2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)單元綜合一課一練含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1專題突破專練專題1集合中子集個(gè)數(shù)問(wèn)題1.(2024·吉林長(zhǎng)春二中檢測(cè))集合{1,2,3}的子集的個(gè)數(shù)是()。A.7 B.4 C.6 D.8答案：D2.(2024·山東濟(jì)寧一中高一期中)滿意條件{1,3}∪B={1,3,5}的全部集合B的個(gè)數(shù)是()。A.1 B.2 C.3 D.4答案：D3.(2024·遼寧六校協(xié)作體高一下開(kāi)學(xué)考試)滿意條件{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5,6}的集合M的個(gè)數(shù)是()。A.8 B.7 C.6 D.5答案：B解析：滿意條件的集合M至少含有1,2,3這3個(gè)數(shù),且是集合{1,2,3,4,5,6}的真子集,所以集合M={1,2,3}或M={1,2,3,4}或M={1,2,3,5}或M={1,2,3,6}或M={1,2,3,4,5}或M={1,2,3,4,6}或M={1,2,3,5,6},共7個(gè)。4.(2024·河北衡水中學(xué)高一月考)若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且僅有2個(gè)子集,則實(shí)數(shù)k=。

答案：±2或-1解析：∵集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}的子集只有兩個(gè),∴集合A中只有一個(gè)元素。當(dāng)k+2=0,即k=-2時(shí),方程(k+2)x2+2kx+1=0等價(jià)于-4x+1=0,解得x=14。方程只有一解,滿意題意。當(dāng)k+2≠0,即k≠-2時(shí),方程(k+2)x2+2kx+1=0對(duì)應(yīng)的判別式Δ=4k2-4(k+2)=0,解得k=-1或k=2,此時(shí)滿意條件。故k的值為±2或-15.(2024·北大附中高二期末)若集合A滿意x∈A,必有1x∈A,則稱集合A為自倒關(guān)系集合,在集合M=-1,0,12,13,1,2,3,4的全部非空子集中,具有自倒關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為()A.7 B.8 C.16 D.15答案：D解析：依據(jù)自倒關(guān)系集合的定義可知,當(dāng)x=-1時(shí),1x=-1;當(dāng)x=0時(shí),1x無(wú)意義;當(dāng)x=1時(shí),1x=1;當(dāng)x=2時(shí),1x=12;當(dāng)x=3時(shí),1x=13;當(dāng)x=4時(shí),1x=14不存在。所以2和12,3和13必需分別在一起,可以把它們看作一個(gè)元素,則{1},2,【易錯(cuò)點(diǎn)撥】解決子集個(gè)數(shù)問(wèn)題肯定要弄清子集中肯定含有幾個(gè)元素及可能含有幾個(gè)元素。專題2空集的特別性6.(2024·寧陽(yáng)四中高一期中)以下表示正確的是()。A.?=0 B.?={0}C.?∈{0} D.??{0}答案：D7.(2024·大連高三上學(xué)期期末)下列六個(gè)關(guān)系式中正確的有()。①{a,b}={b,a};②{a,b}?{b,a};③?={?};④{0}=?;⑤??{0};⑥0∈{0}。A.6個(gè) B.5個(gè)C.4個(gè) D.3個(gè)及3個(gè)以下答案：C解析：其中①②⑤⑥是正確的,對(duì)于③應(yīng)為??{?}或?∈{?};對(duì)于④應(yīng)為{0}??。8.(2024·北京匯文中學(xué)高一月考)已知集合A={x|x>0},B={x|x2-x+m=0},若B?A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。答案：解:(1)當(dāng)B=?時(shí),Δ=1-4m<0?m>14(2)當(dāng)B≠?時(shí),B?A?Δ解得0<m≤14,綜上所述,m>0解析：【易錯(cuò)點(diǎn)撥】留意空集是隨意集合的子集,B?A,要考慮B為空集的狀況。9.(2024·河南鄲城縣一高高一月考)設(shè)A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}。(1)用列舉法表示集合B,集合C;答案：B={x|x2-5x+6=0}={2,3},C={-4,2}。(2)若A∩B=A∩C≠?,求a的值。答案：A∩B=A∩C≠??2∈A,4-2a+a2-19=0,解得a=-3或a=5,又當(dāng)a=5時(shí),A=B,則A∩B≠A∩C,不合題意,舍去,故a的值為-3。專題3圖示法的應(yīng)用10.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},則圖1-1中陰影部分所表示的集合為()。圖1-1A.{1} B.{1,2}C.{1,2,3} D.{0,1,2}答案：B解析：由題意得A∩B={3,4,5},陰影部分所表示的集合為集合A去掉集合A∩B中的元素所組成的集合,所以圖中陰影部分所表示的集合為{1,2}。11.(2024·遼東縣一中高一月考)如圖1-2所示,I是全集,A,B,C是它的子集,則陰影部分所表示的集合是()。圖1-2A.(A∩B)∩C B.(A∩?IB)∩CC.(A∩B)∩?IC D.(?IB∪A)∩C答案：B解析：由圖可得陰影部分所表示的集合為(A∩?IB)∩C。12.圖1-3中陰影部分所表示的集合是()。圖1-3A.B∩?U(A∪C) B.(A∪B)∪(B∪C)C.(A∪C)∩(?UB) D.?U(A∩C)∪B答案：A解析：題圖中陰影部分位于集合B內(nèi),且位于集合A,C的外部,故可表示為B∩?U(A∪C)。13.(2024·杭州四中高一檢測(cè))設(shè)I是全集,集合A,B,C都是其子集,則圖1-4中的陰影部分表示的集合為()。圖1-4A.A∩B∩C B.(A∩B)∪CC.(A∩B)∪(B∩C) D.A∪(B∩C)答案：B14.某校中學(xué)學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì),某班62名學(xué)生中有一半的學(xué)生沒(méi)有參與競(jìng)賽,參與競(jìng)賽的學(xué)生中,參與田賽的有16人,參與徑賽的有23人,則田賽和徑賽都參與的學(xué)生人數(shù)為()。A.7 B.8 C.10 D.12答案：B解析：由題意可得參與競(jìng)賽的學(xué)生共有31人,所以田賽和徑賽都參與的學(xué)生人數(shù)為16+23-31=8。故選B。專題4充要條件的證明15.“x=1”是“x2-2x+1=0”的()。A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件答案：A解析：當(dāng)x=1時(shí),x2-2x+1=0成立,故滿意充分性;當(dāng)x2-2x+1=0時(shí),(x-1)2=0,x=1,故滿意必要性,因此是充要條件,故選A。16.設(shè)U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的()。A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：C解析：由A?C可得?UC??UA,當(dāng)B??UC時(shí),B??UA,則“A∩B=?”;反之,若“A∩B=?”也能推出“存在集合C,使得A?C,B??UC”,故“存在集合C,使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要條件。故選C。17.設(shè)a,b∈R,則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()。A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：C解析：(a-b)(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2。若a>0,b≥0,則a>b?(a-b)(a+b)>0?|a|2>|b|2?a|a|>b|b|;若a≤0,b<0,則a>b?(a-b)(a+b)<0?|a|2<|b|2?a|a|>b|b|;若a≥0,b≤0,則a>b?a|a|>b|b|;反之也成立。故答案為C。18.“a<0”是“方程ax2+1=0至少有一個(gè)負(fù)根”的()。A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：C解析：當(dāng)a<0時(shí),方程ax2+1=0,即x2=-1a,故此一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,符合題意;當(dāng)方程ax2+1=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根時(shí),a不行以為0,從而x2=-1a,所以a<0。由上述推理可知,“a<0”是方程“ax2+1=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根”的充要條件,故選19.證明:△ABC是等邊三角形的充要條件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三條邊)。答案：證明:充分性:∵a2+b2+c2=ab+bc+ac,∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,即a=b=c,∴△ABC是等邊三角形。必要性:∵△ABC是等邊三角形,∴a=b=c,∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=a2+b2+c2-a2-b2-c2=0,∴a2+b2+c2=ab+bc+ac。綜上所述,△ABC是等邊三角形的充要條件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三條邊)。真題分類專練題組1集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算1.(2024·天津卷文·T1)設(shè)集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},則(A∪B)∩C=()。A.{-1,1} B.{0,1}C.{-1,0,1} D.{2,3,4}答案：C解析：由并集的定義可得A∪B={-1,0,1,2,3,4},結(jié)合交集的定義可知(A∪B)∩C={-1,0,1}。2.(2024·天津卷·T1)設(shè)集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},則(A∩C)∪B=()。A.{2} B.{2,3}C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}答案：D解析：因?yàn)锳∩C={1,2},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4},故選D。3.(2024·浙江卷·T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},則?UA=()。A.? B.{1,3}C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}答案：C解析：因?yàn)槿疷={1,2,3,4,5},A={1,3},所以依據(jù)補(bǔ)集的定義得?UA={2,4,5},故選C。4.(2024·浙江卷·T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},則?UA∩B=()。A.{-1} B.{0,1}C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}答案：A解析：?UA={-1,3},則(?UA)∩B={-1}。5.(2024·山東卷文·T1)設(shè)集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},則M∩N=()。A.(-1,1) B.(-1,2)C.(0,2) D.(1,2)答案：C解析：由|x-1|<1得0<x<2,故M∩N={x|0<x<2}∩{x|x<2}={x|0<x<2}。6.(2024·全國(guó)Ⅰ卷文·T1)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},則()。A.A∩B=x|x<32 B.C.A∪B=x|x<32 答案：A解析：由3-2x>0得x<32,所以A∩B=x|x<2∩xx7.(2024·天津卷·T1)設(shè)全集為R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},則A∩(?RB)=()。A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}答案：B解析：由題意可得?RB={x|x<1},結(jié)合交集的定義可得A∩(?RB)=(0,1)。8.(2024·全國(guó)Ⅰ卷文·T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},則A∩B=()。A.{0,2} B.{1,2}C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}答案：A解析：依據(jù)集合交集中元素的特征,可以求得A∩B={0,2},故選A。9.(2024·全國(guó)Ⅲ卷文·T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},則A∩B=()。A.{0} B.{1}C.{1,2} D.{0,1,2}答案：C解析：由集合A得x≥1,所以A∩B={1,2}。10.(2024·全國(guó)Ⅱ卷文·T2)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},則A∩B=()。A.{3} B.{5}C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}答案：C解析：∵A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},∴A∩B={3,5},故選C。11.(2024·北京卷·T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=()。A.(-1,1) B.(1,2)C.(-1,+∞) D.(1,+∞)答案：C解析：∵A={x|-1<x>2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故選C。12.(2024·天津卷·T1)設(shè)集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},則(A∪B)∩C=()。A.{2} B.{1,2,4}C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}答案：B解析：(A∪B)∩C={1,2,4,6}∩[-1,5]={1,2,4}。13.(2024·北京卷文·T1)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},則?UA=()。A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪(2,+∞)答案：C解析：因?yàn)锳={x|x<-2或x>2},所以?UA={x|-2≤x≤2},故選C。14.(2024·北京卷·T1)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},則A∩B=()。A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3}答案：A解析：利用數(shù)軸可知A∩B={x|-2<x<-1}。15.(2024·江蘇卷·T1)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},則A∩B=。

答案：{1,8}題組2集合的關(guān)系、元素個(gè)數(shù)問(wèn)題16.(2024·全國(guó)Ⅱ卷·T2)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個(gè)數(shù)為()。A.9 B.8C.5 D.4答案：A解析：∵x2+y2≤3,∴x2≤3,又∵x∈Z,∴x=-1,0,1。當(dāng)x=1時(shí),y=-1,0,1;當(dāng)x=0時(shí),y=-1,0,1;當(dāng)x=-1時(shí),y=-1,0,1。所以共有9個(gè),選A。17.(2024·全國(guó)Ⅱ卷·T2)設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}。若A∩B={1},則B=()。A.{1,-3} B.{1,0}C.{1,3} D.{1,5}答案：C解析：∵集合A={=1,2,4},B={x|x2-4x+m=0},A∩B={1},∴x=1是方程x2-4x+m=0的解,即1-4+m=0,∴m=3?！郆={x|x2-4x+m=0}={x|x2-4x+3=0}={1,3}。故選C。18.(2024·全國(guó)Ⅲ卷·T1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()。A.3 B.2C.1 D.0答案：B解析：由題意可得,圓x2+y2=1與直線y=x相交于兩點(diǎn)(1,1),(-1,-1),則A∩B中有兩個(gè)元素,選B。19.(2024·全國(guó)Ⅲ卷文·T1)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()。A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：由題意可得A∩B={2,4},故A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2,所以選B。20.(四川卷文·T2)設(shè)集合A={x|1≤x≤5},Z為整數(shù)集,則集合A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是()。A.6 B.5C.4 D.3答案：B解析：A∩Z={1,2,3,4,5},故A∩Z中元素的個(gè)數(shù)為5,選B。21.(2024·江蘇卷·T1)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},則實(shí)數(shù)a的值為。

答案：1解析：由題意知1∈B,明顯a2+3≥3,所以a=1,此時(shí)a2+3=4,滿意題意,故答案為1。題組3命題與充要條件22.(