初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)大

初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)大匯總

第一部分知識點總結(jié)

<二法一一—砒知鈉

1、二次函數(shù)的定義

⑴定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a豐0)的函數(shù)

叫做二次函數(shù).

(2)定義要點：|

①關(guān)于X的代數(shù)式一定是整式,a,b,c為常數(shù),且aWO.

②等式的右邊最高次數(shù)為2,可以沒有一次項和常數(shù)項,但不能沒有二次項.

如：j=—x2,y=2x2-4x+3,j=10()—flv2>v=—Zd+Sx—3等等都是二」次

廠2、二次函數(shù)的表達(dá)式下

(1)三種形式

一般式：y=ax2+bx^c

頂點式：y=a(x-h)2+k

交點式：尸a(x-X])(x-x2)

(2)確定表達(dá)式的方法：待定系數(shù)法

拋物線y=ax2y=ax2?ey-xhy-廿?★ya^^hx^c

當(dāng)時開口向上，并向上無限延伸;

開口方向a>0

當(dāng)a<0時開口向下，并向下無限延伸.

if

頂點坐標(biāo)(0,0)(0,c)(h,0)(h,k)(2o*4">

直線R-

對稱軸Y軸丫軸直線x=h直線x=h￡

k?xh0W1>x=h時x=h時h.4ac-b2

最a>0x=n1'=-----------

°y^n=。yw。y2=kla

值A(chǔ)T

x=0H寸x=h時x=h時b(,1

X=-----呵.二

a<0=O加J4?

.匕i=Cy=0y=k

在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小

增a>0

在對稱軸右側(cè)，丫隨X的增大而增大

減\|yx7|\x

性在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大

a<0

一在對稱軸右側(cè)，丫隨X的增大而減小

5、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系

a>0,拋物線開口向上，a<0,拋物線開口向下

決定拋物線的開口方向和

a忖|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的

大小

開口越大

b=0時，對稱軸為丫軸

共同決定拋物線對稱軸

0、ba、b同號，則對稱軸在y軸左側(cè)，筒記為“左同”

的位置a、b異號，則對稱軸在丫軸右側(cè)，筒記為“右異”

c=0,拋物線過原點

決定拋物線與V軸交點

cc>0,拋物線與y軸交于正半軸

的位置c<0,拋物線與y軸交于負(fù)半軸

bYacR時，與x軸有唯一交點(即頂點)

決定拋物線與X軸交

bZYac>0時，與x軸有兩個交點

點的情況

b?4ac<0時，與x軸沒有交點

當(dāng)x=l時，y=a*b>c：當(dāng)時，y=a-b*c

特殊關(guān)系當(dāng)x=2時，y=4a*2b*c；當(dāng)x=?2時，y=4a-2b*c

當(dāng)對稱軸為直線x=l時，則2a沖=0

當(dāng)對稱軸為直線x=?l時，則2a七二0

6、二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系

(1)拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)是方程ax2+bx+c=O(awO)的解.

(2)①ax2+bx+c>0(aw0)的解

集就是拋物線y=ax2+bx+c在x軸

上方圖象上對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)

的取值范圍

②ax2+bx+c<0(aH0)的解集就是

拋物線y=ax?+bx+c在x軸下方圖

象上對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)的取值

范圍

第二部分學(xué)習(xí)口訣

二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣

二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵;

開口、頂點和交點，它們確定圖象限;

開口、大小由a斷，c與丫軸來相見，b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián);

頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0,牢記心中莫混亂;

頂點坐標(biāo)最重要，一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸，縱標(biāo)函數(shù)最值見。

若求對稱軸位置，符號反，一般、頂點、交點式，不同表達(dá)能互換。

（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（i）拋物線開口向下，并向下無限延伸;

（2）對稱軸是x=-2,頂點坐標(biāo)是（-上,（2）對稱軸是x=-2,頂點坐標(biāo)是（

la2a2a2,

4ac—b?、4ac

--------）；--------）；

4a4a

（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)水-士時，v隨（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<—2時，y

性2a'2a

x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)隨x的噌大而噌大；在對稱軸的右側(cè)，

質(zhì)

X>-2時，V隨X的增大而噌大，簡記即當(dāng)*-三時，V隨X的噌大而激小，

2a2a

簡記直蜘索

h

（4）拋物線有最低點，當(dāng)x=-二時，、?有最（4）拋物線有最高點，當(dāng)x=-&時，v有

2a'2a

小值'最大值,

如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)

如果自變量的取值范圍是XjVxMx、，那么，首先要看-士是否在自變量取值范圍

2a

與￡x￡與內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=-2時，'工=把二Q；若不在此范圍內(nèi)，則需要

2a4a

考慮函數(shù)在X]Wx4x：范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨X的增大而增大，則當(dāng)x=上

時，=渥+%T，當(dāng)X=Xj時，J&.=OX：+g+C；如果在此范圍內(nèi)，、,隨X的增大

而減小，則當(dāng)X=X：時，]1_=渥+姐+C,當(dāng)x=x：時，\&=ax：~bx：-rCO

平移規(guī)律

在原有殛的基礎(chǔ)上“，值正池，負(fù)左移…:值正上移，負(fù)下移二

函數(shù)平移圖像大致位置規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，

可以大大節(jié)省做題的時間）

特別記憶一同左上加異右下減（必須理解記憶）

說明①函數(shù)中班?值同號，圖像頂點在y軸左側(cè)同左，abMBB-圖像頂點必在Y軸直徽號右.

②向左向上移動為加左上力口，向右向下移動為減右下臧

①將拋物線的式般其兄V;

②保持拋物線J=G：的形狀不變，將其頂點平隨1，3￡處，具體平移方法如下：

二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣…-一般兩根三頂點

(1)一般一般式：j=今,+bx-c(a)，溪常數(shù)，aw。)

(2)兩根當(dāng)拋物線.1=加+旅,c與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程ax：-加+c=0有

實根X；和X：存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式ax：+bx-c=a(x-￡)(x-x：),二次函數(shù)

:

y=ax+bx-c可轉(zhuǎn)化為兩根式1=a(.x-x,)(x-x;).如果沒有交點，則不能這樣表示.

a的絕對值越大，拋物線的開口越小.

⑶三頂點頂點式：j=a(x-力)：/血丸提常數(shù)，a=0)

第三部分易錯分析

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識的主線，而二次函數(shù)是這條主線上的高潮.我們通過探索二次函數(shù)與方程的關(guān)系，

讓我們領(lǐng)悟到事物之間相互聯(lián)系的辨證關(guān)系.我們能夠利用二次函數(shù)解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的

能力.

【知識結(jié)構(gòu)】

【知識梳理】

1、定義：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a?^0）的函數(shù)叫做x的

二次函數(shù).

二次函數(shù)的一般形式是y=g：+W+c（a，0）,還可以用配方法化為

y=a（x-4）2+上的形式，它可直接看出其頂點坐標(biāo)為（g,故把

y=-〃尸+k叫做二次函數(shù)的頂點式.

2、圖象:二次函數(shù)的圖象是拋物線,它是軸對稱圖形,其對稱軸平行于y軸.

注意：二次函數(shù)y+6x+c的圖象的形狀、大小、開口方向只與a有關(guān),

所以，y=g1+bx+c的圖象可通過y=g2的圖象平移得到.平移可按照如下

口訣進(jìn)行：上加下混，左加右減，即向上或向左用加，向下或向右用減.例如，

將y=2%2向左平移1個單位為j，=2（x+l）?,再向下平移3個單位為

V=2（X+1）2-3.

3、，顫

一般式y(tǒng)=+bx+c頂點式

y=a(x-/z)2+k

開口a>0向上向上

方向a<0向下向下

頂點坐標(biāo)zb4ac-bz、（九左）

1一_，)

2a4a

對稱軸直線x=h

直線X=

a>0b當(dāng)x=%，）'最小值=后

a

最大la，

（?。?ac-b2

)量小至一片L

值4a

a<0業(yè)當(dāng)x=〃，y最大值=

當(dāng)工b’k

4ac-b2

4a

注意：二次函數(shù)的性質(zhì)要結(jié)合圖象，認(rèn)真理解，靈活應(yīng)用，不要死記硬背.

4、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

對于二次函數(shù)y=g2+bx+c（a卉0）,當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程

ar2+bx+c=0.

二次函數(shù)y=g2+bx+c（a卉0）的圖象與x軸的交點有三種情況：

當(dāng)〃-4ac>0時，有兩個交點；

當(dāng)〃-4ac=0時，有一個交點；

當(dāng)〃-4ac<0時，無交點.

當(dāng)二次函數(shù)），=㈤？+取+。（&盧0）的圖象與x軸的有交點時，其交點橫坐

標(biāo)就是方程方2+bx+c=O的根.

【易錯點剖析】

一、忽略二次項系數(shù)不等于0

錯解:選C.由題意，得d=（-6>-4/義3>0,解得JK3,故選C.

錯解分析：當(dāng)"0時,二次項系數(shù)為0,此時原函數(shù)不是二次函數(shù).欲求k的取

值范圍，須同時滿足:①函數(shù)是二次函數(shù);②圖象與x軸有交點，上面的解法只注

重了而忽略了二次項系數(shù)不等于0的條件.

正解：選D.由題意，得Q=（-6）2-4*X3>0且##0,即*W3且A六0,故

應(yīng)選D.

二、忽略隱含條件

例2如圖,已知二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象與y軸交于點A,與x軸正半

錯解：選B.依題意BC=2,S?=應(yīng)得點A(0,3),即c=3.又BC=2,得方程

R+&+c=0的兩根之差為2,故七十環(huán)工-H乒^=2,解得1±4.

22

故選B.

錯解分析:上面的解法忽略了“拋物線的對稱軸x=-號在y軸的右側(cè)”這一

隱含條件,正確的解法應(yīng)是同時考慮>0,得2<0,爐4應(yīng)舍去,故應(yīng)選D.

正解：選D.

錯解：因為函數(shù)行(a-2)x：-(2a-l)x+a的圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點，而其中

與y軸有一個交點9a),則與x軸就只有一個交點，所以關(guān)于x的一元二次方

程戶(a-2)x72a-l)x+a有兩個相等的實數(shù)根，所以判別式

[-(2a-l)]:-4X(a-2)a=0,解得a=--.

4

錯解分析：本題關(guān)于函數(shù)的描述是“y關(guān)于x的函數(shù)“，并沒有指明是二次

困數(shù)，所以需要分“y關(guān)于x的一次函數(shù)”和“y關(guān)于x的二次函數(shù)”兩種情況

進(jìn)行討論.

正解：當(dāng)函數(shù)y是關(guān)于x的一次函數(shù)時，a=2,函數(shù)的解析式為k-3x+2,

函數(shù)圖像與y軸交點坐標(biāo)為(0,2),與x軸的交點坐標(biāo)為(：，0).所以a=2

符合題意.

當(dāng)函數(shù)y是關(guān)于x的二次函數(shù)時，函數(shù)尸(a-2)x:-(2a-l)x+a的圖象與y軸

有一個交點(0,a)，與坐標(biāo)軸共有兩個交點，所以與x軸只有一個交點，則關(guān)于

x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-l)x+a有兩個相等的實數(shù)根，所以判別

式4=[—(2a—I)]2—4(a—2)a=0解得a=一：.

而當(dāng)a=0時，與y軸的交點為原點，此時，y=-2x?+x與x軸還有一個交

點(1,0).

綜上可得a=2或a=0或a=

三、忽略數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用

錯解:當(dāng)x=-3時，產(chǎn)2;當(dāng)x=0時,y=5;所以,-3<x<0時，y最小=2,.量大=5.

錯解分析:上面的解法錯在忽略了數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用,誤以為端點的

值就是這段函數(shù)的最值.解決此類問題，畫出函數(shù)圖象,借助圖象的直觀性求解即

可.

正解：y=X?+4X+5=(X+2產(chǎn)+1,...對稱軸是直線X=-2,頂點坐標(biāo)是

(-2,1),畫出大致的圖象，如圖是拋物線位于-3WxWO的一段，顯然圖象上

最高點是C,最低點是頂點B而不是端點A,所以-3<x工OB寸，y最大值為5,

y最小值為1.

四、求頂點坐標(biāo)時混淆符號

錯解1用配方法

y=-x:+2x-2=-(x:-2x)-2

=-(x:-2x+l-l)-2

=-(x:-2x+l)-1

=-(x-l)2-1

所以二次函數(shù)產(chǎn)-x：+2x-2的頂點坐標(biāo)為(-1,-1).

錯解2用公式法在二次函數(shù)尸-x：+2x-2中，a=-l,b=2,c=-2,

則上=」=T,之竺=2-1以(-2)=]

2a2x(-1)4a2x(-1)

所以二次函數(shù)行-x：+2x-2的頂點坐標(biāo)為(-1,1).

錯解分析：二次函數(shù)行a(x-h)：+k的頂點坐標(biāo)為(h,k),即橫坐標(biāo)與配方后完

全平方式巾的常數(shù)項互為相反數(shù)，而非相等，也就是說不是Qh,k).二次函數(shù)

尸ax：+bx+c(a#O)的頂點坐標(biāo)為(-Q2%)，橫坐標(biāo)前面帶，縱坐標(biāo)

2a4a

的分子為4ac-b1不要與一元二次方程根的判別式方-4ac混淆.另外，把一般式

轉(zhuǎn)化為頂點式，常用配方法，如果二次項系數(shù)是1,則常數(shù)項為一次項系數(shù)一半

的平方；如果二次項系數(shù)不是1,則先提出二次項系數(shù)(注意：不能像解方程一

樣把二次項系數(shù)消去)，使括號中的二次項系數(shù)變?yōu)?,再時括號中進(jìn)行配方.

正解：(1)用配方法

y=-x2+2x-2=-(x-I)2-1

所以二次函數(shù)y=—x2+2x-2的頂點坐標(biāo)為(1,-1).

(2)用公式法

b24ac-b24x(-l)X(-2)-224

-----=-----------=1---------=-------------------=-1

2a2x(-1)4a2x(-1)

所以二次函數(shù)y=—x2+2x-2的頂點坐標(biāo)為(1,-1).

五、忽視根的判別式的作用

錯解：因為A與B關(guān)于y軸對稱，所以拋物線對稱軸為y軸，即直線

b6-C

x—————----------...-0.

2a2x(-1)

解得IIF6或m=-6.

當(dāng)詬6時，方程拋物線解析式為x:+3.

錯解分析：拋物線與x軸有兩個交點為A,B,等價于：相應(yīng)的一元二次方

程有兩個不相等的實數(shù)根,所以b:-4ac>0.如果忽視根的判別式在解題中的作用，

就不能排除不符合題意的解，擴(kuò)大了解的范圍，導(dǎo)致錯誤.

正解：因為A與B關(guān)于y軸對稱，所以拋物線對稱軸為y軸，即直線

x=-==：-；%、=0,解得而6,或者ITF-6.

2a2X(—)

當(dāng)m=6時，拋物線解析式為y=-jx2+3.

此時，b2—4ac=02—4X^—0X3=6>O,方程—+3=o有兩個不

相等的實數(shù)根，拋物線y=-：x2+3與x軸有兩個交點，符合題意.

當(dāng)ITF-6時，拋物線解析式為y=—92-9.此時，b:-4ac=02-4X

(-1)x(-9)=-18<0,方程—；x2-9=0沒有實數(shù)根，拋物線y=-|x2-9

與x軸有兩個交點，不符合題意，舍去.

因此所求拋物線解析式為y=-1X2+3

第四部分巧選解析式

二次函數(shù)解析式的確定是中考的高頻考點，在壓軸題的第一問就難倒了不少小伙伴。那么如何巧選表

達(dá)式來確定二次函數(shù)的解析式呢？

1.一般式法：

當(dāng)已知拋物線上的三點坐標(biāo)時，可用一般

式y(tǒng)=（以二+〃％+C（0）,通過解三元一

次方程組求解（如圖①）；

2.頂點式法：

當(dāng)已知拋物線的頂點坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸、最值）

和另一點時，可用頂點式y(tǒng)-〃尸+k

（Q，0）,通過列方程求解即可（如圖②）；

3.交點式法：

①已知拋物線與九軸的交點坐標(biāo)（孫，0）,

（冤2，。）和另一點時，可設(shè)交點式y(tǒng)=

-%1）（%-%2）（Q。0）,通過列方程求

解即可（如圖③）；

②已知拋物線與％軸的一個交點坐標(biāo)

（陽刀）、對稱軸和另一點時，利用拋物線

的對稱性求出拋物線與九軸的另一交點

坐標(biāo)，設(shè)交點式y(tǒng)-町）（%-%2），列

1.一個二次函數(shù)的圖象頂點坐標(biāo)是(2,4),

且過另一點(0,-4),則這個二次函數(shù)的

解析式為.

【思路點撥】已知拋物線的頂點坐標(biāo)(2,

4)，可設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=?(x-2)2

+4,將點(0,-4)代入求解即可.

【答案】父二_2(久-2y+4

2.一個二次函數(shù)的圖象與九軸交于4(-1,

0),5(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,4),

則該二次函數(shù)的解析式為_.

【思路點拔】已知拋物線與九軸交于兩點

4(-1,0),3(3,0),可設(shè)二次函數(shù)解析式

為0=。(％+1)(%-3),將點。(0,4)代入

求解即可.

4

【答案】y=--(x+1)(x-3)

做完這兩道題，你學(xué)會了嗎？

【幾種特殊情況】

第五步法動態(tài)最值專題

我們再來看最大值.將X=〃J和*=〃分別代入解析式.讖更大徙就是最大值,到底誰

更大呢？依據(jù)圖象的對稱性.ift)對稱軸遠(yuǎn)冊代入解析式就更大.徙博對稱軸遠(yuǎn)呢?石范困

的中點量E與對稱軸的大小關(guān)系即可,分為兩類:

4

(I)中點生吆在對稱軸的左側(cè).如圖4.此時m離對稱軸更遠(yuǎn),將x=/w代入得最

2

大值：

(2)中點巴產(chǎn)在對稱軸的右側(cè),如圖5.此時〃離對稱軸更遠(yuǎn),將x=〃代入得最大

值.

7

圖4圖5

苔：次函數(shù)開I響卜..則其城大值的情膨類似下如1湖小值.分為三類;其最小值的情

形類似于如上最大值.分為兩類.不再贅述.

課堂例題

例1?《.r4，+l時.求：次函數(shù)y=.--2r+2的最小值.

解::次場數(shù)是確定的，但范朋是移動的.要找最小值,汕音同月與對稱軸x=I的位

置關(guān)系,分為三類:

(I)的用作對稱軸左側(cè)，即，+141,/<0時,在范ll，Vx4/+l卜..y隨X的增大

向減小,所以代入x=r+1行此小值m=r+\t

(2)范國住對稱軸右側(cè).即/>I時，住范孫<》</+］上,)，隨.r的增大而增大，所

以代入x=/得依小值，〃=〃-27+2：

(3)范用包含對稱軸,即，<1</+1,()</<!Hi，在的圍/4x〈r+l匕y光缸t

的增大而減小,再隨x的增大而增大,此時在對稱軸處取得最小值1.

?+1./<()

標(biāo)上所述.H小值〃?=?.

/'-2/+2,/>1

注：此題考察分類討論思想的運用.屬于軸定范圍動的類型.最小值的求解分“左''”右”

“中”三類.本題也可考慮求解最大值，分兩類得最大值”=,2.感興趣

r+\j>-

2

的同學(xué)不妨一試.

例2與04X42時,求：次函數(shù).1，=1-2m,1的最大值.

解：葩國站確定的,但二次函數(shù)是移動的，對稱軸為此線x=a(位置不定).是找最

大值.得看。和2儺離對稱軸更遠(yuǎn),分為兩類：

(I),*u/<UM,2離對稱軸更遠(yuǎn),將K=2代入得破大值51=3-4”：

(2)當(dāng)時,0離對稱軸更遠(yuǎn),將x=0代入得最大值”=-1.

3-4。.。＜1

綜上所述,H大值M=

例3''i5<.v<20時,：次函數(shù)V=4--kv-8既沒仃以大他也沒仃以小值,求人的

取值范B9.

解：：次函數(shù)r=4.v2-kx-S汗“向上」對稱軸為H線x=與（不確定）.與5<*<20

8

時.它既沒儕能大值也沒盯最小值（注意這個施慍不包含兩個端點）,這說明對稱軸不在這

個范用內(nèi)（不然的話.對稱軸處必取然最小值）,而且當(dāng)對稱軸不在此范圍內(nèi)時.經(jīng)檢驗《畫

圖象）確實符合題意.則」<5或±;20.得在440或々>160.

88

注:最大值和最小值一定是可以取到的值才行.由于題中所給危因不包含潴點5和2（）.

所以將5或20代人解析式并不會得到最值.

例4函數(shù)j，=x'+2x+3在，”<x<0（，〃<0）上的最大位為3.最小值為2,求，”的

取值范用.

解：易知,巧*=0和一2時,j，=3；"ix=—l時,y=2.如情所示.數(shù)形結(jié)合可和

”，的取值位困是-24/”《-I.

例5設(shè)〃>（）.當(dāng)-14x41時.函數(shù).1，=-/一亞+/>+】的燃小值是-4.他大值是

0.求m6的值.

解：二次函數(shù)），=一『一皿+/>+1開口向F.對稱軸為》=-3<。<1,一g與范闞

22

-14工〈的左端點-I的大小關(guān)系不定.分為兩類:

（I）當(dāng)一g《—1即時.范圍一14》41在對稱軸右側(cè)，uSIlx的增大而減小,由

2

綜上所述,a,b的值分別為2和-2.

注：條件“>0在不確定的大環(huán)境下帶來了一絲確定.減少了分類討論的次數(shù),降低了

試墨難度.有興趣的讀者不妨將此條件去坤一試.

例6己知二次函數(shù)+x.時.y的取值范困足2，"V2〃.

求，〃.〃的值.

解：：次函數(shù)1，=-1￥+*=-1(》-1)'+,開11向"節(jié)x=l時,y取最大值,，

,22、，2?7

則2〃41.n<-<I.這衣明范用，在對稱軸左側(cè).所以rfifi.r的增大而增大.

24

由題意知

1,、

—nr+m=2〃i

2

《■

1，.

—〃“+〃=2n

2

注意到這兩個等式的結(jié)構(gòu)完全?致.則〃，,〃(，〃<")是二次方程+x=2.V的兩個不等

實數(shù)根,解得，”=-2./?=().

注：此題若不是抓住〃《!這個條件就得至少分三類討論,而且每一類型還得解，”，〃的

4

二元二次方程組,有時會很難解.

課后作業(yè)

I.，11/<,v<r+1ll-t.求：次函數(shù)v一x-工的/“小伍.

22

2.L1知:次函數(shù)y=aT+6、?的對稱軸為I'(線工=I.IL/j程a/+岳?=2x有兩個楣等

的實數(shù)根.

(I)求：次函數(shù)的解析式：

(2)與04*《/(/>0)時，求該:次函數(shù)的M人值.

3.已知《x《a時.：次函數(shù)),=/-6x+8的最小值為a'-6“+8.求實數(shù)。的取

值一圈.

4.已知函數(shù)j，=./+2av+l在一14》42上的以大值為4,求“的值.

第六部分解題技巧

學(xué)好函數(shù)還是有訣竅的，要結(jié)合圖像說性質(zhì)，結(jié)合性質(zhì)畫圖像，正所謂數(shù)形結(jié)合，函數(shù)無敵!

開口向上—Q>0

開口向下一Q<0

對稱軸為中軸—〃二。

對稱軸在）?軸左側(cè)一〃、〃同

號—ah>0

對稱軸在,軸右側(cè)-a、b異

號wab<0

拋物線過原點一。二()

交點在y軸正半軸—c>0

交點在y軸負(fù)半軸-c<0

有兩個交點—b2-4ac>0

有一個交點—，/-4ac=0

沒有交點—川-4ac<0

對鄢為直線K=1—12n+〃=0

艱確為直線x=-1-=0

6、湖國子集錦

a+/)+c令”二1,看縱坐標(biāo)

y

x=1時,y=0+64-c=0

x

=1時,y〉0+6+c>0

=1時,y<0+6+c<0

a—b+c—令冥二-1，看縱坐標(biāo)

—1時,y=0a+c=。

-1時，,>()-*a-b+c>0

-1時,y<0^*a-1)+c<0

加+2/)+c―令需=2,看縱坐標(biāo)

**4</+21)+c=0

^^4/+21)+<1>0

-*4f7+26+。<0

4a-2b+c―令攵=示

.x=-2時,y=0^*4,-26+(,=0

1/rx=-2時,y>04<z—21)+c>0

-2MyJ

、2/____x=—2時,y〈。■^?癡-2/>+c<0

MTr

第七部分變式13解

在初中三年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，二次函數(shù)一直是重難點，正是因為很多學(xué)生都沒學(xué)會，因此讓出題老師們鉆

了空子，在中考中最喜歡出二次函數(shù)的題，不管是選擇，填空還是大題壓軸題。

老師最喜歡給學(xué)生出難題，可是學(xué)生們就該叫苦不迭了，趁著中考前這段時間，多復(fù)習(xí)這一類知識，

再做一個鞏固加深印象。

以二次函數(shù)進(jìn)行考查的題目，命題形式都是比較固定的，一般都是給一個含有字母系數(shù)的二次函數(shù),

通過給出條件確定解析式，然后討論交點問題，往往看著簡單的題目，最不容易做出來，出題稍微有

點變化，學(xué)生就看不出來。

針對學(xué)生們做題出現(xiàn)的問題，我整理出來一些技巧以及考試中常出現(xiàn)的變式題，以便學(xué)生們上考場不

自亂陣腳。

1、近兩年考試真題剖析，方法技巧提炷

考查方式：從前幾年所考二次函數(shù)的綜合性問題可以看出，命題模式比較固定，都是給出一個

含有字母系數(shù)的二次函數(shù)，通過某些條件確定這個二次函數(shù)的解析式，然后基于這個已知的二次函數(shù)

討論某個一次函數(shù)和它（或它的一部分或它的變化形式）的交點情況.（二次函數(shù)壓軸題一般有3小

間）

【二次函數(shù)壓軸題第（DC）間的解訣技巧】：

技巧1.（1）若給出確定的解析式：

第一步，計箕出對稱軸（利用*=三三或者x=-：）

第二帆再利用因式分解或求根公式親出拋物線與坐套軸的交點

（2）若給出含字母系數(shù)的解析式：

第一步：根據(jù)各種特定的已知條件求出二次函效解析式（注意二次項系數(shù)不為0）;

第二步：求出時稱軸及拋物線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)；

第三步：若求一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點，只需把兩解析式聯(lián)立解方程組即可；

第四步：若有圖像變換直接利用平移結(jié)論“上加下減，左加右減”，或?qū)ΨQ公式來解決,

這些都是解決最后T司的前提.

注言：求拋物線對稱軸最重要！對稱軸和交點都定后，之后再怎么變化就都盡在掌握了.

【二次函數(shù)壓軸題第（3）問的解決技巧】：

技巧2.搐定它的秘籍首先就是精確作圖，一定要用100。。的耐心加細(xì)心把圖象畫好，這是中考說明

中給出的A級，是最基本的要求，再找出院界點（臨界.點：圖象邊緣的兩個點，不等式中恰好在邊

界的那些數(shù)值），利用臨界點確定字母系數(shù)的值或取值范圍.

【真蹙案例對比分析1——2014年北京中考23題】

在平面直角坐標(biāo)系。中，拋物線J=2F-1經(jīng)過點70,-2：,Bi3,4|,

（1）求拋物線的表達(dá)式及對稱軸；

（2）設(shè)點3關(guān)于原點的對稱點為C,點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在H,5之間的部分

為圖家G（包含T,3兩點）.若直線CD與圖象G有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求點D縱坐標(biāo)f

的取值范圍.

【解析】（D：）=2/-痔-“經(jīng)過點."!（0,-2）,

代人得:技巧L給出含字母系數(shù)的解析式：那

1S-3?M->!=4'n=-2

仁首先根據(jù)已知.4（0,-2）,3（3,4?兩點

拋物線的表達(dá)式為了=2x:-4x-2

坐標(biāo)求出二次函數(shù)解析式。確定解析式

后，直接計算出對稱軸。

技巧2.首先精確作圖，再找到。點的

仁修界位置，發(fā)現(xiàn)C點的縱坐標(biāo)和頂點的

縱坐標(biāo)一樣，那么D點最低就是頂點，

再連接C4和C3發(fā)現(xiàn)哪條直線和對稱

軸交點比較高？顯然是C3,問題就搞定

了.直接代入解析式即可。

(2)

由題意可知C(-3,-4)，二次函數(shù)］=2x:-4x-2的最小值為-4,

由圖象可以看出D點縱坐標(biāo)最小值即為-4,最大值即3(?與對稱軸交點。

直線3C的解析羔j=gx

當(dāng)x=l時，1=1

【真題案例對比分析2——2013年北京中考23整】

在平面直角坐標(biāo)系“^中，拋物線T=枇J-2?tv-2C”WQ.i與丁軸交于點A,其對稱軸與工軸交于點

B.

(D求點/，B的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線:與直線團(tuán)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，求直線，的解析式；

(3)若該拋物線在-2<x<-l這一段位于直線j的上方，并且在2<x<3這一段位于直線.羽的下方,

求該拋物線的解析式.

【解析】⑴令x=0,得］=-2,

技巧1.解析式中只有一個字母系數(shù)，

則,4(0,-2),而且題干中提到了對稱軸，那么直接利

又對稱軸.v=--==1,用》=-之求出對稱軸.你看看，連續(xù)

2a2m

則3(1,0).兩年都考對稱軸，它重要不重要？！你

(2)由(1)可知,直線A5的解析式］=2x-2,再看看二012年，一樣也考！

關(guān)于對稱軸對稱后的解析式為r=-2.\-2.

⑶

技巧2.第(3)問說了一堆什么這一段

位于直線上方，那一段位干直線下方，

是不是很暈很迷茫？精確作圖就能搞定

了.有沒有發(fā)現(xiàn)其實整個圖形是對稱的,

觀察一下臨界位置，就是我們剛才說過

的不等式中恰好在邊界的數(shù)值，

仁-2,-1,2,3,有沒有發(fā)現(xiàn)什么？這么

對稱的圖形，當(dāng)然是發(fā)現(xiàn)對稱點了，-1

和3是關(guān)干對稱軸對稱的有木有？說明

他們倆都恰好在拋物線上，哦了，問題

搞定！

.拋物線的對稱軸為直線,x=l,

拋物線在2cxy3這一段與在T<x<0這一段關(guān)于對稱軸對稱，

結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在-2<A<-1這一段位于直線：的上方，在-l<x<0這一段位于

直線，的下方，

，拋物線與直線/的交點的橫坐標(biāo)為-1,

當(dāng)x=-l時，1=-2x（-l）-2=4,所以，拋物線過點（-1,4）,

當(dāng)x=-l時，m-2m-2=4,解得加=2,

二.拋物線的解析式為1=2x:-4x-2.

2、堂握13個原創(chuàng)變式，完勝二次函數(shù)中考最難點

根據(jù)近5年北京中考、一二?？荚噷τ诙魏瘮?shù)綜合越i一短23匙）笆考查情況以及2015與北

京壬招生笥理辦公室和北京市教育考試院給出的關(guān)于中考改堇的意見.口考法究曰心專家.根

據(jù)歷年此題最后一問的考查形式.原創(chuàng)了如下13個變式題目，都助同學(xué)士熟悉考法并徹底至運此類

題型，輕松應(yīng)貯中考：

【例題】已知二次函數(shù)1=3；：的圖象與X軸交于川-1，0rBl3,0,與1軸交于

ClO,-3）.求該二次函數(shù)的解析式.

【考法1】一宛砌堤沿x融翻折與平移直線的交點向貳難度：★★

將二次函數(shù)的圖象在.,、軸下方的部分沿入軸翻折，其余部分保持不變，另得到一個新的圖象，請你結(jié)

合新圖冢回答，直線J與新圖象的交點情況.

（2009"三0手；：；二手N三弓奏）

（2013壬￡一?:：乙冬三可呼祭）

【考法2】——挹物線沿x軸翻折與旋轉(zhuǎn)直線的交點間題建度：★★★

將二次函數(shù)的圖象在》軸下方的部分沿:;軸翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖冢，請你結(jié)合

圖?；卮?，直線）=%-3伏*0:與新圖象的交點情況.

（2012米工一工匚力名W三弓桑）

【考法3】——死物線沿平行于x埼的動直淺融折與平移直線的交點問題難反：★★★★

將二次函數(shù)的圖象在］=七下方的部分沿］=-匕翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你

【考法9】——平移艙物線和線段的交點問題造度：★★

已知WQ,-L,M4,5,將二次函敷.[=加-笈-c向上或向下平移，若平移后的拋物線與線段

.TZV始終有公共點，求平移距離力的取值范圍.

（2011東工一堂7”孝一-考奈）

【考法10】——反比例圖數(shù)與拋物線交點的范圍問題造度：★★

反比例函數(shù)]=與2>。，x>0的圖冢與二次函數(shù)的圖象在第一冢限的交點橫坐標(biāo)X：滿足4<j<5,

求低的取值范圍.

（2014