【專項(xiàng)精練】第06課 奇偶性、對(duì)稱性與周期性-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專項(xiàng)精練（解析版）

第03課奇偶性、對(duì)稱性與周期性（分層專項(xiàng)精練）【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022秋·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．（2022秋·高一單元測(cè)試）函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（

）A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]4．（2022秋·廣東肇慶·高一德慶縣香山中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則有A． B．C． D．5．（2022秋·福建泉州·高一石獅市第一中學(xué)?？计谥校┮阎嵌x在，上的偶函數(shù)，且在，上為增函數(shù)，則的解集為A． B． C． D．6．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的x取值范圍是（）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇蘇州·高二常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，且與都為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是周期為的周期函數(shù) B．是周期為的周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)9．（2022春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？奸_學(xué)考試）是定義在上周期為4的函數(shù)，且，則下列說法中正確的是（

）A．的值域?yàn)锽．當(dāng)時(shí)，C．圖象的對(duì)稱軸為直線D．方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解10．（2023春·高一單元測(cè)試）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)11．（2023春·安徽滁州·高一?？茧A段練習(xí)）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．是以2為周期的周期函數(shù)B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C．D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)12．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，下列等式成立的是（

）A． B．C． D．13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)，都有，為奇函數(shù)，且時(shí)，，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B．是周期為2的函數(shù)C．D．三、填空題14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則的圖象的對(duì)稱中心為.15．（2022秋·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù).①是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)；②；③.16．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為．17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則．18．（2020秋·內(nèi)蒙古包頭·高一包頭市第六中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．【二層練綜合】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱2．（2022·江西贛州·贛州市贛縣第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知定義在的函數(shù)滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不是周期函數(shù)B．是奇函數(shù)C．對(duì)任意，恒有為定值D．對(duì)任意，有3．（2022秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)任意的，且，都有，則（

）A． B．C． D．4．（2022秋·陜西安康·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，當(dāng)時(shí)，，則A． B． C． D．5．（2023·四川廣安·四川省廣安友誼中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列不等式正確的是A． B．C． D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且在上單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題7．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（

）．A．當(dāng)時(shí)，B．函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)C．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．對(duì)，恒成立8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有以下四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（

）A．對(duì)任意的a，都不是偶函數(shù) B．存在a，使是奇函數(shù)C．存在a，使 D．若的圖像關(guān)于對(duì)稱，則9．（2023春·甘肅張掖·高一高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)，則下列說法中正確的有（

）A．函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱B．4是函數(shù)的周期C．D．方程恰有4不同的根10．（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，且，是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．的一個(gè)周期是4 C．是偶函數(shù)D．11．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀┮阎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x)，f(x+1)=f(1-x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=-x2+2x，則下列結(jié)論正確的是（

）A．f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增 D．12．（2023春·山東臨沂·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．的最小正周期為4 D．對(duì)任意都有三、填空題13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則的值為．14．（2022秋·山東菏澤·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式<0的解集為.15．（2021秋·上海靜安·高三上海市第六十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的解析式是16．（2022春·江西吉安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為.17．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是以點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形，，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，則．18．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于函數(shù)，有如下四個(gè)命題：①若，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值為；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．其中所有真命題的序號(hào)是．【三層練能力】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)、的定義域?yàn)?，的?dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，，，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，記，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2023春·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)、定義域均為，且，為偶函數(shù)，若，則下面一定成立的是（

）A． B．C． D．5．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，且對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有.函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，…，，給出以下結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．6．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義在R上的函數(shù)，滿足，，，，則（

）A．是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸B．2是的一個(gè)周期C．函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．若，且，，則n的最小值為2【一層練基礎(chǔ)】參考答案1．C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可選擇.【詳解】對(duì)：容易知是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)：容易知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)：容易知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，故正確；對(duì)：容易知是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：C.2．B【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求得當(dāng)時(shí)的解析式，與已知的解析式對(duì)應(yīng)即可得到結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)

當(dāng)時(shí)，

又時(shí)，

本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性求解函數(shù)解析式的問題，屬于基礎(chǔ)題.3．D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，得，不等式即為，又在單調(diào)遞減，∴得，即﹒故選：D．4．A【分析】由題意可得，，再利用函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)可得答案.【詳解】解：為奇函數(shù)，，又，，又，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較函數(shù)值的大小，考查利用知識(shí)解決問題的能力.5．B【分析】由偶函數(shù)定義域的對(duì)稱性可求，從而可得在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，可求．【詳解】解：是定義在，上的偶函數(shù)，，，在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，由可得，且，且，解得，故不等式的解集為．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．6．A【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)在上的單調(diào)性，然后由單調(diào)性解不等式．【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故越靠近軸，函數(shù)值越小，因?yàn)?，所以，解得?故選：A．7．A【分析】利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性解函數(shù)不等式.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，解得．故選：A.8．BD【分析】AB選項(xiàng)，利用周期函數(shù)的定義判斷；CD選項(xiàng)，利用周期性結(jié)合，為奇函數(shù)判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋遗c都為奇函數(shù)，所以，，所以，，所以，即，故B正確A錯(cuò)誤；因?yàn)?，且為奇函?shù)，所以為奇函數(shù)，故D正確；因?yàn)榕c相差1，不是最小周期的整數(shù)倍，且為奇函數(shù)，所以不為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤.故選：BD.9．ABD【分析】畫出的部分圖象結(jié)合圖形分析每一個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)周期性，畫出的部分圖象如下圖所示，由圖可知，選項(xiàng)A，D正確，C不正確；根據(jù)周期為，當(dāng)時(shí)，，故B正確.故選：ABD.10．ABC【解析】利用可以判斷函數(shù)的周期性，利用為奇函數(shù)可以判斷函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性，最后選出正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以B正確；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，根據(jù)，令代有，所以，令代有，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，C正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，又函數(shù)為上的偶函數(shù)，，所以函數(shù)不單調(diào)，D不正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的周期性和奇偶性以及對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.11．BD【分析】首先根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出的周期和對(duì)稱中心，然后求得.利用圖象法即可判斷D.【詳解】依題意，為偶函數(shù)，且，有，即關(guān)于對(duì)稱，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)榈闹芷跒?，關(guān)于對(duì)稱，所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；因?yàn)榈闹芷跒?，則，，所以，故C錯(cuò)誤；作函數(shù)和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：BD.12．ABC【解析】由已知可得是周期為的函數(shù)，結(jié)合奇偶性和已知解析式，即可求出函數(shù)值，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】由知的周期為6，，，.故選:ABC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.13．ACD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)得,推出，判斷A；結(jié)合，推出，判斷B；采用賦值法求得，判斷C;利用函數(shù)的周期性結(jié)合題設(shè)判斷D.【詳解】由題意為奇函數(shù)得，即，故的圖像關(guān)于中心對(duì)稱，故A正確；由，得，所以，即是周期為4的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；由，令，則，故，故C正確；時(shí)，，∵的周期為4，∴，故D正確，故選:14．【分析】求解出，利用定義法判斷出其為奇函數(shù)，從而得到的圖象的對(duì)稱中心.【詳解】因?yàn)椋x域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，故的圖象的對(duì)稱中心為.故答案為：.15．（答案不唯一）【分析】根據(jù)滿足的條件寫出一個(gè)函數(shù)即可.【詳解】由條件①②③可知函數(shù)對(duì)稱軸為，定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可寫出滿足條件的函數(shù).故答案為：（答案不唯一）16．【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可得，即結(jié)合單調(diào)性可知，數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)椋綖榕己瘮?shù)，所以，，，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，，由二次函數(shù)圖象可知：的解集為，的圖象看成是的圖象向右平移2個(gè)單位，得到，所以，的解集為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想.17．4043【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合倒序相加法求和，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，設(shè)，則兩式相加，可得，所以.故答案為：.18．1【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由已知函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，得，，整理得，所以當(dāng)時(shí)，等式成立，即.故答案為:1.【二層練綜合】參考答案1．C【分析】由周期函數(shù)的概念易知函數(shù)的周期為2，根據(jù)圖象平移可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而可得奇偶性.【詳解】由可得2是函數(shù)的周期，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，所以是奇函數(shù)，故選：C.2．C【分析】利用已知兩個(gè)等式進(jìn)行變形，由此可推出函數(shù)為周期是4的偶函數(shù)，從而可判斷選項(xiàng)，再利用周期性可得的值，即可判斷【詳解】，∴

，∴∴，∴∴，∴是周期為4的函數(shù)∴，∴為偶函數(shù)在中，令，有故是定值當(dāng)時(shí)，即為，故D不正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的周期性與對(duì)稱性綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題3．A【分析】由題意可得函數(shù)在上遞減，且關(guān)于對(duì)稱，則，利用作差法比較三者之間的大小關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】解：由對(duì)，且，都有，所以函數(shù)在上遞減，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，又，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，?故選：A.4．A【分析】根據(jù)題意，對(duì)變形可得，則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，據(jù)此可得，，結(jié)合函數(shù)的解析式以及奇偶性求出與的值，相加即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足任意的都有，則，則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，，又由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，時(shí)，，則，則；故；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性、對(duì)稱性的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題．5．C【分析】先通過已知條件推出函數(shù)的最小正周期，然后利用函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算或估計(jì)、、的值或范圍即可比較大小.【詳解】由，得，所以，的周期.又，且有，所以，.又，所以，即，因?yàn)闀r(shí)，，所以又，所以，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)已知條件推導(dǎo)抽象函數(shù)的周期性并利用函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)，再結(jié)合函數(shù)在指定區(qū)間的解析式比較函數(shù)值的大小問題，試題綜合性強(qiáng)6．C【分析】由可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，進(jìn)而得到在上單調(diào)遞增，數(shù)形結(jié)合將轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合草圖可知：要使，則到的距離小于到的距離，故不等式等價(jià)于，兩邊同時(shí)平方后整理得，解得或.故選：C．7．AD【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求出時(shí)的解析式，可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間及極值，再結(jié)合是奇函數(shù)，可作出函數(shù)在上的大致圖象，從而可逐項(xiàng)判斷B、C、D．【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即故A正確．當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，，又，故函數(shù)在僅有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在沒有零點(diǎn)，所以函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，又，故函數(shù)是定義在上有3個(gè)零點(diǎn)．故B錯(cuò)誤．作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故C錯(cuò)誤．由圖可知，對(duì)，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值；同時(shí)也考查函數(shù)的零點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．8．AD【分析】根據(jù)輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋渲?，，?duì)于A，要使為偶函數(shù)，則，且，即對(duì)任意的a，都不是偶函數(shù)，故正確；對(duì)于B，要使為奇函數(shù)，則，且，即不存在a，使是奇函數(shù)，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，若的圖像關(guān)于對(duì)稱，則，，解得，且，所以，即，故正確.故選：AD9．ABD【分析】根據(jù)奇偶性的定義，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，即可判斷A的正誤；根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的周期性，可判斷B的正誤；根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合解析式，即可判斷C的正誤；分別作出和的圖象，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即所以關(guān)于對(duì)稱，故A正確.對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以，即周期，故B正確對(duì)于C：所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋谊P(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性可以作出上的圖象，又，根據(jù)對(duì)稱性，可作出上的圖象，又的周期，作出圖象與圖象，如下圖所示：所以與有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：ABD10．BC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得從而可判斷B項(xiàng)，根據(jù)周期性與奇偶性可判斷A項(xiàng)，根據(jù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得，從而可判斷C項(xiàng)，在中，令代入計(jì)算可判斷D項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，，所以，所以，即：，故的周期為4，所以，故的一個(gè)周期為4，故B項(xiàng)正確；，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以，即：，所以為偶函數(shù)，故C項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，令，可得，解得：，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11．ACD【分析】根據(jù)給定條件探討函數(shù)的性質(zhì)，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)判斷作答.【詳解】因，則有函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，A正確；由得，又R上的函數(shù)滿足，因此有，于是得函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，B不正確；因當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，C正確；因函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，則，D正確.故選：ACD12．ABD【分析】由奇偶性知的對(duì)稱中心為、對(duì)稱軸為，進(jìn)而推得，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由的對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為，則也關(guān)于直線對(duì)稱且，A、D正確，由A分析知：，故，所以，所以的周期為4，則，B正確；但不能說明最小正周期為4，C錯(cuò)誤；故選：ABD13．/-0.8【分析】由題設(shè)條件可得的周期為2，應(yīng)用周期性、奇函數(shù)的性質(zhì)有，根據(jù)已知解析式求值即可.【詳解】由題設(shè)，，故，即的周期為2，所以，且，所以.故答案為：.14．(－1，0)∪(0，1)【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，得到f(－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為或，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函數(shù).因?yàn)椋?·<0，即或解得x∈(－1，0)∪(0，1).故答案為：(－1，0)∪(0，1).【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題目.15．【詳解】設(shè)，則，結(jié)合題意可得：，設(shè)，則，故.綜上可得，函數(shù)在上的解析式是.16．【分析】推導(dǎo)出當(dāng)時(shí)，，利用函數(shù)的周期性和奇偶性可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性．（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.17．【分析】由中心對(duì)稱得，可解得，再由兩切線垂直，求導(dǎo)數(shù)得斜率，令其乘積為-1，即可得解.【詳解】由，得，解得，所以.又，所以.因?yàn)椋?，，由，得，?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的中心對(duì)稱性，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義即切線斜率，屬于中檔題.18．①②③【分析】利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷①；利用函數(shù)對(duì)稱性的定義求出的值，可判斷②；利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷③；取，解方程，可判斷④.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，①對(duì)；對(duì)于②，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)任意的，，即，即，即，解得，②對(duì)；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，，令，可得；令，可?所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，函數(shù)的極小值為，③對(duì)；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，由，可得，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，④錯(cuò).故答案為：①②③.【三層練能力】參考答案1．D【分析】設(shè)，可得出，則（為常數(shù)），由可得出，再結(jié)合已知等式可推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，計(jì)算出、、、的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可求得的值.【詳解】設(shè)，則，所以，函數(shù)為常值函數(shù)，設(shè)（為常數(shù)），又因?yàn)?，則，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，因?yàn)?，，且函?shù)、的定義域?yàn)?，所以，，所以，，則，所以，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因?yàn)?，則，所以，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因?yàn)?，則，所以，，故，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以，，故，在等式中，令可得，則，在等式中，令可得，在等式中，令可得，所以，，故，則，所以，，，，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為.2．C【分析】由為奇函數(shù)可得兩邊求導(dǎo)得到，即，同理可得，即可得到的對(duì)稱性與周期，畫出與的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且①；又為偶函數(shù)，所以，即，兩邊求導(dǎo)得，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且②；由①②得，即，所以，所以的一個(gè)周期為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以，作出函數(shù)與的圖象如圖所示，

由，解得，由，解得，結(jié)合圖象可知不等式的解集為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到函數(shù)的對(duì)稱性與周期性，再利用數(shù)形結(jié)合法.3．D【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)定義探求出函數(shù)的周期性，及在上的單調(diào)性即可判斷作答.【詳解】由為奇函數(shù)，得，即，又由為偶函數(shù)，得，即，于是，即，因此的周期為8，又當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，顯然，即有，即，所以a，b，c的大小關(guān)系為.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.4．AD【分析】根據(jù)條件判斷關(guān)于中心對(duì)