2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題九（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題九知識點一求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例1、設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性（2）若直線是函數(shù)的切線，求實數(shù)的值；（3）當(dāng)時，證明：.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，且曲線在處的切線平行于直線．（1）求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）已知函數(shù)圖象上不同的兩點，試比較與的大小．典例2、已知函數(shù)（1）若曲線在點處的切線與軸平行.（i）求的值；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求證：.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，g.（1）求在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，求證：.典例3、形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時，可以利用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對數(shù)得，兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得，于是.已知，.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求證：恒成立.

隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，．（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（3）證明：對任意的實數(shù)，，，都有恒成立．知識點二函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例4、已知函數(shù)在處的切線過點，a為常數(shù)．（1）求a的值；（2）證明：．隨堂練習(xí)：已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù))的圖像在(0，1)處的切線斜率為.（1）求的值及函數(shù)的極值；（2）證明：當(dāng)時，.典例5、已知函數(shù).（1）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍；（2）若曲線的一條切線為，證明：當(dāng)時，恒成立.隨堂練習(xí)：：已知函數(shù)（），曲線在點處的切線在軸上的截距為.（1）求的最小值；（2）證明：當(dāng)時，.典例6、已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求a的值；（3）求證：對任意正整數(shù)，都有（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.隨堂練習(xí)：已知曲線在處的切線方程為．其中a、b均為實數(shù)．（1）求的值；（2）若是函數(shù)的極小值點，證明：．2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題九答案典例1、答案：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）（3）見證明解：（1）函數(shù)的定義域為.因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）設(shè)切點為，則，因為，所以，得，所以.設(shè)，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以.因為方程僅有一解，所以.（3）因為，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增.因為，，所以存在，使得.當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，所以.因為，所以，，所以.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（3）解:（1）的定義域為．曲線在處的切線平行于直線，，．（2），．當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．（3），，．又，．設(shè)，則，在上是增函數(shù)．令，不妨設(shè)，，，即．又，，．典例2、答案：（1）（i），（ii）單增區(qū)間為，單遞減區(qū)間為（2）證明見解析.解:（1）（i）定義域為，由可得，因為曲線在點處的切線與軸平行，所以，可得：，（ii）當(dāng)時，，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以單增區(qū)間為，單遞減區(qū)間為；（2）要證明，即證，等價于令，只需證明，，，由得有異號的兩根，令其正根為，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以，所以，，可得，所以，即.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）證明見解析解：（1）定義域為，，則，所以在點處的切線方程為：，即（2）定義域為R，，當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）令，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，即，故，令，，其中，則，令，則，令，解得：，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，由于，故，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，所以，證畢.典例3、答案：（1）；（2）的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；（3）證明見解析.解:（1）由冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式得，所以，又，所以，曲線在處的切線方程為.（2），則，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間.（3）構(gòu)造，，則，令，所以，因為與同號，所以，所以，又，所以，所以即為上增函數(shù)，又因為，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，為上減函數(shù)，為上增函數(shù)，所以，，即，因此，恒成立，即證.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）證明見解析.解:（1）由題意可知，，，所以，所以在處的切線方程為，即．（2），當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（3）證明：不等式可化為．設(shè)，即證函數(shù)在上是增函數(shù)，即證在上恒成立，即證在上恒成立．令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，即．因為，所以，所以要證成立，只需證．令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即在上恒成立，即證．典例4、答案：（1）（2）證明見解析.解：（1）由，得，所以，，因為在處的切線過點，所以，所以，解得，（2）證明：要證，即證，即證，即證，因為，所以即證，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以恒成立，令，則，所以在遞增，所以當(dāng)時，取得最小值0，所以原不等式成立.隨堂練習(xí)：答案：（1），極小值，無極大值（2）證明見解析解：（1）由，得.由題意得，，即，所以，.令，得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，取得極小值，且極小值為，無極大值．（2）證明：令，則.由(1)知，，故在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，，即.典例5、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由，得，當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，此時恒成立，當(dāng)時，令則，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，取得最小值為，不滿題意，綜上所述，的取值范圍為.（2）由題意可知，，所以，設(shè)切線為的切點為，則，解得，所以，所以，要證，只需證即可，所以表示點與點連線的斜率，因為，所以當(dāng)距的距離越遠，斜率越小，當(dāng)b趨近a時，，所以成立，即證.隨堂練習(xí)：答案：（1）的最小值為0.（2）詳見解析.解：（1），，故曲線在點處的切線方程為：將代入求得，所以.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，故的最小值為0.（2）由（1）知當(dāng)時，，從而所以有，，（當(dāng)時等號成立），所以有，要證成立，只要證成立，令，且，，故在上為增函數(shù)，所以即恒成立，故成立，所以成立.典例6、答案：（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和（2）（3）證明見解析解：（1）的定義域為，，令得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和.（2）由，得對恒成立.記，，1°若，則恒成立，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，不符合題意.2°若，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴.記，.令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），∴.又因為，故.（3）由（2）可知：，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.令，則，（，3，4…，n）.∴，即，也即，所以，故對任意正整數(shù)，都有.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）定義域為，，由題意知，,解得,∴;（2）由（1）知