浙江省寧波市五校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題【含答案解析】

2023學年第二學期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學學試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．Ⅰ選擇題部分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交并補運算即可得解.【詳解】因為，，所以，又，所以.故選：C.2.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由求解即可【詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，則函數(shù)的定義域為故選：C3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷出的單調(diào)性，進而得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，因為，所以故選：D4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是等腰直角三角形，為圖象與軸的交點，為圖象上的最高點，且，則（）A. B.C.在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)為圖象上的最高點，且點的縱坐標為1，為等腰直角三角形可以求出，進而求出周期，即求出，將點代入即可求出，從而確定函數(shù)解析式，再逐項判斷.【詳解】由為等腰直角三角形，為圖象上的最高點，且點的縱坐標為1，所以．則函數(shù)的周期為4，由，，可得，又，所以，則，將點代入，得，則，．而，則，所以,則，A錯誤；，B錯誤；若，則，顯然函數(shù)不是單調(diào)的，C錯誤；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，D正確.故選：D.5.下列圖像中，不可能成為函數(shù)的圖像的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和討論函數(shù)值的正負得到答案.【詳解】因為，，所以當時，無解，且此時在，單調(diào)遞增，D選項符合此種情況.當時有兩個解，且此時，單調(diào)遞增，B選項符合此種情況.當時當時易知，時所以函數(shù)圖像不可能是C.故選：C6.某人外出，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為0.8；若澆水，盆栽枯萎的概率為0.2．若鄰居澆水的概率為P，該人回來盆栽沒有枯萎的概率為0.74，則實數(shù)P的值為（）A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75【答案】A【解析】【分析】據(jù)給定條件，由全概率公式列式，求解計算即可求出結(jié)果.【詳解】記A為事件“盆栽沒有枯萎”，W為事件“鄰居給盆栽澆水”，由題意可得，由對立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得故選：A7.函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，若，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)零點的性質(zhì)可得到，再結(jié)合簡單復合函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果即可.【詳解】因為，易得在上單調(diào)遞增，又，，所以在上存在唯一零點，即，又由已知可得，，所以，即，因為，所以，結(jié)合選項可知無需考慮，則和這兩個函數(shù)均為增函數(shù)，所以，即，所以，又，即，所以，即，所以.故選：D.8.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，即可判斷為奇函數(shù)，從而得到關(guān)于對稱，則，再判斷的單調(diào)性，由對稱性將不等式化為，再由單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因為，令，，則，所以為奇函數(shù)，則關(guān)于原點對稱，所以關(guān)于對稱，則，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞減，則在定義域上單調(diào)遞減，則不等式，即，所以，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分）9.函數(shù)，，用表示，中的較大者，記為，則下列說法正確的是（）A. B.，C.有最大值 D.最小值為0【答案】BD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求出的解析式，根據(jù)解析式結(jié)合二次函數(shù)及一次函數(shù)的單調(diào)性確定各選項即可得解【詳解】令，即，解得或，所以可知，所以，故A錯誤；當時，，故B正確；由（或）可知，函數(shù)無最大值，故C錯誤；當或時，，當時，，所以最小值為0，故D正確.故選：BD10.下列關(guān)于排列組合數(shù)的說法正確的是（）A.B.C.已知，則等式對，恒成立D.，則x除以10的余數(shù)為6【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由組合數(shù)性質(zhì)即可計算判斷；對于B，通過對比二項展開式的系數(shù)即可得恒等式，由此即可判斷；對于C，由組合數(shù)的公式即可證明；對于D，通過對通項變形，采用裂項求和的方法得，由此即可判斷.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為的展開式為，所以，故的展開式的的系數(shù)為，又因為，則，同理的展開式為，即的展開式的的系數(shù)為，由于，所以，在上式中，令，就有，故B選項正確；對于C，若，則，故C正確；對于D，因為，所以，所以，而是一些正整數(shù)的乘積，且里面含有10，所以的個位數(shù)字是0，所以x除以10的余數(shù)為9，不是6，故D錯誤.故選：ABC.11.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，規(guī)定拋出正面得2分，拋出反面得1分，記投擲若干次后，得n分的概率為，下列說法正確的是（）A. B.C.當時， D.當時，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件的概率，逐項分析計算即可得解.【詳解】對于A，第一次投擲出現(xiàn)反面，則，A正確；對于B，得2分的事件，可以是投擲2次都出現(xiàn)反面，也可以是投擲1次出現(xiàn)正面，，B錯誤；對于C，當時，得n分的事件，可以在得分后投擲出現(xiàn)反面，也可以是在得分后投擲出現(xiàn)正面，因此，C正確；對于D，由選項C知，當時，，則，因此數(shù)列是常數(shù)列，，即，所以當時，，D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵.Ⅱ非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每題5分，共15分，其中第13題第（1）空2分，第（2）空3分）12.已知，，則__________．【答案】##【解析】【分析】首先求出，再由誘導公式計算可得.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.故答案為：13.已知正實數(shù)a，b，c，，則的最大值為__________，的最小值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空根據(jù)基本不等式，直接求出的最大值；第二空利用變形為，再將變形為，利用基本不等式整理為，進而再用基本不等式求得答案.【詳解】因為正實數(shù)a，b，滿足，所以，當且僅當時，等號成立；由正實數(shù)a，b，滿足，可得，所以，而，當且僅當，即時取等號，，當且僅當時，即時取等號故答案為：；14.某景區(qū)內(nèi)有如圖所示的一個花壇，此花壇有9個區(qū)域需栽種植物，要求同一區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物，且圓環(huán)的3個區(qū)域種植綠色植物，中間的6個扇形區(qū)域種植鮮花．現(xiàn)有3種不同的綠色植物和3種不同的鮮花可供選擇，則不同的栽種方案共有__________種．【答案】396【解析】【分析】先按扇形區(qū)域中不相鄰的兩個區(qū)域是否是同種鮮花分類，每一類情況下分步完成即可求解.【詳解】將六個扇形區(qū)域標號為1到6（如圖所示），分兩類完成這件事情：第一類：若1和3種植的鮮花相同，此時先種植區(qū)域和，有種；再種植區(qū)域和，共有6種；最后種植圓環(huán)區(qū)域，共有種，按照分步乘法計數(shù)原理知，此種情況共種.第二類：若1和3種植的鮮花不相同，此時先種植區(qū)域和，有種；再種植區(qū)域和，共有種；最后種植圓環(huán)區(qū)域，共有種，按照分步乘法計數(shù)原理知，此種情況共種.按照分類加法計數(shù)原理得，共有種.故答案為：396.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知集合，非空集合．（1）當時，求；（2）若是的必要條件，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件化簡集合和，再求交集即可.（2）根據(jù)已知可得是的子集，列不等式組進而求解.【小問1詳解】集合，即，當時，集合，.【小問2詳解】由是的必要條件，可得，,即，解得，即的取值范圍為.16.函數(shù)．（1）若的定義域為，求實數(shù)a的取值范圍；（2）方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）函數(shù)定義域為R，則在R上恒成立，只需方程無實數(shù)解即可；（2）把問題轉(zhuǎn)化為①對恒成立，或②對恒成立，然后利用換元法和復合函數(shù)單調(diào)性求最值即可【小問1詳解】．（1）由的定義域為，則函數(shù)對恒成立，方程無實數(shù)解，即．．【小問2詳解】方程在區(qū)間上有解，等價于方程在區(qū)間上有解，即命題，使得，則命題，使得恒成立，或恒成立．①對恒成立，或②對恒成立，設，，令，則則，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即即或，所以原命題．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）解不等式；（3）函數(shù)的圖象依次經(jīng)過三次變換：①向左平移個單位長度，②縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，③關(guān)于軸對稱，得到函數(shù)的圖象，求圖象在軸右側(cè)第二個對稱中心的坐標．【答案】（1），（2），（3）．【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）結(jié)合（1）可得，又，結(jié)合誘導公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【小問1詳解】因為，令，，解得，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【小問2詳解】不等式，即，又，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，．小問3詳解】將向左平移個單位長度得到，再將的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫剑詈髮㈥P(guān)于軸對稱得到，令，，解得，，所以的對稱中心坐標為，，當為，當為，當為，在軸右側(cè)第二個對稱中心的坐標為．18.設，函數(shù)，，.（Ⅰ）若為偶函數(shù)，求的值；（Ⅱ）當時，若，在上均單調(diào)遞增，求的取值范圍；（Ⅲ）設，若對任意，都有，求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）-15【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)得到，計算得到答案.（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，解得答案.（Ⅲ）等價代換得到，且恒成立，解得，計算最值得到答案.【詳解】（Ⅰ）若偶函數(shù)，則對任意，都有，即，亦即，則；（Ⅱ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故，其中，則；（Ⅲ）對任意，恒成立等價于對任意，恒成立，且恒成立，即恒成立，且恒成立.分別令函數(shù)，，注意到，故對任意，與恒成立的充要條件是即，亦即，因，故，因此.從而，即，當且僅當，時，等號成立，所以最大值是-15.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，恒成立問題，最值問題，意在考查學生的綜合應用能力.19.斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，（，），已知，則集合A中的元素個數(shù)可表示為，又有且．（1）求集合A中奇數(shù)元素的個數(shù)，不需說明理由；并求出集合B中所有元素之積為奇數(shù)的概率；（2）求集合B中所有元素之和為奇數(shù)的概率．（3）取其中的6個數(shù)1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相鄰三數(shù)之和都不能被3整除，求這樣的排列的個數(shù)．（如排列1，2，3，5，13，21中，相鄰三數(shù)如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，則此排列不合題意）【答案】（1）1350，；（2）；（3）96種【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到必為偶數(shù)，得出連續(xù)3項，，全為偶數(shù)，或為1個偶數(shù)2個奇數(shù)，得到數(shù)列奇偶項分布為1偶2奇，記A中奇數(shù)元素的個數(shù)為m，求得，結(jié)合集合C的非空子集共有種，進而求得相應的概率；（2）設事件N：B中所有元素之和為奇數(shù)，A中所有的偶數(shù)元素的集合為D，B中所有的偶數(shù)元素的集合為F，B中所有的奇數(shù)元素的集合為E，分別求得中的種數(shù)，進而求得相應的概率；（3）根據(jù)題意，得到不能連續(xù)排列，分，，，，，各自捆綁，2組捆綁，1組分散，1組捆綁，2組分散，以及3組均分散，四種情況，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解.【小問1詳解】解：對于數(shù)列中的連續(xù)3項，，，由，可得，即必為偶數(shù)，則連續(xù)3項，，全為偶數(shù)，或為1個偶數(shù)2個奇數(shù)，又由為偶數(shù)，可得與同奇同偶，可知數(shù)列奇偶項分布為1偶2奇．記A中奇數(shù)元素的個數(shù)為m，則，集合B中所有元素之積為奇數(shù)，則B中所有元素為奇數(shù)，設A中所有的奇數(shù)元素的集合為C，，且，則集合B的元素組成情況，