動點，且PQ=2，當(dāng)點P在何處時，四邊形APQE的周長最??？思路點撥：要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值即可，因此，先在AD上截取線段AF=PQ=2,作點F關(guān)于BC的對稱點G，連結(jié)EG,則此時AP+EQ=EG最小，再設(shè)法證的CQ=EC即可求出BP的長度。解題過程：如圖，在AD上截取線段AF=PQ=2，作點F關(guān)于BC的對稱點G，連結(jié)EG與BC交于一點即為點Q，過點A作FQ的平行線交BC于一點，即為點P，過點G作BC的平行線交DC的延長線于點H.∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°.設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x.在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC.∴6-x=2.解得x=4.∴當(dāng)BP=4時，四邊形APQE的周長最小.方法歸納：本題考查了軸對稱——最短路線問題的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，利用軸對稱變換將線段和最短問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短去解決是此類問題的主要解題思路.易錯誤區(qū)：本題說明CQ=EC是難點，要注意圖形中線段之間相等關(guān)系的應(yīng)用和等量的轉(zhuǎn)換.專項訓(xùn)練拓展訓(xùn)練A組1.略2.略3.如圖所示為一個以直線AF為對稱軸的軸對稱圖形，下列結(jié)論中不一定成立的是().A.△ABD≌△ACDB.AF垂直平分EGC.直線BG，CE的交點在AF上D.△DEG是等邊三角形(第3題)(第4題)4.如圖，在一個規(guī)格為6×12(即6×12個小正方形)的球臺上，有兩個小球A，B.若擊打小球A，經(jīng)過球臺邊的反彈后，恰好擊中小球B，那么小球A擊出時，應(yīng)瞄準球臺邊上的點().A.P1B.P2C.P3D.P45.略6.如圖是一個風(fēng)箏的圖案，它是軸對稱圖形，EF是對稱軸.∠A=90°，∠AED=130°，∠C=45°，則∠BFC的度數(shù)為．（第6題）(第7題)(第8題)(第9題)7.如圖，直線l是四邊形ABCD的對稱軸，若AB=CD，有下面的結(jié)論：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=OC；④AB⊥BC.其中正確的結(jié)論有.8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上點A′處，折痕為CD，則∠A′DB=.9.如圖，在△ABC中，AB=AC=15cm，點D是AB的中點，DE⊥AB于點D，交AC于點E，△EBC的周長是25cm，則BC的長cm.10.略11.如圖，在長方形的臺球桌面上，選擇適當(dāng)?shù)慕嵌却驌舭浊?，可以使白球?jīng)過兩次反彈后將黑球直接撞入袋中，此時∠1=∠2，∠3=∠4，并且∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°.如果黑球與洞口的連線和臺球桌面邊緣的夾角∠5=40°，那么∠1應(yīng)該等于多少度才能保證黑球準確入袋？請說明理由．（第11題）B組12.如圖是一張長方形紙片ABCD，M為AD邊的中點，將紙片沿BM，CM折疊，使點A落在A1處，點D落在D1處.若∠1=40°，則∠BMC的度數(shù)為().A.135°B.120°C.100°D.110°（第12題）圖1圖2（第13題）13.將如圖1的矩形ABCD紙片沿EF折疊得到圖2，折疊后DE與BF相交于點P，如果∠BPE=130°，則∠PEF的度數(shù)為().A.60°B.65°C.70°D.75°14.如圖，△ABC的內(nèi)部有一點P，且點D，E，F(xiàn)是點P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點.若△ABC的內(nèi)角∠BAC=70°，∠ABC=60°，∠ACB=50°，則∠ADB+∠BEC+∠CFA=().A.180°B.270°C.360°D.480°(第14題)(第15題)(第16題)15.將△ABC沿著平行于BC的直線DE折疊，點A落到點A′，若∠C=120°，∠A=26°，則∠A′DB的度數(shù)為．16.如圖，設(shè)鏡面L1和L2是平行且鏡面相對的兩面鏡子，把一個小球A放在L1,L2之間，小球在鏡L1中的像為A′，A′在鏡L2中的像為A″，若L1，L2的距離為7，則A′A″=.17.生活中，有人喜歡把傳送的便條折成形狀，折疊過程如圖1～4所示(陰影部分表示紙條的反面)：如果由信紙折成的長方形紙條(圖1)長為26cm，寬為x(cm)，分別回答下列問題：(1)為了保證能折成圖4的形狀(即紙條兩端均超出點P)，試求x的取值范圍；(2)如果不但要折成圖4的形狀，而且為了美觀，希望紙條兩端超出點P的長度相等，即最終圖形是軸對稱圖形，試求在開始折疊時起點M與點A的距離(用x表示).(第17題)18.（1）如圖1，直線同側(cè)有兩點A，B，在直線上求一點C，使它到A，B兩點的距離之和最?。ūＡ糇鲌D痕跡不寫作法）；（2）知識拓展：如圖2，點P在∠AOB內(nèi)部，試在OA，OB上分別找出兩點E，F(xiàn)，使△PEF周長最短（保留作圖痕跡不寫作法）；（3）解決問題：①如圖3，在五邊形ABCDE中，在BC，DE上分別找一點M，N，使得△AMN周長最小（保留作圖痕跡不寫作法）；②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為．圖1圖2圖3（第18題）走進重高1.【西藏】用矩形紙片折出直角的平分線，下列折法中正確的是().A.B.C.D.2.【畢節(jié)】如圖，已知D為△ABC邊AB的中點，E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使A點落在BC上的F處.若∠B=65°，則∠BDF等于().A.65°B.50°C.60°D.57.5°（第2題）（第4題）3.略4.【潛江】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB邊上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點E處.若∠A=26°，則∠CDE=．5.如圖1，在四邊形OABC中，OA=a，OC=8，∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處（如圖1）．（1）若點D與點A重合，則θ=，a=；（2）若折疊后點D恰為AB的中點（如圖2），求θ的度數(shù)．圖1圖2（第5題）高分奪冠1.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為