考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷4（共223題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷4（共9套）（共223題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則x=0是的()A、可去間斷點(diǎn)B、跳躍間斷點(diǎn)C、無窮間斷點(diǎn)D、連續(xù)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：，所以x=0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．2、設(shè)f(x)=3x3+x2｜x｜，則使f(n)(0)存在的最高階數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x)滿足，則f(x)()A、有極大值f(0)=－1及漸近線y=x．B、有極小值f(0)=1及漸近線y=x．C、有極大值f(0)=－1及漸近線y=－x．D、有極小值f(0)=1及漸近線y=－x．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：上式兩邊求導(dǎo)，得f(－x)=－x－e－x，所以f(x)=x－ex．fˊ(x)=1－ex，令fˊ(x)=1－ex=0，得x=0．fˊˊ(x)=－ex，fˊˊ(0)=－1＜0，所以x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，極大值為f(0)=0－e0=－1．(答案排除B，D)所以斜漸近線的斜率為1，故答案選A．4、設(shè)函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fˊx(x0，y0)，fˊy(x0，y0)都存在，則()A、f(x，y)在點(diǎn)P0處必連續(xù)B、f(x，y)在點(diǎn)P0處必可微C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義可知f(x，y0)在x=x0處連續(xù)，f(x0，y)在y=y0處連續(xù)，故答案應(yīng)選C．5、設(shè)A為m×n矩陣，r(A)=n，則下列結(jié)論不正確的是()A、若AB=0，則B=0B、對(duì)任意矩陣B，總有r(AB)=r(B)C、存在B，使BA=ED、對(duì)任意矩陣B，總有r(BA)=r(B)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)(A)，因?yàn)锳B=0r(A)+r(B)≤n，又r(A)=n，所以r(B)=0，所以B=0．排除．對(duì)于(B)，因?yàn)锳為m×n矩陣，r(A)=n，所以A為列滿秩矩陣，于是存在m階可逆矩陣P，n階矩陣Q，使PAQ=故排除(C)故選(D)．事實(shí)上，若取A=（1，－2，1）T，B=(1，1，1)，則r(A)=1，r(BA)=0≠r(B)=1．6、設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩r(A)=n－3，且α1，α2，α3為此方程組的三個(gè)線性無關(guān)的解，則下列向量組中可以作為Ax=0的基礎(chǔ)解系的是()A、－α1，2α2，3α3+α1－α2B、α1+α2，α2－α3，α3+α1C、α1－2α2，3α3－α1，－3α3+2α2D、2α1+4α2，－2α2+α3，α3+α1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閞(A)=n－3，所以基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為n－(n－3)=3；又由解的性質(zhì)可知，四組備選答案中任何一組的三個(gè)向量均為解向量，現(xiàn)在要驗(yàn)證的是哪組解向量線性無關(guān)，又因?yàn)檫x項(xiàng)(A)中7、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)～N(1，2；1，4；)，且P{aX+bY≤1)=，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用二維正態(tài)分布的性質(zhì)得到aX+bY服從一維正態(tài)分布．又因?yàn)镻{aX+bY≤1)=，所以E(aX+bY)=1，即a+26=1．選項(xiàng)中只有D滿足此條件．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、y=(x2－5x+6)｜x3－3x2+2x｜不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查y=(x－a)｜x－a｜在x=a點(diǎn)可導(dǎo)．y=(x2－5x+6)｜x3－3x2+2x｜=(x－2)(x－3)｜x(x－1)(x－2)｜，從而本函數(shù)有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)．10、設(shè)某商品的收益函數(shù)為R(p)，收益彈性為1+p+plnp(其中p是價(jià)格)，且R(1)=1，則R(p)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：p1+p．知識(shí)點(diǎn)解析：1nR(p)=lnp+plnp+c=(p+1)lnp+c，再由R(1)=1可得c=0．則R(p)=pp+1．11、y=e2x+(1+x)ex是二階常系數(shù)線性微分方程yˊˊ+ayˊ+βy=rex的一個(gè)特解，則α2+β2+r2=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：14知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理可得y=e2x+ex+xex．進(jìn)而可求得α=－3，β=2，r=－1α2+β2+r2=14．12、，r(A)=2，則A*x=0的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k1（1，0，－1）T+k2（5，3，4）T知識(shí)點(diǎn)解析：r(A)=2＜3r(A*)=1所以A*x=0的基礎(chǔ)解系中有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，A*A=｜A｜E=0，即A的每一列均為A*x=0的解，兩個(gè)線性無關(guān)解為通解為13、設(shè)(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其概率密度為f(x，y)=，－∞＜x＜+∞，－∞＜y＜+∞，概率P(X＜Y)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，已知方差DX=1，而隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)為f(一y)，且X與Y的相關(guān)系數(shù)為一，記Z=X+Y，求(Ⅰ)EZ，DZ；(Ⅱ)用切比雪夫不等式估計(jì)P{｜Z｜≥2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)EZ=E(X+Y)=EX+EY=∫-∞+∞xf(x)dx+∫-∞+∞yf(-y)dy∫-∞+∞xf(x)dx+∫-∞+∞(一u)f(u)(一du)=∫-∞+∞xf(x)dx—∫-∞+∞uf(u)du=0，DZ=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX+DY+．又DY=E(Y2)一(EY)2，其中EY=一EX，E(Y2)=∫-∞+∞y2f(-y)dy=∫-∞+∞(一u)2f(u)(一du)=∫-∞+∞u2f(u)du=E(X2)，則DY=E(X2)一(一EX)2=E(X2)一(EX)2一DX=1，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)g(x)=xcosx－sinx，則gˊ(x)=－xsinx＜0因此g(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以在內(nèi)g(x)＜0，故Fˊ(x)＜0，所以F(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=計(jì)算二重積分其中D={(x，y)｜x｜+｜y｜≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)區(qū)域D在第一象限的部分為D，由對(duì)稱性可得記D1為x+y=1與x軸y軸所圍部分，D2為D挖掉D1剩余部分，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)y(x)在區(qū)間[0，+∞)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且滿足y(x)=－1+x+2(x－t)y(t)yˊ(t)dt求y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)所給方程變形方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得yˊ(x)=1+2y(t)yˊ(t)dt，繼續(xù)求導(dǎo)，得yˊˊ(z)x=2y(x)yˊ(x)，且y(0)=－1，yˊ(0)=1．微分方程不顯含自變量x，令P=yˊ，方程可化為這是自變量可分離的微分方程，求得通解為P=y2+c1，即yˊ=y2+c1．由y(0)=－1，yˊ(0)=1可得，c1=0，從而yˊ=y2，所以再由y(0)=－1，得c2=1，故函數(shù)為所求特解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、討論級(jí)數(shù)，α，β為常數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)n充分大時(shí)，保持定號(hào)，所以級(jí)數(shù)從某項(xiàng)起以后為交錯(cuò)級(jí)數(shù)．當(dāng)α不是整數(shù)時(shí)，不論β取何值，總有，故級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)α是整數(shù)時(shí)，有，所以利用比較判別法的極限形式得：當(dāng)β≠0時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，又因?yàn)榉窃龅内呌诹?，故由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法知，級(jí)數(shù)收斂，且為條件收斂；當(dāng)β=0時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂，且絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)α1，α2，α3，α4，β為四維列向量組，A=(α1，α2，α3，α4)，已知方程組Ax=β的通解是（－1，1，0，2）T+k（1，－1，2，0）T．19、β能否由α1，α2，α3線性表示?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)β=k1α1+k2α2+k3α3，則Ax=β有解（k1，k2，k3，0）T與（－1，1，0，2）T，又（1，－1，2，0）T為Ax=0的基礎(chǔ)解系，因此（k1+1，k2－1，k3，－2）T=t（1，－1，2，0）T上式矛盾，所以β不能由α1，α2，α3線性表示．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求α1，α2，α3，α4，β的一個(gè)極大線性無關(guān)組．標(biāo)準(zhǔn)答案：由4－r(A)=1，知r(A)=3，即r(α1，α2，α3，α4，β)=3，所以α3與β都可由α1，α2，α4線性表示，故α1，α2，α3，α4，β的一個(gè)極大線性無關(guān)組為α1，α2，α4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－4x1x2－4x1x3+2ax2x3通過正交變換x=Qy化為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求參數(shù)a，b及所用的正交變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題主要考查特征值的性質(zhì)及二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，是一道有一定難度的綜合題．二次型的矩陣為由題設(shè)知矩陣A的特征值為λ1=3，λ2=3，λ3=b．由特征值的性質(zhì)，解得a=－2，b=－3，從而矩陣A的特征值是3，3，－3．當(dāng)λ=3時(shí)，對(duì)(3E－A)x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換，其基礎(chǔ)解系為α1=（－1，1，0）T，α2=（－1，0，1）T．當(dāng)λ=－3時(shí)，對(duì)(－3E－A)=0的系數(shù)矩陣作初等行變換，其基礎(chǔ)解系為α2=（1，1，1）T．將α1，α2，Schmidt正交化，令令Q=(γ1，γ2，γ3)，經(jīng)過正交變換x=Qy，f(x1，x2，x3)化成標(biāo)準(zhǔn)形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22－3y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立均服從正態(tài)分布N(0，σ2)，求22、的概率密度fz(z)；標(biāo)準(zhǔn)答案：先求Z的分布函數(shù)FZ(z)=P(Z≤z)=當(dāng)z＜0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0；當(dāng)z≥0時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、E(Z)和D(Z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)總體X服從[0，θ]上的均勻分布．θ未知(θ＞0)，X1，X2，X3是取自X的一個(gè)樣本，，求24、；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、等價(jià)無窮小B、同階但非等價(jià)無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋哉_答案為(B)．2、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo),且，f(0)為f(x)的極值，則()．A、當(dāng)f(0)=0時(shí)，f(0)是f(x)的極小值B、當(dāng)f(0)=0時(shí)，f(0)是f(x)的極大值C、當(dāng)f(0)＞0時(shí)，f(0)是f(x)的極大值D、當(dāng)f(0)＜0時(shí)，f(0)是f(x)的極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)連續(xù)可導(dǎo)，所以由得f(0)+f’(0)=0．當(dāng)f(0)≠0時(shí)，因?yàn)閒’(0)≠0，所以f(0)不是極值，(C)，(D)不對(duì)；當(dāng)f(0)=0時(shí)，f’(0)=0，由=f"(0)+f’(0)得f"(0)=1＞0，故f(0)為f(x)的極小值，選(A)．3、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在(0，0)處()．A、極限存在，但不連續(xù)B、連續(xù)，但不可偏導(dǎo)C、連續(xù)．可偏導(dǎo)，但不可微D、可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由0≤|f(x，y)|=|x|=0=f(0，0)，即f(x,y)在(0，0)處連續(xù)．由，得fx’(0，0)=0，同理fy’(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)．因?yàn)椴淮嬖?，所以f(x，y)在(0，0)處不可微，應(yīng)選(C)．4、下列命題正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：5、下列結(jié)論正確的是()．A、若A，B特征值相同，則A～BB、矩陣A的秩與其非零特征值個(gè)數(shù)相等C、若A，B特征值相同，則A，B等價(jià)D、A，B的特征值相同且A，B都可對(duì)角化，則A～B標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閨λE—A|=|λE一B|=λ2(λ一1)，所以A，B特征值相同，但r(A)=2≠r(B)=1，故A，B不相似，(A)不正確；對(duì)顯然λ1=λ2=0，λ3=0，而r(A)=2，所以(B)不正確；由(A)，A，B特征值相同，A，B的秩不一定相等，故(C)不正確；設(shè)A，B的特征值相同且A，B都可對(duì)角化，令其特征值為λ1，λ2，…，λn因?yàn)锳，B都可對(duì)角化，所以存在可逆陣P1，P2，使得P1-1AP1=P2-1BP2=從而有P1-1AP1=P2-1BP2，于是(P1P2-1)-1AP1P2-1=B，令P1P2-1=P，則P-1AP=B，即A～B，選(D)．6、設(shè)向量組α1,α2，α3線性無關(guān)，β1不可由α1，α2，α3線性表示，而β2可由α1，α2，α3線性表示，則下列結(jié)論正確的是()．A、α1，α2，β2線性相關(guān)B、α1，α2，β2線性無關(guān)C、α1，α2，α3，β1+β2線性相關(guān)D、α1，α2，α3，β1+β2線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?不可由α1，α2，α3線性表示，而β2可由α1，α2，α3線性表示，所以β1+β2不可由α1，α2，α3線性表示，從而α1，α2，α3，β1+β2線性無關(guān)，故選(D)．7、設(shè)P(A|B)=P(B|A)=則()．A、事件A，B獨(dú)立且P(A+B)=B、事件A，B獨(dú)立且P(A+B)=C、事件A，B不獨(dú)立且P(A+B)=D、事件A，B不獨(dú)立且P(A+B)=標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：P(A|B)=P(B|A)=得P(A)=P(B)，再由得P(A)=P(B)=，因?yàn)镻(AB)≠P(A)P(B)，所以A，B不獨(dú)立，故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=選C．8、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度f(x)為偶函數(shù)，且F(x)=∫-∞xf(t)dt，則對(duì)任意常數(shù)a＞0，P{|X|＞a}為()．A、2-2F(a)B、1一F(a)C、2F(a)D、2F(a)一1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：P{|X|＞a}=1—P{|X|≤a}=1一P{一a≤X≤a}=1-F(a)+F(-a)．而F(一a)=∫-∞af(a)dx∫+∞af(一t)(一dt)=∫a+∞f(t)dt=1-∫-∞af(t)dt=1一F(a)，所以P{|X|＞a}=2—2F(a)，選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(1)=1．則=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、差分方程的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)差分方程yx+1-ayx=kbx，當(dāng)b≠a時(shí)，通解為當(dāng)b=a時(shí)，通解為yx=kxbx-1+Cax，于是的通解為12、設(shè)u=ex+y+z，且y，z由方程∫0xdt+ln(1+y)=0及ey+z=e+lnz確定為x的函數(shù)，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x=0得y=0，z=1，將方程+ln(1+y)=0及ey+z=e+lnz對(duì)x求導(dǎo)得將x=0，y=0．z=1代入得13、設(shè)A=．且ABAT=E+2BAT，則B=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由ABAT=E+2BAT，得ABAT=(AT)-1AT+2BAT，因?yàn)锳T可逆，所以AB=(AT)-1+2B或B=(A一2E)-1(AT)-1=[AT(A一2E)]-1，解得B=14、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從(一1．1)上的均勻分布，令Z=max{X，Y}，則P{0＜Z＜1}=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄，Y都服從(一1，1)上的均勻分布，所以FZ(z)=P{Z≤z}=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)，則于是P{0＜Z＜1}=FZ(1)一FZ(0)=三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)F(X)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)三階可導(dǎo)，且=2，f(1)=1，f(2)=6．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=9．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=2，得f(0)=0，f’(0)=2．作多項(xiàng)式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，解得，C=2，D=0．令φ(x)=f(x)一則φ(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0．因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都滿足羅爾定理的條件，則存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0．又φ’(0)=0，由羅爾定理，存在η1∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1，ξ2)，使得φ”(η1)=φ“(η2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(η1，η2)(0，2)，使得φ"’(ξ)=0．而φ"’(x)=f"’(x)一9，所以f"’(ξ)=9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez確定，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由ex+ey=ez得=2x(2yf11"+xey-xf12")+(ey-z一xex+y-2z)f2’+(z+xex-z)(2yf21"+xey-zf22")=4xyf11"+(2x2ey-z+2yz+2xyex-z)f12"+(ey-z—xex+y-2z)f2’+xey-z(z+xex-z)f22"．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x和y(噸)，其收入函數(shù)為R=15x+34y—x2一2xy一4y2一36(萬)，設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品每噸需要支付排污費(fèi)用1萬，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每噸需要支付排污費(fèi)用2萬．(Ⅰ)在不限制排污費(fèi)剛的情況下，這兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤最大?求最大利潤．(Ⅱ)當(dāng)排污總費(fèi)用為6萬時(shí)，這兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各多少時(shí)總利潤最大?求最大利潤．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利潤函數(shù)為L=R—C=15x+34y一x2-2xy-4y2—36一x-2y=14x+32y-x2一2xy一4y2-36．因?yàn)橹挥形ㄒ灰粋€(gè)駐點(diǎn)，且該實(shí)際問題一定有最大值，所以當(dāng)時(shí)，利潤達(dá)到最大，最大利潤為L(4，3)=40(萬)．(Ⅱ)令F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(x+2y一6)，因?yàn)樵搶?shí)際問題一定有最大值，故當(dāng)時(shí)，總利潤最大，且最大利潤為L(2，2)=28(萬)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)偶函數(shù)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，f"(0)=4．證明：絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f’(一x)=一f’(x)，于是f’(0)=0．因?yàn)閒(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，所以f(x)=f(0)+f’(0)x++0(x2)，即f(x)-1=2x2+0(x2)，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求微分方程y"+y’一2y=xex+sin2x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+λ一2=0，特征值為λ1=一2，λ22=1，y"+y’一2y=0的通解為y=C1e-2x+C2ex．設(shè)y"+y’一2y=xex(*)y"+y’一2y=sin2x．(**)令(*)的特解為y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得．由y"+y’一2y=sin2x得y"+y’一2y=(1一cos2x)．顯然y"+y’一2y=對(duì)y"+y’一2y=，令其特解為y=Acos2x+Bsin2x，代入得則y2(x)=，所以原方程的通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)矩陣A滿足A(E—C-1B)TCT=E+A，其中B=求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A(E—C-1B)TCT=E+A得A[C(E—C-1B)]T=E+A，即E+A=A(C—B)T，E=A[(C-B)一E]T，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩為1，且(0，1，一1)T為二次型的矩陣A的特征向量．(Ⅰ)求常數(shù)a，b；(Ⅱ)求正交變換X=QY，使二次型XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=p(1-p)k-1(k=1，2，…)，Y在1～k之間等可能取值，求P{Y=3}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)k={X=k}(k=1，2，…)，B={Y=3)，P(B|A1)=P(B|A2)=0，P(B|Ak)=(k≥3)，由全概率公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨(dú)立且都服從N(0，1)，Yi=Xi一(i=1，2，…，n)．求(Ⅰ)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0}．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閄1，X2，…，Xn獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，所以Y1+Y2服從正態(tài)分布，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)x→0時(shí)，ex2一(ax2＋bx＋c)是比x2高階的無窮小，其中a，b，c為常數(shù)，則()．A、a＝c＝1，b＝0B、a＝1，b＝2，c＝0C、a＝c＝2，b＝0D、a＝b＝1，c＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用等價(jià)無窮小代換ex2－x2－1～(x2)2／2簡(jiǎn)便求之．也可使用洛比達(dá)法則或泰勒展開式求之．解一由題設(shè)有故1－a＝0，b＝0，1－c＝0，即a＝c＝1，b＝0．僅(A)入選·解二由式①及[ex2－(ax2＋bx＋c)]＝0，所以1－c＝0即c＝1．于是解三利用ex2＝1＋x2＋x4／2＋0(x4)，得到故1－a＝0，b＝0，1－c＝0，即a＝1，c＝1，b＝0．僅(A)入選．2、設(shè)f(x)＝則()．A、f(x)在點(diǎn)x＝1處連續(xù)，在點(diǎn)x＝－1處間斷B、f(x)點(diǎn)x＝1處間斷，在點(diǎn)x＝－1處連續(xù)C、f(x)在點(diǎn)x＝1，x＝－1處連續(xù)D、f(x)在點(diǎn)x＝1，x＝一1處都間斷標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：依間斷點(diǎn)定義和連續(xù)點(diǎn)定義判別．故f(x)在點(diǎn)x＝1處間斷．而故f(x)在點(diǎn)x＝一1處連續(xù)．僅(B)入選．3、設(shè)f(x)＝則f(x)在點(diǎn)x＝0處()．A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)，但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限、連續(xù)及可導(dǎo)性問題，從分段點(diǎn)左、右兩側(cè)分別考慮．即：先求左、右極限，若二者存在且相等，則在該分段點(diǎn)極限存在；先求左、右極限，若二者存在且相等，：并等于分段點(diǎn)的函數(shù)值，則在該點(diǎn)處連續(xù)；先求左、右導(dǎo)數(shù)，若二者存在且相等，則在該分段點(diǎn)可導(dǎo)，否則函數(shù)在該點(diǎn)處不可導(dǎo)．故f(x)＝f(0)＝0．因而f(x)在點(diǎn)x＝0處連續(xù)．因不存在，故f(x)在點(diǎn)x＝0處不可導(dǎo)．僅(C)入選．注意有同學(xué)錯(cuò)選上例答案為(A)，原因是sin在x＝0處沒有定義．這種看法錯(cuò)在哪里?自行回答．4、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)＝xyf(x，y)dxdy＋15x2y2，則f(x，y)＝()．A、xy＋15x2y2B、7xy＋15C、15x2y2D、xy＋15x2y2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：顯然被積函數(shù)待求，但由于積分區(qū)域確定，所給等式中出現(xiàn)的積分，其值為一常數(shù)．設(shè)A＝f(x，y)dxdy，在所給等式兩端在區(qū)域｜x｜＋｜y｜≤1上二重積分即可求得結(jié)果．因積分區(qū)域｜x｜＋｜y｜≤1關(guān)于x與y軸均對(duì)稱，故因而有xy＋15x2y2)dxdy，比較兩端被積函數(shù)，得到f(x，y)＝xy＋15x2y2．僅(A)入選．5、設(shè)A＝，對(duì)A以列和行分塊，分別記為A＝[α1，α2，α3，α4]＝[β1，β2，β3]T，其中≠0①，＝0②，有下述結(jié)論：(1)r(A)＝2；(2)α2，α4線性無關(guān)．(3)β1，β2，β3線性相關(guān)；(4)α1，α2，α3線性相關(guān)．上述結(jié)論正確的是()．A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(1)，(4)D、(2)，(4)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義及其性質(zhì)判別之．由式①知，向量[a12，a32]T與[a14，a34]T線性無關(guān)，由其性質(zhì)知在其相同位置上增加相同分量所得的向量組仍線性無關(guān)，因而α2＝[a12，a22，a32]T，α4＝[a14，a24，a34]T線性無關(guān)．(2)正確．又由式②知，α1，α2，α3線性相關(guān)，(4)正確．但β1，β2，β3不能保證再線性相關(guān)，故(3)不正確．由式①不能得到r(A)＝2，只能得到r(A)≥2，但由②不能得到r(A)＜3，故(1)是錯(cuò)誤的．綜上所述，僅(D)入選．6、已知A為三階矩陣，α1＝[1，2，3]T，α2＝[0，2，1]T，α3＝[0，t，1]T為非齊次線性方程組AX＝[0，0，1]T的三個(gè)解向量，則()．A、當(dāng)t＝2時(shí)，r(A)＝1B、當(dāng)t＝2時(shí)，r(A)＝2C、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)＝1D、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)＝2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：將向量關(guān)系式Aαi＝[0，0，1]T(i＝1，2，3)合并成矩陣等式AB＝C．如能求出t使B為滿秩矩陣，則r(AB)＝r(A)＝r(C)，而r(C)可觀察求出．先將一組向量關(guān)系式Aαi＝[0，0，1]T(i＝1，2，3)合并成一個(gè)矩陣等式AB＝C(矩陣關(guān)系式)，即A[α1，α2，α3]＝AB＝A＝C，其中B＝[α1，α2，α3]，C＝[β，β，β]，β＝[0，0，1]T．當(dāng)t＝2時(shí)，B中的第2，3列成比例，故｜B｜＝0，r(B)＝2．當(dāng)t≠2時(shí)，r(B)＝3，即可逆，故r(AB)＝r(A)＝r(C)＝1．僅(C)入選．7、連續(xù)拋擲一枚硬幣，第k(k≤n)次正面向上在第n次拋擲時(shí)出現(xiàn)的概率為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)事件A＝｛n次拋擲中有k次正面向上｝，A1＝｛第k次正面向上｝，A2＝｛前n一1次拋擲中有k一1次正面向上｝，則事件A發(fā)生等價(jià)于A1，A2同時(shí)發(fā)生，故A＝A1A2．又A1，A2相互獨(dú)立，故P(A)＝P(A1)P(A2)．總共拋擲n次，其中有k次出現(xiàn)正面向上．設(shè)此事件為A，設(shè)在第n次拋擲時(shí)第k次正面出現(xiàn)的事件為A1，前n一1次拋擲中有k一1次正面向上的事件為A2．則復(fù)合事件A等價(jià)于A1與A2的乘積．又因A1，A2獨(dú)立，故P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)，即P(A)＝P(A1)P(A2)＝故所求概率為P(A)＝．僅(D)入選．8、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為又已知p(X＝1)＝1／4，則()．A、a＝5／16，b＝7／16B、a＝7／16，b＝9／16C、a＝1／2，b＝1／2D、a＝3／8，b＝3／8標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用分布函數(shù)的定義及右連續(xù)性求之．由分布函數(shù)F(x)為右連續(xù)函數(shù)，得到F(－1＋0)＝F(－1)，即(ax＋b)＝－a＋b＝1／8①又F(1)＝P(X≤1)＝P(X＜1)＋P(X＝1)，而F(1)＝1，P(X＜1)＝F(1一0)＝(ax＋b)＝a＋b，P(X＝1)＝1／4，故a＋b＋1／4＝1②解①與②得到a＝5／16，b＝7／16．僅(A)入選．注意上例由于P(X＝1)＝1／4≠0(隨機(jī)變量X取值X＝1的概率不為零)，則該隨機(jī)變量就不是連續(xù)型的隨機(jī)變量．因而不能認(rèn)為對(duì)任何實(shí)數(shù)x，F(xiàn)(x)都連續(xù)．因而若認(rèn)為F(1)＝F(1—0)或F(一1)＝F(一1—0)＝1／8均是錯(cuò)誤的．選項(xiàng)(B)、(C)、(D)均是由上述錯(cuò)誤導(dǎo)致的結(jié)果．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、＝__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：極限式中含冪指函數(shù)，首先用換底法將其化為以e為底的指數(shù)函數(shù)．原式＝10、已知f(x)是微分方程xf′(x)－f(x)＝滿足初始條件f(1)＝0的特解，則f(x)dx＝__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：按一般的思路先求出f(x)后再積分，但由于求f(x)工作量較大，可充分利用所給的有關(guān)信息，不用求f(x)而直接求出f(x)dx．先用分部積分法得到11、dx＝___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用＋C求之較簡(jiǎn)．12、級(jí)數(shù)x2n－1的收斂域?yàn)開_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一2，2]知識(shí)點(diǎn)解析：所給級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，用比值判別法求其收斂半徑，再討論在其端點(diǎn)的斂散性．由比值判別法知，當(dāng)｜x｜＜2時(shí)，所給級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)x＝2或x＝一2時(shí)，原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茲判別法知，這兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂．故原級(jí)數(shù)在區(qū)間[一2，2]上收斂，在(－∞，一2)、(2，＋∞)內(nèi)發(fā)散．13、設(shè)，B是三階非零矩陣，且BAT＝0則秩r(B)＝_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：先確定A的秩，再求B的秩．由BAT＝0，有r(B)＋r(AT)≤3，即r(B)＋r(A)≤3．又因B≠0，有r(B)≥1，因而r(A)≤3一r(B)≤3—1＝2．顯然，矩陣A中有二階子式不為0，有r(A)≥2．所以必然是r(A)＝2，從而r(B)≤3一r(A)＝3—2＝1，故r(B)＝1．14、設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y具有同一分布律，且X的分布律為，則隨機(jī)變量Z＝min｛X，Y｝的分布律為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先求出(X，Y)的聯(lián)合分布律，再用同一表格法求出Z＝min｛X，y｝的分布律．由題設(shè)易求得P(X＝0，Y＝0)＝P11＝P(X＝0)P(Y＝0)＝(1／2).(1／2)＝1／4，P(X＝0，Y＝1)＝P12＝P(X＝0)P(Y＝1)＝(1／2).(1／2)＝1／4，P(X＝1，Y＝0)＝P21＝P(X＝1)P(Y＝0)＝(1／2).(1／2)＝1／4，P(X＝1，Y＝1)＝P22＝P(X＝1)P(Y＝1)＝(1／2).(1／2)＝1／4，故得到聯(lián)合分布率為將其改寫為同一表格形式為故得到Z＝min｛X，Y｝的分布律為三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、某三輪車廠每生產(chǎn)一付車架要搭配三付輪胎，設(shè)輪胎的數(shù)量為x，價(jià)格為p1，車架的數(shù)量為y，價(jià)格為P2，又設(shè)需求函數(shù)x＝63—0．25p1與y＝60－p2，成本函數(shù)為C(x，y)＝x2＋xy＋y2＋90．求該廠獲最大利潤時(shí)的產(chǎn)量與價(jià)格．標(biāo)準(zhǔn)答案：由需求函數(shù)，可得P1＝252一4x，P2＝180—3y．則利潤函數(shù)為π＝xp1＋yp2－C(x，y)＝x(252—4x)＋y(180－3y)－x2－xy－y2－90＝252x－5x2＋180y－4y2－xy－90．約束條件是x＝3y，所以拉格朗日函數(shù)是L＝252x－5x2＋180y－4y2－xy－90＋λ(x－3y)．為求極大值，先求偏導(dǎo)數(shù)：消去λ，則有936－31x－11y＝0，再代入x＝3y，消去X，得936－104y＝0．從而y＝9，x＝3y＝27，這就是獲最大利潤時(shí)的產(chǎn)量．其相應(yīng)價(jià)格為p1＝252－4×27＝144，P2＝180－3×9＝153．知識(shí)點(diǎn)解析：使用拉格朗日乘致法求之．16、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：令知識(shí)點(diǎn)解析：先作倒代換x＝1／t．利用此法可降低被積函數(shù)分母的變量因子xn的次數(shù)，甚至可消去這個(gè)變量因子．當(dāng)被積函數(shù)為分式，其分母關(guān)于z的最高次數(shù)比分子的最高次數(shù)至少高一次時(shí)，就可試用倒代換求其積分．17、設(shè)arctan標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x，y)＝arctan＝0，知識(shí)點(diǎn)解析：題設(shè)中有隱函數(shù)的等式．應(yīng)設(shè)出等于0的確定隱函數(shù)的方程F(x，y)arctan＝0．再應(yīng)用公式求偏導(dǎo)．18、求積分I＝｜dxdy，D：｜x｜≤1，0≤y≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因｜y－x2｜＝D1：一1≤x≤1，0≤y≤x2，D2：一1≤x≤1，x2≤y≤2，則在上式前一積分中令x＝sint(0≤t≤π／4)，則知識(shí)點(diǎn)解析：被積函數(shù)含絕對(duì)值．為去掉絕對(duì)值符號(hào)用｜y－x2｜＝0，即用曲線y＝x2將D分為上、下兩部分，分別記為D1與D2．這時(shí)所求積分也分區(qū)域計(jì)算．19、已知某種商品的需求價(jià)格彈性為η＝ep一1，其中p為價(jià)格，Q為需求量，且當(dāng)p＝1時(shí)需求量Q＝1．試求需求函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)需求函數(shù)關(guān)系式為Q＝Q(p)，則由題設(shè)和η的表示式有ep一1，即Q′(p)＋Q(p)＝ep，則此微分方程的通解為Q(p)＝(p一1)ep＋C]．將Q(1)＝1代入，得C＝1．故所求需求函數(shù)為Q(p)＝知識(shí)點(diǎn)解析：利用需求價(jià)格彈性公式可得一微分方程．解此微分方程，利用初始條件即可求得此需求函數(shù)Q＝Q(p)．20、已知二維非零向量X不是二階方陣A的特征向量．(1)證明X，AX線性無關(guān)；(2)若A2X＋AX－6X＝0，求A的特征值，并討論A可否對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)用反證法證之．若X與AX線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k1，k2使k1X＋k2AX＝0．為方便計(jì)，設(shè)k2≠0，則AX＝X，于是X為A的特征向量，與題設(shè)矛盾．(2)由題設(shè)有A2X＋AX一6X＝(A＋3E)(A一2E)X＝0．①下證A一2E，A＋3E必不可逆，即｜A一2E｜＝｜A＋3E｜＝0．事實(shí)上，如A＋3E可逆，則由方程①得到(A一2E)X＝AX一2X＝0，即AX＝2X．這說明X為A的特征向量，故｜A＋3E｜＝0．②同法可證A－2E也不可逆，即｜A一2E｜＝0．③由式②、式③即知，2與一3為A的特征值，所以A能與對(duì)角陣相似．知識(shí)點(diǎn)解析：A為抽象矩陣，則AX，X均為抽象的向量組．討論其特征值、特征向量的有關(guān)問題常用有關(guān)定義及其性質(zhì)證明．也常用反證法證之．21、設(shè)α1，α2，α3，α4為四維列向量組，且α1，α2，α3線性無關(guān)，α4＝α1＋α2＋2α3．已知方程組[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]X＝α4有無窮多解．(1)求a的值；(2)用基礎(chǔ)解系表示該方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)，得矩陣[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]＝[α1，α2，α3]的秩小于3，又α1，α2，α3線性無關(guān)，故矩陣不可逆，由＝2－a＝0，得a＝2．方程組[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]X＝α4化為[α1，α2，α3]X[α1，α2，α3]，因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以原方程組與方程組同解．下面求方程組的通解．為此先求出其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及原方程組的一特解．將增廣矩陣用初等行變換化為系數(shù)矩陣含最高階單位矩陣的矩陣：用基礎(chǔ)解系、特解的簡(jiǎn)便求法得到其基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量a＝[1，一1，1]T，特解為η＝[1，2，0]T，故所求的通解為kα＋η＝k[1，一1，1]T＋[1，2，0]T，k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：所給方程組由于有無窮多解，則r(A)＝r(α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3)＜3．由[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]＝[α1，α2，α3]知，必有＝0從而可求出a．為求其基礎(chǔ)解系，需將原方程組恒等變形去掉滿秩矩陣，得其同解方程組而求之．22、向平面區(qū)域D：x≥0，0≤y≤4一x2內(nèi)等可能地隨機(jī)地投擲一點(diǎn)．求(1)該點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的概率密度；(2)過該點(diǎn)所作y軸的平行線與x軸、y軸及曲線y＝4一x2所圍成的曲邊梯形面積的數(shù)學(xué)期望與方差．標(biāo)準(zhǔn)答案：平面曲域D如上圖所示，其面積為于是二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度為(1)隨機(jī)點(diǎn)(X，Y)到y(tǒng)軸的距離即為隨機(jī)變量X，其概率密度即為關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)：x取其他值時(shí)，fX(x)＝0．(2)曲邊梯形面積為圖中陰影區(qū)域的面積，它為下求面積即φ(X)的期望與方差：知識(shí)點(diǎn)解析：在平面區(qū)域內(nèi)投擲一點(diǎn)其坐標(biāo)視為二維隨機(jī)變量(X，Y)．又已知等可能地隨機(jī)投擲，這就告訴我們(X，Y)在此區(qū)域內(nèi)服從均勻分布．因曲邊梯形面積可用X表示，應(yīng)視為隨機(jī)變量X的函數(shù)φ(X)．需求E[φ(X)]與D[φ(X)]．23、已知產(chǎn)品某項(xiàng)指標(biāo)X服從拉普拉斯分布，其密度為f(x)＝e－｜x－μ｜，一∞＜x＜＋∞，其中μ為未知參數(shù)．現(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3個(gè)，測(cè)得其該項(xiàng)指標(biāo)值為1028，968，1007．(1)試用矩估計(jì)法求μ的估計(jì)；(2)試用最大似然估計(jì)法求μ的估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因E(X)＝μ，故，即＝(1028＋968＋1007)／3＝3003／3＝1001．(2)似然函數(shù)為lnL＝－3ln2一｜xi－μ｜．要使lnL最大，只需｜xi－μ｜最小．記l＝｜xi－μ｜＝｜1028－μ｜＋｜968－μ｜＋｜1007－μ｜．當(dāng)μ≤968時(shí)，l＝(1028－μ)＋(968－μ)＋(1007－μ)＝3(1001－μ)≥3(1001—968)＝99；當(dāng)μ≥1028時(shí)，l＝(μ一1028)＋(μ一968)＋(μ一1007)＝3(μ－1001)≥3(1028－1001)＝81；當(dāng)968＜μ＜1028時(shí)，l＝(1028一μ)＋(μ一968)＋｜1007一μ｜＝60＋｜1007一μ｜．故當(dāng)＝1007時(shí)，l最小，取值60．最大似然估計(jì)值五＝1007．知識(shí)點(diǎn)解析：待估參數(shù)只有一個(gè)，可用一階矩進(jìn)行估計(jì)．考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A為三階矩陣，a1=，a2=，a3=為非齊次線性方程組AX=的解，則A、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)=1B、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)=2C、當(dāng)t=2時(shí)，r(A)=1D、當(dāng)t=2時(shí)，r(A)=2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：方法一當(dāng)t≠2時(shí)，a1－a2=，a1－a3=為AX=0的兩個(gè)線性無關(guān)解從而3－r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠O得r(A)≥1，即r(A)=1，應(yīng)選（A).方法二：令B=，由已知條件的AB=，r(AB)=1，當(dāng)t≠2時(shí)，B為可逆矩陣，從而r(AB)=r(A)=1，應(yīng)選(A).2、設(shè)a，β為四維非零的正交向量，且A=aβT，則A的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為()．A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)X=λX，則A2X=λ2X，因?yàn)閍，β正交，所以aTβ=βTa=0，A2=αβT.αβT=O，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3=λ4=0，因?yàn)閍，β為非零向量，所以A為非零矩陣，故r(A)≥1；又r(A)=r(aβT)≤r(a)=1，所以r(A)=1．因?yàn)?一r(OE－A)=4一r(A)=3，所以A的線性無關(guān)的特征向量是3個(gè)，選(C)．3、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F2(y)是服從參數(shù)為().A、0.36B、0.44C、0.64D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)X1～E(1)，其密度函數(shù)為其分布函數(shù)為F1(x)=且E(X1)=D(X1)=1，則.由E(X)==0．2E(X1)+0．4=0．6，得D(X)=E(X2)一[E(X)]2=0．8－0．36=0．44，選(B).4、設(shè)隨機(jī)變量X～F(m，m)，令a=P{X>1}β=P{X≤1}，則()A、a＞βB、a＜βC、a=βD、a，β的大小與自由度n有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令Y=，因?yàn)閄～F(m，m)，所以Y～F(m，m)．因?yàn)閍=P{X>1)=P{＜1)=P{≤1)=P{Y≤1}=P{X≤1)=β所以a=β，選(C).5、設(shè)f(x)=，x≠0，若f(x)在x=0處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，則k為()．A、3B、4C、5D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=0處可導(dǎo)，所以k一2=3，即k=5，選(C)．6、曲線y=的漸近線條數(shù)為()．A、3條B、2條C、1條D、0條標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：=∞，所以曲線y=等無水平漸近線；因?yàn)?∞，所以x=0為曲線y=的鉛直漸近線，又因?yàn)?∞，所以x=1為曲線y=的鉛直漸近線；因?yàn)?，所以曲線的斜漸近線為y=x+2，故曲線有3條漸近線，選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、sin(xt)2dt=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：sin(xt)2d(xt)8、arcsindx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：sin2udu=9、_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閘n(x+)為奇函數(shù)，所以10、一一3y=e-x的通解為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e－x+C2e3x一知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2－2λ=0，特征值為λ1=一1，λ2=3，則方程～2y’一3y=0的通解為y=C1e－x+C2e3x．令原方程的特解為y0(x)=Axe－x，代入原方程得A=一，于是原方程的通解為y=C1e－x+C2e3x－．11、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，a1=(m，－m，1)T是方程組Ax=0的解，a2=(m，1，l－m)T是方程組(A+E)X=0的解，則m=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由AX=0有非零解得，r(A)<3，從而λ=0為A的特征值，a1=(m，一m，1)T為其對(duì)應(yīng)的特征向量；由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)<3，｜A+E｜=0，λ=一1為A的另一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為a2=(m，1，－m)T，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，于是有m=1．12、設(shè)總體x～N(0，σ2)，X1，X2，X3，X4為總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，，S2=～_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：t(3)知識(shí)點(diǎn)解析：由得．由與S2獨(dú)立得．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)13、設(shè)偶函數(shù)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，(0)=4．證明：絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f’(－x)=－f’(x)，于是f’(0)=0.因?yàn)閒(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，所以f(x)=f(0)+f’(0)x+x2+o(x2)，即f(x)－1=2x2+o(x2)，于是f()－1=．因?yàn)椋黤()一1｜=｜｜～且收斂，所以收斂，即絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、求微分方程÷y’－2y=xe+sin2x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+λ－2=0特征值為λ1=－2，λ2=1，+y’－2y=0的通解為y=C1e－2x+C2+C2ex設(shè)+y’－2y=xex(*)+y’－2y=sin2x(**)令(*)的特解為y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得a=，b=一．由+y’－2y=sin2x得+y’－2y=(1一cos2x)，顯然+y’一2y=有特解y=一．對(duì)+y’－2y=一cos2x，令其特解為y=Acos2x+Bsin2x，代入得A=，B=一，則y2(x)=一+cos2x一sin2x，所以原方程的通解為y=C1e－2x+C2ex+()ex一+cos2x－sin2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)A=，B為三階非零矩陣，為BX=0的解向量，且AX=a3有解(Ⅰ)求常數(shù)a，b.(Ⅱ)求BX=0的通解.標(biāo)準(zhǔn)答案：由B為三階非零矩陣得r(B)≥1，從而BX=0的基礎(chǔ)解系最多有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，于是，解得a=3b．由AX=a3有解得r(A)=r(Aa3)由(Aa3)=得，解得b=5，從而a=15．由a1，a2為BX=0的兩個(gè)線性無關(guān)解得3一r(B)≥2，從而r(B)≤1，再由r(B)≥1得r(B)=1，a1，a3為BX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故BX=0的通解為X=k1=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=+2x1x3+2bx2x3的秩為1．且(0，1．－1)T為二次型的矩陣A的特征向量．(I)求常數(shù)a．b；(Ⅱ)求正交變換X=QY，使二次型XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)A=由r(A)=1得a=b．(Ⅱ)A=的特征值為0，0，3．λ=0對(duì)應(yīng)的特征向量為；λ=3對(duì)應(yīng)的特征向量為，令Q=及X=QY，則有f=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=p(1一p)k－1(k=1，2，…)，y在1～k之間等可能取值，求P{Y=3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)k={X=k}(k=1，2，…)，B={Y=3}，P(B｜A1)=P(B｜A2)=0，P(B｜AK)=(K≥3)，由全概率公式得P{Y=3}=P(B)=P(Ak)P(B｜Ak)=．令S(x)=，于是P{Y=3}＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)X1，X2，…，Xn(n>2)相互獨(dú)立且都服從N(0，1)，Yi=Xi一(i=1，2，…，n)．求(I)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)D(Yi)=Cov(Yi，Yi)=D(Xi)+D=1+(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)=Cov(Ⅲ)Y1+Yn=X1+Xn一，因?yàn)閄1,X2，…，Xn獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，所以Y1+Yn服從正態(tài)分布，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)三階可導(dǎo)，且=2，f(1)=1，f(2)=6．證明：存在ξ∈(0，2)，使得(ξ)=9．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=2，得f(0)=0，f(0)=2．作多項(xiàng)式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，解得A=，B=一，C=2，D=0．令φ(x)=f(x)－()則φ(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0．因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都滿足羅爾定理的條件，則存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得(ξ1)=(ξ2)=0．又(0)=0，由羅爾定理，存在η1∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1，ξ2)，使得(η1)=(η2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(η1，η2)(0，2)，使得(ξ)=0．而(x)=(x)=9，所以(ξ)=9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez確定，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由ex+e2=ez得=ex－z，=y－z，=－ex+y－2z.再由u=f(x2+y2，xz)得=2xf’1+(z+)f’2，=2x=2x()+(ey－z一xex+y－2z)f’2+(z+xex－z)()=4xy+(2x2ey－z+2yz+2xyex－z)+(ey－z一xex+y－2z)f’2+xey－z(z+xex－z)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，沒甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x和y(噸)，其收入函數(shù)為R=15x+34y一x2一2xy一4y2一36(萬)，設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品每噸需要支付排污費(fèi)用1萬，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每噸需要支付排污費(fèi)用2萬．(I)在不限制排污費(fèi)用的情況下，這兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤最大?求最大利潤．(Ⅱ)當(dāng)排污總費(fèi)用為6萬時(shí)，這兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各多少時(shí)總利潤最大?求最大利潤．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)利潤函數(shù)為L=R—C=15x+34y—x2一2xy一4y2一36一x一2y=14x+32y—x2一2xy一4y2一36．rL：一14—2z一2y一0，fz一4，令解得因?yàn)橹挥形ㄒ灰粋€(gè)駐點(diǎn)，且該實(shí)際問題一定有最大值，所以當(dāng)時(shí)，利潤達(dá)到最大，最大利潤為L(4，3)=40(萬)．(Ⅱ)令F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(x+2y一6)，因?yàn)樵搶?shí)際問題一定有最大值，故當(dāng)時(shí)，總利潤最大，且最大利潤為L(2，2)=28(萬)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且0≤f(x)≤1，又設(shè)an=()A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對(duì)收斂．D、斂散性與具體的f(x)有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于0≤f(x)≤1且f(x)連續(xù)，有2、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則｜f(x)｜在x=a處不可導(dǎo)的充要條件是()A、f(a)=0，f’(a)=0．B、f(a)=0，f’(a)≠0．C、f(a)≠0，f’(a)=0．D、f(a)≠0，f’(a)≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若f(a)≠0，則存在x=a的某鄰域U，在該鄰域內(nèi)f(x)與f(a)同號(hào)，于是推知，若f(a)＞0，則｜f(x)｜=f(x)(當(dāng)x∈U)；若f(a)＜0，則｜f(x)｜=一f(x)．總之，若f(a)≠0，｜f(x)｜在x=a處總可導(dǎo)．若f(a)=0，則其中x→a+時(shí)，取“+”，x→a—時(shí)，取“一”，所以當(dāng)f(a)=0時(shí)，｜f(x)｜在x=a處可導(dǎo)的充要條件是｜f’(a)｜=0，即f’(a)=0．所以當(dāng)且僅當(dāng)f(a)=0，f’(a)≠0時(shí)，｜f(x)｜在x=a處不可導(dǎo)，故應(yīng)選(B)．3、考慮一元函數(shù)f(x)的下列4條性質(zhì)：①f(x)在[a，b]上連續(xù)；②f(x)在[a，b]上可積；③f(x)在[a，b]上可導(dǎo)；④f(x)在[a，b]上存在原函數(shù)．以P→Q表示由性質(zhì)P可推出性質(zhì)Q，則有()A、①→②→③．B、③→①→④．C、①→②→④．D、④→③→①．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，故(B)正確．(A)不正確．雖然由①(連續(xù))可推出②(可積)，但由②(可積)推不出③(可導(dǎo))．例如f(x)=｜x｜在[一1，1]上可積，∫—11｜x｜dx=2∫01xdx=1．但f(x)=｜x｜在x=0處不可導(dǎo)．(C)不正確．由②(可積)推不出④(存在原函數(shù))，例如在[—1，1]上可積，則∫—11f(x)dx=∫—11(—1)dx+∫011dx=—1+1=0，但f(x)在[—1，1]上不存在原函數(shù)．因?yàn)槿绻嬖谠瘮?shù)F(x)，那么只能是F(x)=｜x｜+C的形式，而此函數(shù)在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，在區(qū)間[一1，1]上它沒有做原函數(shù)的“資格”．(D)不正確．因?yàn)橛散?存在原函數(shù))推不出①(函數(shù)連續(xù))．例如：但f(x)并不連續(xù)．即存在原函數(shù)的函數(shù)f(x)可以不連續(xù)．4、設(shè)在x＞0處f(x)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增，并設(shè)F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt，則F(x)在x＞0時(shí)()A、沒有駐點(diǎn)．B、有唯一駐點(diǎn)且為極大值點(diǎn)．C、有唯一駐點(diǎn)且為極小值點(diǎn)．D、有唯一駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt=2∫0xtf(t)dt—x∫0xf(t)dt，F(xiàn)’(x)=2xf(x)一xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一xf(ξ)=x[f(x)一f(ξ)]，0＜ξ＜x．由于f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，可知f(x)＞f(ξ)，所以F’(x)＞0，故F(x)在x＞0時(shí)無駐點(diǎn)，故應(yīng)選(A)．5、設(shè)A，B是3階矩陣，A是非零矩陣，滿足AB=O，且B=，則()A、a=一1時(shí)，必有r(A)=1．B、a=2時(shí)，必有r(A)=2．C、a=一1時(shí)，必有r(A)=2．D、a=2時(shí)，必有r(A)=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由AB=0，知r(A)+r(B)≤3．又r(A)>0，且所以當(dāng)a=一1時(shí)，r(B)=1，r(A)=1或r(A)=2．故選項(xiàng)(A)、(C)不成立．當(dāng)a=2時(shí)，r(B)=2，必有r(A)=1．選項(xiàng)(D)成立，選項(xiàng)(B)不成立．故應(yīng)選(D)．6、設(shè)A=，則B相似于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件知矩陣AB是由矩陣A經(jīng)初等行變換得到的．具體的是，將A的第1行乘一1，第2行乘2后再將第2、3行互換得AB，即7、已知隨機(jī)變量X與Y都服從正態(tài)分布N(μ，σ)，如果P{max{X，Y)＞μ}=a(0＜a＜1)，則P{min(X，Y)≤μ}=()A、．B、1一．C、a．D、1一a．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：P{max{X，Y}＞μ}=P{{X＞μ}∪{Y＞μ}}=p{X＞μ}+P{Y＞μ}一P{X＞μ，Y＞μ}=一P{min{X，Y}＞μ}=1—P{min{X，Y}＞μ}=P{min{X，Y}≤μ}，選擇(C)．8、設(shè)隨機(jī)變量X1、X2、X3相互獨(dú)立，且X1、X2均服從N(0，1)，P{X3=一1)=P{X3=1)=，則Y=X1+X2X3的概率密度fY(y)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄1，X2均服從N(0，1)，且相互獨(dú)立，則X1一X2，X1+X2均服從N(O，2)，故FY(y)=P{X3=一1}P{X1+X2X3≤y｜X3=一1}+P{X3=1}P{X1+X2X3≤y｜X3=1}=P{X3=一1}P{X1一X2≤y}+P{X3=1}P{X1+X2≤y}二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=Q(p)，它對(duì)價(jià)格的彈性為ε，0＜ε＜1．已知產(chǎn)品收益R對(duì)價(jià)格的邊際為s元，則產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)(xy≠0)滿足f(xy，)=y2(x2一1)，則dz=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(2x—y)dx—xdy知識(shí)點(diǎn)解析：即f(x，y)=x2一xy．所以dz=(2x—y)dx—xdy．11、設(shè)f(x)=arctan2x，則f(0)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一(2014!)22015知識(shí)點(diǎn)解析：由冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性知，f(k)(0)=k!ak，k=0，1，2，…．當(dāng)k=2015時(shí)，2015=2×1007+1，故n=1007，f(2015)(0)=(2015!)a2015=(2015!)=一(2014!)22015．12、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e知識(shí)點(diǎn)解析：故應(yīng)填e．13、設(shè)A相似于B，B=，則r[(2E一A)*]=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：A～B，則2E—A～2E—B，r(2E—B)一2→r(2E—A)一2→r(2E—A)*]=1．14、設(shè)X～f(x)=X1，X2’…，X50取自X的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由中心極限定理得表示)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、(Ⅰ)設(shè)0＜x＜+∞，證明存在η，0＜η＜1，使；(Ⅱ)求η關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的具體表達(dá)式η=η(x)，并求出當(dāng)0＜x＜+∞時(shí)函數(shù)η(x)的值域．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)取f(x)=，由拉格朗日中值定理有f(x+1)一f(x)=f’(ξ)(x+1一x)，即其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)D={(x，y)｜0≤x≤sin(…{x2，y2})dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：D是一塊矩形域，如圖所示，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(1，2)處存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且f(1，2)=2，f’1(1，2)=3，f’2(1，2)=4，φ(x)=f(x，f(x，2x))．求．標(biāo)準(zhǔn)答案：=3φ2(x)φ’(x)，φ(1)=f[1，f(1，2)]=f(1，2)=2，φ(x)=f’1[x，f(x，2x)]+f’2[x，f(x，2x)]=f’[x，f(x，2x)]+f’2[x，f(x，2x)][f’1(x，2x)+2f’2(x，2x)]，φ(1)=f’1[1，f(1，2)]+f’2[1，f(1，2)—[f’1(1，2)+2f’2(1，2)]=f’1(1，2)+f’2(1，2)[f’1(1，2)+2f’2(1，2)]=3+4×(3+8)=47，=3φ2(1)φ’(1)=3×22×47=564．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求由方程2x2+2y2+z2+8xz一z+8=0所確定的函數(shù)z(x，y)的極值，并指出是極大值還是極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y)=2x2+2y2+z2+8xz一z+8，且解得y=0，4x+8z=0，再與2x2+2y2+z2+8xz一z+8=0聯(lián)立解得兩組解：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)微分方程及初始條件為(Ⅰ)求滿足上述微分方程及初始條件的特解；(Ⅱ)是否存在那種常數(shù)y1，使對(duì)應(yīng)解y=y(x)存在斜漸近線，請(qǐng)求出此y1及相應(yīng)的斜漸近線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)改寫所給方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)非齊次線性方程組Ax=(α1，α2，α3，α4)x=α5有通解k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T．(Ⅰ)求方程組(α1，α2，α3)x=α5的通解；(Ⅱ)求方程組(α1，α2，α3，α4，α4+α5)x=α1的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題設(shè)，非齊次線性方程組(α1，α2，α3，α4)x=α5有通解k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T，則r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，α5)=3．且由對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解知，一α1+2α2+3α4=0，即α1=2α2+3α4，故α2，α3，α4線性無關(guān)(若線性相關(guān)，則r(α1，α2，α3，α4)＜3，這和題設(shè)矛盾)．α2，α3，α4是α1，α2，α3，α4及α1，α2，α3，α4，α5的極大線性無關(guān)組，α1，α5均可由α2，α3，α4線性表示，從而r(α2，α3，α4)=r(α2，α3，α4，α5)=3，方程組(α2，α3，α4)x=α5(*)有唯一解．由題設(shè)條件，α5可由α1，α2，α3，α4線性表示，且表示法不唯一，k可任取，取k=2，使α5由α1，α2，α3，α4線性表示時(shí)，不出現(xiàn)α5，則得α5=α2+α3+11α4，故方程組(*)的通解(唯一解)為x=(1，1，11)T．(Ⅱ)非齊次線性方程組(α1，α2，α3，α4，α4+α5)x=α5，(**)顯然有r(α1，α2，α3，α4，α4+α5)=r(α1，α2，α3，α4，α4+α5，α5)=3，故方程組(**)的通解的結(jié)構(gòu)為k1ξ1+k2ξ2+η．其中k1，k2是任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A是n階矩陣，A的第i行第j列元素aij=i．j(i，j=1，2，…，n)．B是n階矩陣，B的第i行第j列元素bij=i2(i=1，2，…，n)．證明：A相似于B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知B各行元素成比例r(B)=1，μ=0是B的n一1重特征值，B的非零特征值為μn=B對(duì)應(yīng)于μ=0有n一1個(gè)線性無關(guān)特征向量，故知存在可逆矩陣P，使得故B～A．由相似關(guān)系的傳遞性，得證A～A～B，A～B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)在某段時(shí)間內(nèi)來到證券交易所的人數(shù)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，每個(gè)來交易所的人購買A股的概率為p．假設(shè)股民之間是否購買A股相互獨(dú)立，試求在該段時(shí)間內(nèi)交易所X人中共有Y人購買A股的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：Y=r表示“有r個(gè)人買A股”，X=i表示“有i個(gè)人來到交易所”，i=r，r+1，…，P{X=i)=，P{Y=r｜X=i)=Cipr(1一p)i-r，i=r，r+1，…，于是，由全概率公式有從此可看出X人中購買A股的人數(shù)Y服從參數(shù)為λp的泊松分布，所以EY=λp．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)隨機(jī)變量X在(0，1)上服從均勻分布，令隨機(jī)變量Y=(Ⅰ)求y的分布函數(shù)FY(y)；(Ⅱ)求y的數(shù)學(xué)期望EY．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先畫出Y=的圖像．由分布函數(shù)定義FY(y)=P{Y≤y}，當(dāng)Y＜0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；當(dāng)Y≥1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，則隨機(jī)變量｜X｜的概率密度為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：先求Y=｜X｜的分布函數(shù)再求概率密度，用分布函數(shù)法．Y=｜X｜≥0，當(dāng)Y＜0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{}=0；當(dāng)Y≥0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{｜X｜≤y}=P{—y≤X≤y}=∫—yyf(x)dx=∫—y0f(x)dx+∫0yf(x)dx=∫0—yf(x)dx+∫0yf(x)dx，2、設(shè)總體X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，X是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，S2為樣本方差，則下列正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則使f(x，y)dy成立的充分條件是()A、f(－x，－y)=－f(x，y)B、廠(－x，－y)=f(x，y)C、f(－x，－y)=－f(x，y)且f(－x，y)=f(x，y)D、f(－x，y)=f(x，y)且f(x，－y)=f(x，y)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：此時(shí)f(x，y)既是關(guān)于x的偶函數(shù)，又是關(guān)于y的偶函數(shù)，故選(D)．4、設(shè)收斂，則()A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、可能收斂也可能發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)n階方陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，記向量組Ⅰ：α1，α2，…，αn，Ⅱ：β1，β2，…，βnⅢ：γ2，…，γn線性相關(guān)，則()A、向量組Ⅰ線性相關(guān)B、向量組Ⅱ線性相關(guān)C、向量組Ⅰ與Ⅱ都線性相關(guān)D、向量組Ⅰ與Ⅱ至少有一個(gè)線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由｜AB｜=0，得｜A｜=0或｜B｜=0，故向量組Ⅰ與Ⅱ至少有一個(gè)線性相關(guān)，故選(D)．6、設(shè)A是秩為3的4階矩陣，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)解，若α1+α2+α3=（0，6，3，9）T，2α1－α3=（1，3，3，3）T，k為任意常數(shù)，則Ax=b的通解為()A、（0，6，3，9）T+k（1，1，2，0）TB、（0，2，1，3）T+k（－1，3，0，6）TC、（1，3，3，3）T+k（1，1，2，0）TD、（－1，3，0，6）T+k（－2，0，－3，0）T標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題．由r(A)=3，知齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量．由非齊次線性方程組解的性質(zhì)，知(α1+α2+α3)－3(2α2－α3)=(α1－α2)+4(α3－α2)=（－3，－3，－6，0）T是Ax=0的解，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系為（1，1，2，0）T．又2α2－α3=α2+(α2－α3)=（1，3，3，3）T是Ax=b的解，所以Ax=b的通解為（1，3，3，3）T+k（1，1，2，0）T，故應(yīng)選(C)．7、設(shè)隨機(jī)變量X1和X2相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則下列隨機(jī)變量中服從參數(shù)為2λ的指數(shù)分布的是()A、max(X1，X2)B、min(X1，X2)C、X1+X2D、X1－X2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查兩個(gè)相互獨(dú)立的指數(shù)分布的隨機(jī)變量函數(shù)的分布，是一道有一定難度的綜合題．設(shè)X1，X2的分布函數(shù)為F(x)，則max(X1，X2)的分布函數(shù)為所以(A)選項(xiàng)錯(cuò)誤．min(X1，X2)的分布函數(shù)為所以min(X1，X2)服從參數(shù)為2λ的指數(shù)分布，故應(yīng)選(B)．進(jìn)一步分析，由E(X1+X2)－E(X1)+E(X2)=，知選項(xiàng)(C)錯(cuò)誤；由E(X1－X2)=E(X1)－E(X2)=0≠，知選項(xiàng)(D)錯(cuò)誤．8、設(shè)總體X與y相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布N(0，σ2)，X1，…Xm與Y1，…Yn是分別來自總體X與y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若統(tǒng)計(jì)量服從t(n)分布，則()A、B、C、2D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查兩個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布，屬于基礎(chǔ)題．由題設(shè)，知從而且U與V相互獨(dú)立．由t分布的定義，二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2ln2－1．知識(shí)點(diǎn)解析：10、若當(dāng)x→0時(shí)，x－(a+bcosx)sinx為x3的高階無窮小，其中a，b為常數(shù)，則(a，b)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)，B=A－1，則B的伴隨矩陣B*的所有元素之和等于________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)X～B(n，p)，若(n+1)p不是整數(shù)，當(dāng)P{X=k}最大時(shí)，k=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(n+1)p知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)X～B(n，p)，則使P{X=k}達(dá)到最大的k稱為二項(xiàng)分布的最可能值，記為k0且三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)A=．X是2階方陣．(Ⅰ)求滿足AX一XA=O的所有X；(Ⅱ)方程AX一XA=E，其中E是2階單位陣．問方程是否有解，若有解，求滿足方程的所有X；若無解．說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然方程組中第1個(gè)和第4個(gè)方程相互矛盾，故矩陣方程AX一XA=E無解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、已知A=，求A的特征值，并討論A可否相似對(duì)角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：故有λ1=1+a，λ2=a，λ3=1一a．看特征值是否有重根，對(duì)任意a，λ1=1+a≠λ2=a．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析在線段(0，1)上隨機(jī)投擲2個(gè)點(diǎn)，該兩點(diǎn)的距離為X．試求：(Ⅰ)X的概率密度fX(x)；(Ⅱ)X的數(shù)學(xué)期望EX．18、在線段(0，1)上隨機(jī)投擲2個(gè)點(diǎn)，該兩點(diǎn)的距離為X．試求：(Ⅰ)X的概率密度fX(x)；(Ⅱ)X的數(shù)學(xué)期望EX．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)在(0，1)上隨機(jī)投擲兩點(diǎn)X1，X2(0＜X1＜1，0＜X2＜1)，則(X1，X2)服從區(qū)域(0，1)×(0，1)上的二維均勻分布，令X=｜X1一X2｜∈[0，1)．當(dāng)X＜0時(shí)，F(xiàn)X(x)=0；當(dāng)X≥1時(shí)，F(xiàn)X(x)=1；