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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設雙曲線的一條漸近線為,且一個焦點與拋物線的焦點相同,則此雙曲線的方程為()A. B. C. D.2.函數(shù)(其中,,)的圖象如圖,則此函數(shù)表達式為()A. B.C. D.3.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或4.若、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.5.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶(鐵皮厚度忽略不計),底面直徑為cm,高度為cm,現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球,在能蓋住蓋子的情況下,最多能裝()(附:)A.個 B.個 C.個 D.個6.復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.7.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.268.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點,若線段中點的橫坐標為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.9.已知是定義是上的奇函數(shù),滿足,當時,,則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是()A.3 B.5 C.7 D.910.設,集合,則()A. B. C. D.11.對于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點”.若實數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點”,則的最大值為()A. B. C. D.12.集合的真子集的個數(shù)是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若實數(shù)滿足不等式組,則的最小值是___14.如圖,網格紙上小正方形的邊長為,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為________.15.已知實數(shù)滿約束條件,則的最大值為___________.16.已知兩圓相交于兩點,,若兩圓圓心都在直線上,則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,為的導函數(shù),設,求的取值范圍,并求取到最小值時所對應的的值.18.(12分)如圖,在斜三棱柱中,側面與側面都是菱形,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.(12分)某調查機構為了了解某產品年產量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響,對近五年該產品的年產量和價格統(tǒng)計如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y關于x的線性回歸方程;(2)若每噸該產品的成本為12千元,假設該產品可全部賣出,預測當年產量為多少時,年利潤w取到最大值?參考公式:20.(12分)已知數(shù)列的各項均為正數(shù),且滿足.(1)求,及的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調性并指出相應單調區(qū)間;(2)若,設是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.22.(10分)設函數(shù).(Ⅰ)當時,求不等式的解集;(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
求得拋物線的焦點坐標,可得雙曲線方程的漸近線方程為,由題意可得,又,即,解得,,即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解:拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得,即又,即解得,.即雙曲線的方程為.故選:C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程,屬于中檔題.2.B【解析】
由圖象的頂點坐標求出,由周期求出,通過圖象經過點,求出,從而得出函數(shù)解析式.【詳解】解:由圖象知,,則,圖中的點應對應正弦曲線中的點,所以,解得,故函數(shù)表達式為.故選:B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質,三角函數(shù)的解析式等基礎知識;考查考生的化歸與轉化思想,數(shù)形結合思想,屬于基礎題.3.B【解析】
因為,所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.4.C【解析】
作出不等式組所表示的可行域,平移直線,找出直線在軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解,代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.由,得,平移直線,當直線經過點時,該直線在軸上的截距最大,此時取最大值,即.故選:C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標函數(shù)的最值,一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解,考查數(shù)形結合思想的應用,屬于基礎題.5.C【解析】
計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm,得到最上層球面上的點距離桶底最遠為cm,得到不等式,計算得到答案.【詳解】由題意,若要裝更多的球,需要讓球和鐵皮桶側面相切,且相鄰四個球兩兩相切,這樣,相鄰的四個球的球心連線構成棱長為cm的正面體,易求正四面體相對棱的距離為cm,每裝兩個球稱為“一層”,這樣裝層球,則最上層球面上的點距離桶底最遠為cm,若想要蓋上蓋子,則需要滿足,解得,所以最多可以裝層球,即最多可以裝個球.故選:【點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.6.C【解析】
直接利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項:【點睛】本題考查復數(shù)的除法的運算法則的應用,考查計算能力.7.D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點睛】本題考查組合的應用,此類問題注意實際問題的合理轉化,本題屬于容易題.8.B【解析】
利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設拋物線的焦點為F,設點,由拋物線的定義可知,線段AB中點的橫坐標為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質的應用,利用拋物線的定義是解題的關鍵.9.D【解析】
根據(jù)是定義是上的奇函數(shù),滿足,可得函數(shù)的周期為3,再由奇函數(shù)的性質結合已知可得,利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù),滿足,,可得,
函數(shù)的周期為3,
∵當時,,
令,則,解得或1,
又∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),
∴在區(qū)間上,有.
由,取,得,得,
∴.
又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù),
∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個,
故選D.【點睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷,考查抽象函數(shù)周期性的應用,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬于中檔題.10.B【解析】
先化簡集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算,意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.11.D【解析】
根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對稱點”,所以,故(當且僅當時取等號).又與為函數(shù)的“線性對稱點,所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運算和圖像性質、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.12.C【解析】
根據(jù)含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,計算可得;【詳解】解:集合含有個元素,則集合的真子集有(個),故選:C【點睛】考查列舉法的定義,集合元素的概念,以及真子集的概念,對于含有個元素的集合,有個子集,有個真子集,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.-1【解析】作出可行域,如圖:由得,由圖可知當直線經過A點時目標函數(shù)取得最小值,A(1,0)所以-1故答案為-114.【解析】
根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,結合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,如圖所示:結合圖中數(shù)據(jù),計算它的體積為.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應用問題,是基礎題.15.8【解析】
畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)平移計算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件,畫出可行域,圖中陰影部分為可行域.又目標函數(shù)表示直線在軸上的截距,由圖可知當經過點時截距最大,故的最大值為8.故答案為:.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關鍵.16.【解析】
根據(jù)題意,相交兩圓的連心線垂直平分相交弦,可得與直線垂直,且的中點在這條直線上,列出方程解得即可得到結論.【詳解】由,,設的中點為,根據(jù)題意,可得,且,解得,,,故.故答案為:.【點睛】本題考查相交弦的性質,解題的關鍵在于利用相交弦的性質,即兩圓的連心線垂直平分相交弦,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對應的的值為.【解析】
(1)當時,求的導數(shù)可得函數(shù)的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,利用導函數(shù),可得的范圍,再表達,構造新函數(shù)可求的取值范圍,從而可求取到最小值時所對應的的值.【詳解】(1)函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域:,當時,,所以:,時,,當時,,當,時,,則函數(shù)的單調增區(qū)間為:,單調遞減區(qū)間為:,;(2)由條件得:,,由條件得有兩根:,,滿足,△,可得:或;由,可得:.,函數(shù)的對稱軸為,,所以:,;,可得:,,,則:,所以:;所以:,令,,,則,因為:時,,所以:在,上是單調遞減,在,上單調遞增,因為:,(1),,(1),所以,;即的取值范圍是:,;,所以有,則,;所以當取到最小值時所對應的的值為;【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和單調區(qū)間問題,考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了轉化的思想方法,屬于難題.18.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)取中點,連,,由等邊三角形三邊合一可知,,即證.(2)以,,為正方向建立空間直角坐標系,由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值.試題解析:(Ⅰ)證明:連,,則和皆為正三角形.取中點,連,,則,,則平面,則(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如圖所示,分別以,,為正方向建立空間直角坐標系,則,,,設平面的法向量為,因為,,所以取面的法向量取,則,平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.(1)(2)當時,年利潤最大.【解析】
(1)方法一:令,先求得關于的回歸直線方程,由此求得關于的回歸直線方程.方法二:根據(jù)回歸直線方程計算公式,計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.(2)求得w的表達式,根據(jù)二次函數(shù)的性質作出預測.【詳解】(1)方法一:取,則得與的數(shù)據(jù)關系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,關于的線性回歸方程是即,故關于的線性回歸方程是.方法二:因為,,,,,所以,故關于的線性回歸方程是,(2)年利潤,根據(jù)二次函數(shù)的性質可知:當時,年利潤最大.【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法,考查利用回歸直線方程進行預測,考查運算求解能力,屬于中檔題.20.(1);.;(2)【解析】
(1)根據(jù)題意,知,且,令和即可求出,,以及運用遞推關系求出的通項公式;(2)通過定義法證明出是首項為8,公比為4的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的前項和公式,即可求得的前項和.【詳解】解:(1)由題可知,,且,當時,,則,當時,,,由已知可得,且,∴的通項公式:.(2)設,則,所以,,得是首項為8,公比為4的等比數(shù)列,所以數(shù)列的前項和為:,即,所以數(shù)列的前項和:.【點睛】本題考查通過遞推關系求數(shù)列的通項公式,以及等比數(shù)列的前項和公式,考查計算能力.21.(1)答案見解析(2)【解析】
(1)先對函數(shù)進行求導得,對分成和兩種情況討論,從而得到相應的單調區(qū)間;(2)對函數(shù)求導得,從而有,,,三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉化成關于的函數(shù),再構造新函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當時,則,故在上單調遞減;當時,令,所以在上單調遞減,在上單調遞增.綜上所述:當時,在上單調遞減;當時,在上單調遞減,在上單調遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設,則,∴在上單調遞減;當時,.∴,即所求的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉化為
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