課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)第八章立體幾何2空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系試題文

PAGEPAGE13空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系①理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解四個(gè)公理及推論;②會(huì)用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)以及點(diǎn)線共面等問題;③理解空間兩直線的位置關(guān)系及判定,了解等角定理和推論2024浙江,2,5分直線、平面的位置關(guān)系線面垂直的性質(zhì)★★☆2024山東,6,5分直線、平面的位置關(guān)系充分條件與必要條件2024課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分異面直線所成的角面面平行的性質(zhì)2024課標(biāo)全國Ⅱ,9,5分異面直線所成的角線面垂直的性質(zhì)分析解讀高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是以四個(gè)公理和推論為基礎(chǔ),考查點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系;二是考查兩直線的位置關(guān)系.考查形式以選擇題和填空題為主,也可能在解答題中出現(xiàn),本節(jié)內(nèi)容主要考查學(xué)生的空間想象實(shí)力,所以在備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.(2025屆黑龍江頂級(jí)名校11月聯(lián)考,4)若m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則下列說法中正確的是()A.α∥β,m?α,n?β?m∥nB.α⊥γ,β⊥γ?α∥βC.α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥βD.α∩β=m,β∩γ=n,m∥n?α∥β答案C2.(2024湖南益陽、湘潭兩市聯(lián)考,10)如圖,G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有()A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④答案C3.(2025屆四川頂級(jí)名校10月聯(lián)考,6)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線DC1和B1C所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C4.下列說法中,正確的個(gè)數(shù)是()①假如兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面相交,那么另一條直線也和這個(gè)平面相交;②一條直線和另一條直線平行,它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面都平行;③經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線,有一個(gè)平面與另一條直線平行;④兩條相交直線,其中一條直線與一個(gè)平面平行,則另一條直線肯定與這個(gè)平面平行.A.0 B.1 C.2 D.3答案C5.若P是兩條異面直線l,m外的隨意一點(diǎn),則()A.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都平行B.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都垂直C.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都相交D.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都異面答案B6.如圖,已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,E,F分別是BD1和AD的中點(diǎn),則異面直線CD1與EF所成的角的大小為.

答案90°7.求證:假如兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交,那么這四條直線共面.解析已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c,l共面.證明:如圖所示,因?yàn)閍∥b,所以由公理2的推論3可知直線a與b確定一個(gè)平面,設(shè)為α.因?yàn)閘∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,則A∈α,B∈α.又因?yàn)锳∈l,B∈l,所以由公理1可知l?α.因?yàn)閎∥c,所以由公理2的推論3可知直線b與c確定一個(gè)平面β,同理可知l?β.因?yàn)槠矫姒梁推矫姒露及本€b與l,且l∩b=B,而由公理2的推論2知,平面α與平面β重合,所以直線a,b,c,l共面.煉技法【方法集訓(xùn)】方法1證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)及點(diǎn)線共面的方法1.(2024河南濮陽一高10月月考,18)如圖所示,空間四邊形ABCD中,E,F,G分別在AB,BC,CD上,且滿意AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,過E,F,G的平面交AD于H,連接EH.(1)求AH∶HD;(2)求證:EH,FG,BD三線共點(diǎn).解析(1)∵AEEB=CF又∵EF?平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AHHD=CG∴AH∶HD=3∶1.(2)證明:∵EF∥GH,且EFAC=13,GHAC∴四邊形EFGH為梯形,∴直線EH,FG必相交.設(shè)EH∩FG=P,則P∈EH,而EH?平面ABD,∴P∈平面ABD,同理,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH,FG,BD三線共點(diǎn).2.(2024四川成都聯(lián)考,18)如圖所示,已知l1,l2,l3,l4四條直線兩兩相交且不過同一點(diǎn),交點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,F.求證:四條直線l1,l2,l3,l4共面.證明證法一:∵A,C,E不共線,∴它們確定一個(gè)平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l(xiāng)1?α,同理,l2?α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,∴l(xiāng)3?α,同理,l4?α,故l1,l2,l3,l4四條直線共面.證法二:∵點(diǎn)A,C,E不共線,∴它們確定一個(gè)平面α,又∵A∈l1,C∈l1,∴l(xiāng)1?α,同理,l2?α,又∵F,D,E不共線,∴它們確定一個(gè)平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,∴l(xiāng)3?β,l4?β.而不共線的三點(diǎn)B,C,D可確定一個(gè)平面,又B,C,D既在α內(nèi)又在β內(nèi),故平面α與平面β重合.∴l(xiāng)1,l2,l3,l4四條直線共面.方法2異面直線所成角的求解方法1.(2025屆廣東七校9月聯(lián)考,10)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AA1=2AB,D是AA1的中點(diǎn),則BD與A1C1所成角的余弦值為()A.12 B.24 C.2答案B2.(2024湖南永州三模,7)三棱錐A-BCD的全部棱長都相等,M,N分別是棱AD,BC的中點(diǎn),則異面直線BM與AN所成角的余弦值為()A.13 B.24 C.3答案D3.如圖,已知在三棱錐A-BCD中,AB=CD,且直線AB與CD成60°角,點(diǎn)M,N分別是BC,AD的中點(diǎn),則直線AB與MN所成角的大小為.

答案60°或30°

過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,9,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.22 B.32 C.5答案C2.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.32 B.22 C.3答案AB組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.(2024浙江,2,5分)已知相互垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿意m∥α,n⊥β,則()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n答案C2.(2024山東,6,5分)已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A3.(2024廣東,6,5分)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交答案D4.(2024四川,18,12分)一個(gè)正方體的平面綻開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請(qǐng)將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由);(2)推斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)證明:直線DF⊥平面BEG.解析(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.(2)平面BEG∥平面ACH.證明如下:因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形.所以BE∥CH.又CH?平面ACH,BE?平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)證明:連接FH.因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以DH⊥平面EFGH,因?yàn)镋G?平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.又DF?平面BFHD,所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.C組老師專用題組考點(diǎn)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.(2024浙江,4,5分)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β.()A.若l⊥β,則α⊥β B.若α⊥β,則l⊥mC.若l∥β,則α∥β D.若α∥β,則l∥m答案A2.(2024廣東,9,5分)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿意l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論肯定正確的是()A.l1⊥l4 B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定答案D3.(2010全國Ⅰ,6,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C4.(2011全國,15,5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為C1D1的中點(diǎn),則異面直線AE與BC所成角的余弦值為.

答案25.(2024陜西,17,12分)四面體ABCD及其三視圖如圖所示,平行于棱AD,BC的平面分別交四面體的棱AB,BD,DC,CA于點(diǎn)E,F,G,H.(1)求四面體ABCD的體積;(2)證明:四邊形EFGH是矩形.解析(1)由該四面體的三視圖可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面體ABCD的體積V=13×12×2×2×1=(2)證明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四邊形EFGH是平行四邊形.又∵AD⊥平面BDC,BC?平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四邊形EFGH是矩形.6.(2013課標(biāo)Ⅰ,19,12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)證明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.解析(1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OA1,A1B.因?yàn)镃A=CB,所以O(shè)C⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1⊥AB.因?yàn)镺C∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C,所以AB⊥A1C.(2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形,所以O(shè)C=OA1=3.又A1C=6,則A1C2=OC2+OA12,故OA因?yàn)镺C∩AB=O,所以O(shè)A1⊥平面ABC,OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.又△ABC的面積S△ABC=3,故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC·OA1=3.【三年模擬】時(shí)間:45分鐘分值:50分一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2025屆寧夏銀川一中11月月考,6)設(shè)α、β為不重合的平面,m,n為不重合的直線,則下列命題正確的是()A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥αB.若m?α,n?β,m∥n,則α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,則α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,則m⊥α答案D2.(2025屆遼寧頂級(jí)名校10月聯(lián)考,10)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,則下列四個(gè)命題中不正確的是()A.m⊥α,n⊥β且α⊥β,則m⊥nB.m∥α,n⊥β且α⊥β,則m∥nC.m⊥α,n∥β且α∥β,則m⊥nD.m⊥α,n⊥β且α∥β,則m∥n答案B3.(2024山西臨汾模擬,5)如圖,在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)作平面α,設(shè)α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,則這3個(gè)點(diǎn)可以是()A.B,C,A1 B.B1,C1,A C.A1,B1,C D.A1,B,C1答案D4.(2025屆陜西四校期中聯(lián)考,9)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,則異面直線A1B1與AC1所成角的余弦值為()A.1414 B.8314 C.答案A5.(2024廣東珠海模擬,8)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P為邊AB的中點(diǎn),現(xiàn)將△DAP繞直線DP翻轉(zhuǎn)至△DA'P處,若M為線段A'C的中點(diǎn),則異面直線BM與PA'所成角的正切值為()A.12 B.2 C.1答案A6.(2025屆福建四地七校10月聯(lián)考,10)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P,Q分別是線段AD1和B1C上的動(dòng)點(diǎn),且滿意AP=B1Q,則下列命題錯(cuò)誤的是()A.存在P,Q在某一位置時(shí),AB∥PQB.△BPQ