全國統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第10章圓錐曲線與方程第2講雙曲線1備考試題文含解析

第十章圓錐曲線與方程其次講雙曲線練好題·考點(diǎn)自測1.給出以下關(guān)于雙曲線的命題:①雙曲線y29-x24=1的漸近線方程是②若點(diǎn)(2,3)在焦距為4的雙曲線x2a2-y2b2=1(③若點(diǎn)F,B分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>④等軸雙曲線的漸近線相互垂直,離心率等于2;⑤若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與y2b2-x2a2以上說法正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.42.[2024全國卷Ⅰ,10,5分][文]雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130A.2sin40° B.2cos40° C.1sin50° D.3.[2024全國卷Ⅱ,9,5分][文]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=a與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn).若△A.4 B.8 C.16 D.32圖10-2-14.[2024大同市調(diào)研測試]如圖10-2-1,雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作線段F2P與C交于點(diǎn)Q,且Q為PF2的中點(diǎn).若等腰三角形PF1F2的底邊PF2的長等于A.-2+2157C.2+2157 D.35.[2024天津,7,5分]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1A.x24-y2C.x23-y26.[2024北京,14,5分]已知雙曲線C:x26-y23=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為7.[2024全國卷Ⅰ,15,5分]已知F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),A為C的右頂點(diǎn),B為C上的點(diǎn),且BF垂直于x軸拓展變式1.(1)[2024廣東七校第一次聯(lián)考]P是雙曲線C:x22-y2=1右支上一點(diǎn),直線l是雙曲線C的一條漸近線.P在l上的射影為Q,F1是雙曲線C的左焦點(diǎn),則|PF1|+|PQ|的最小值為(A.1 B.2+155 C.4+155 D.22(2)[2024全國卷Ⅰ,11,5分][文]設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2-y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上且|OP|=2,則△PF1F2的面積為(A.72 B.3 C.52 D2.[2024天津,7,5分]設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行,另一條漸近線與A.x24-y24C.x24-y2=1 D.x2-3.[2024成都三診]已知F1,F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A,且π6≤∠F1A.[5,13] B.[5,3] C.[3,13] D.[7,3]答案第十章圓錐曲線與方程其次講雙曲線1.D對于①,雙曲線y29-x24對于②,雙曲線的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),2a=|(2+2)2+(3-0)2對于③,F(±c,0),B(0,±b),FB的中點(diǎn)坐標(biāo)(±c2,±b2)不滿意雙曲線的漸近線方程y=±b對于④,由等軸雙曲線的性質(zhì)可得④正確;對于⑤,由共軛雙曲線的性質(zhì)可知⑤正確.故選D.2.D依題意知,-ba=tan130°=tan(130°-180°)=-tan50°,兩邊同時(shí)平方得c2-a2a2=tan250°=e2-1,e2=1+tan250°=1【拓展結(jié)論】事實(shí)上,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b3.B由題意知雙曲線的漸近線方程為y=±bax.因?yàn)镈,E分別為直線x=a與雙曲線C的兩條漸近線的交點(diǎn),所以不妨設(shè)D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=12×a×|DE|=12×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)等號成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以4.C連接F1Q,由△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形,且Q是PF2的中點(diǎn),知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=c2,由雙曲線的定義可得|F1Q|=c2+2a,依據(jù)F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,(c2)2+(c2+2a)2=(2c)2,化簡整理得7c2-4ac-8a2=0,方程兩邊同時(shí)除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e5.C解法一因?yàn)橹本€AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn),所以不妨取A(c,b2a),B(c,-b2a),取雙曲線的一條漸近線為直線bx-ay=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c,d2=|bc+b2|a2+b2=bc解法二由直線AB過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸,d1+d2=6,得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,所以b=3.因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以ca=2,所以a6.(3,0)3雙曲線C:x26-y23=1中,c2=6+3=9,∴c=3,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),C的漸近線方程為y=±36x,即x±2y7.2設(shè)B(c,yB),因?yàn)锽為雙曲線C:x2a2-y2b2=1上的點(diǎn),所以c2a2-yB2b2=1,所以yB2=b4a2.因?yàn)锳B的斜率為3,所以yB=b2a,b2ac-a=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-【易錯(cuò)警示】本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩處:一是忽視題眼“AB的斜率為3”,由yB2=b4a2得yB=±b2a;二是將雙曲線中a,b,1.(1)D設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2,因?yàn)閨PF1|-|PF2|=22,所以|PF1|=22+|PF2|,|PF1|+|PQ|=22+|PF2|+|PQ|.當(dāng)且僅當(dāng)Q,P,F2三點(diǎn)共線,且P在Q,F2之間時(shí),|PF2|+|PQ|最小,且最小值為點(diǎn)F2到直線l的距離.由題意可得直線l的方程為y=±22x,焦點(diǎn)F2(3,0),點(diǎn)F2到直線l的距離d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值為22+1,故選D(2)B解法一設(shè)F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn),則由題意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16.不妨令點(diǎn)P在雙曲線C的右支上,則有|PF1|-|PF2|=2,兩邊平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=16,所以|PF1|·|PF2|=6,則S△PF1F2=12|解法二(結(jié)論解法)設(shè)F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn),則由題意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以S△PF1F2=b2解法三設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP),因?yàn)閨OP|=2,則xP2+yP2=4,把yP2=4-xP2代入雙曲線方程得|yP|=32,所以S△PF1F2=1【真題互鑒】本題與2024年全國卷Ⅲ(文)T10的已知和所求相像,解題思維一樣,因此在平常訓(xùn)練中應(yīng)重視真題的訓(xùn)練.附:[2024全國卷Ⅲ,10,5分][文]已知F是雙曲線C:x24-y25=1的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|OP|=|OF|,則△OPF的面積為A.32 B.52 C.72.D解法一由題知y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則過焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線方程為x+yb=1,而x2a2-y2b2=1的漸近線方程為xa解法二由題知雙曲線C的兩條漸近線相互垂直,則a=