新高考數(shù)學一輪復習第8章 第06講 雙曲線 精練（教師版）

第06講雙曲線(精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為動點，已知直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率之積為定值SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的軌跡是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：設動點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率之積為定值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡可得，SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0.故選：C.2．已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點為F，則點F到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C由題意得SKIPIF1<0，所以雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為右焦點SKIPIF1<0，所以點F到一條漸近線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.故選：C3．已知雙曲線兩條漸近線的夾角為60°，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．2或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C由題設，漸近線與x軸夾角SKIPIF1<0可能為30°或60°，當SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；所以雙曲線的離心率為2或SKIPIF1<0.故選：C4．若雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C設雙曲線SKIPIF1<0、橢圓SKIPIF1<0的焦距分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，離心率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，橢圓SKIPIF1<0的焦點在SKIPIF1<0軸上，則SKIPIF1<0.故選：C.5．過雙曲線SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線，切點為SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交雙曲線右支于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BSKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，設SKIPIF1<0是雙曲線的右焦點，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，由雙曲線定義知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是圓切線，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B．6．設SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0為正三角形，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0【答案】A由題可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以雙曲線定義可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A對B錯；所以SKIPIF1<0，C錯誤；SKIPIF1<0，D錯誤.故選：A7．設點SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左?右兩焦點，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的右支上的任意一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值可能是（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】B設SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B.8．已知SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦點，點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為雙曲線左支上的動點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B∵點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦點，∴點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，∴

SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為雙曲線左支上的動點，由雙曲線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值為-40，故選：B.二、多選題9．雙曲SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的（

）A．頂點相同 B．焦點相同C．離心率相同 D．漸近線相同【答案】CD由SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，頂點不同，A錯，對SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，漸近線為SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，漸近線為SKIPIF1<0，由此判斷B錯，CD正確.故選：CD10．已知雙曲線C：SKIPIF1<0(a>0，b>0)與直線y=kx交于A，B兩點，點P為C上一動點，記直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB，C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．若kPASKIPIF1<0kPB=SKIPIF1<0，且C的焦點到漸近線的距離為1，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)=2B．C的離心率為SKIPIF1<0C．若PF1⊥PF2，則SKIPIF1<0PF1F2的面積為1D．若SKIPIF1<0PF1F2的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0PF1F2為鈍角三角形【答案】ACD設點A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故雙曲線C的漸近線方程SKIPIF1<0，因為焦點(c，0)到漸近線SKIPIF1<0的距離為1，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，故A正確，B錯誤．對于C，不妨設P在右支上，記SKIPIF1<0則SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去），所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C正確；對于D，設P(x0，y0)，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0帶入C：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,由于對稱性，不妨取P得坐標為(SKIPIF1<0，2)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0所以∠PF2F1為鈍角，所以SKIPIF1<0PF1F2為鈍角三角形，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等軸雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于___________.【答案】SKIPIF1<0解：∵雙曲線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，焦距SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①又∵點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，平方得SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.12．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點，過SKIPIF1<0的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，若SKIPIF1<0，則雙曲線的漸近線方程為______．【答案】SKIPIF1<0如圖，因為SKIPIF1<0，所以AB⊥SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由雙曲線定義可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故漸近線方程為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0四、解答題13．如圖，若SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點.（1）若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；（2）若P是雙曲線左支上的點，且SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0的面積.【答案】（1）10或22；（2）SKIPIF1<0.解：（1）SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點，則SKIPIF1<0，點M到它的一個焦點的距離等于16，設點SKIPIF1<0到另一個焦點的距離為SKIPIF1<0，則由雙曲線定義可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0到另一個焦點的距離為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）P是雙曲線左支上的點，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14．解答下列兩個小題：（1）雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0離心率為SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0的方程；（2）雙曲線SKIPIF1<0實軸長為2，且雙曲線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的焦點相同，求雙曲線SKIPIF1<0的標準方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的方程即為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0坐標代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，設雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．B能力提升1．雙曲線的光學性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點SKIPIF1<0發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點SKIPIF1<0.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為其左、右焦點，若從右焦點SKIPIF1<0發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0反射后，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C易知SKIPIF1<0共線，SKIPIF1<0共線，如圖，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．2．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的上頂點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,曲線SKIPIF1<0和橢圓SKIPIF1<0有相同焦點，且雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的一個公共點，若SKIPIF1<0，則（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：如圖所示，設雙曲線的標準方程為：SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0.∵橢圓SKIPIF1<0的上頂點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.不妨設點SKIPIF1<0在第一象限，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.兩邊同除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故選：B3．已知雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，實軸長為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左支上，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的一條漸近線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0時，該雙曲線的漸近線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D因為雙曲線SKIPIF1<0的實軸長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0三點共線時取等號，如圖，SKIPIF1<0與漸近線SKIPIF1<0垂直時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以雙曲線的漸近線方程為：SKIPIF1<0，故選：D.4．已知SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點，點SKIPIF1<0在雙曲線的右支上，點SKIPIF1<0是平面內(nèi)一定點.若對任意實數(shù)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的漸近線平行，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A∵雙曲線C：SKIPIF1<0，∴雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，∵對任意實數(shù)m，直線SKIPIF1<0與雙曲線C的漸近線平行，∴直線SKIPIF1<0與雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0平行，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A.C綜合素養(yǎng)1．已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率等于SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)若雙曲線的左頂點為SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，P為雙曲線右支上任意一點，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)-4(1)依題SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故雙曲線的方程為SKIPIF1<0.(2)由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0