2025高考總復習專項復習-圓錐曲線的方程專題七

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學--高考解析幾何復習專題七知識點一求拋物線的切線方程,由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數(shù),根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程典例1、已知拋物線的焦點為，為坐標原點．（1）過作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，的面積為．求拋物線的標準方程；（2）拋物線上有兩點，若為正三角形，求的邊長．隨堂練習：已知拋物線的焦點為，為拋物線上的動點，為在動直線上的投影，當為等邊三角形時，其面積為.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)為原點，過點的直線與相切，且與橢圓交于A，兩點，直線與線段交于點，試問：是否存在，使得和的面積相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.典例2、已知P為拋物線E：上任意一點，過點P作軸，垂足為O，點在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．（1）求E的方程；（2）若直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點N，且為等邊三角形，求m的值．隨堂練習：已知拋物線C：上的點到其焦點F的距離為2．（1）求拋物線C的方程；（2）已知點D在直線l：上，過點D作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB與直線l交于點M，過拋物線C的焦點F作直線AB的垂線交直線l于點N，當|MN|最小時，求的值．典例3、如圖，設(shè)為軸的正半軸上的任意一點，為坐標原點.過點作拋物線的兩條弦和，?在軸的同側(cè).（1）若為拋物線的焦點，，直線的斜率為，且直線和的傾斜角互補，求的值；（2）若直線???分別與軸相交于點???，求證：.隨堂練習：已知拋物線，點為其焦點，為上的動點，為在動直線上的投影.當為等邊三角形時，其面積為.（1）求拋物線的方程；（2）過軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點A，B和C，D，點H，K分別為，的中點，求面積的最小值.知識點二拋物線中的三角形或四邊形面積問題,直線與拋物線交點相關(guān)問題典例4、已知曲線M上的任意一點到點的距離比它到直線的距離小1．（1）求曲線M的方程；（2）設(shè)點．若過點的直線與曲線M交于B，C兩點，求的面積的最小值．隨堂練習：如圖，已知直線與拋物線交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB，交AB于點D，點D的坐標為(4,2).（1）求p的值；（2）求△AOB的面積.典例5、已知拋物線，為坐標原點，過焦點的直線與拋物線交于不同兩點.（1）記和的面積分別為，若，求直線的方程；（2）判斷在軸上是否存在點，使得四邊形為矩形，并說明理由.隨堂練習：已知拋物線的焦點為，準線為.（1）設(shè)與軸的交點為，點在上，且在軸上方，若，求直線的方程；（2）過焦點的直線與相交于、兩點，點在上，且，，求的面積.典例6、如圖，已知拋物線，直線l過點與拋物線交于A、B兩點，且在A、B處的切線交于點P，過點P且垂直于x軸的直線分別交拋物線C、直線l于M、N兩點．直線l與曲線交于C、D兩點．（1）求證：點N是中點；（2）設(shè)的面積分別為，求的取值范圍．隨堂練習：如圖，點是軸左側(cè)（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點，且的中點均在拋物線C上.1、若，點A在第一象限，求此時點A的坐標；2、設(shè)中點為，求證：直線軸；3、若是曲線上的動點，求面積的最大值.【正確答案】1、；2、證明見解析；3、人教A版數(shù)學--高考解析幾何復習專題七答案典例1、答案：（1）（2）解：（1）由拋物線方程知：，為拋物線的通徑，則，，解得：，拋物線的標準方程為：.（2）為正三角形，，由拋物線對稱性可知：軸，設(shè)，則，解得：，，，，解得：，，即的邊長為.隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）由題意得：，由拋物線定義可知：此時，過點F作FD⊥PQ于點D，由三線合一得：D為PQ中點，且，可得：所以拋物線方程為（2）由題意得：當M為AB中點時，滿足題意，設(shè)，由得：直線斜率為，則可設(shè)直線：，整理得：，聯(lián)立得：，設(shè)，則，則，由得直線OQ：，聯(lián)立直線OQ與直線l得：，從而，可得：，解得：.典例2、答案：（1）1、（2）2、解：（1）拋物線E：的焦點，準線方程為，所以，故，又因為的最小值為9，所的最小值為，當且僅當點C，P，F(xiàn)三點共線時，取得最小值，此時，解得，故拋物線E的方程為；（2）聯(lián)立，消去x得，直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B，，得，設(shè)，，則有，，所以，設(shè)線段AB的中點，則，，即，直線MN的斜率，直線MN的方程為：，令，得，即，所以，，又因為為等邊三角形，所以，所以，解得，且滿足，故所求m的值為．隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）因為點，在拋物線C：上，所以，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義得：，解得，即拋物線C的方程為；（2）由題意可設(shè)，，，因為，所以，即，故，整理得，設(shè)點，同理可得，則直線AB方程為：，令得，即點，因為直線NF與直線AB垂直，所以直線NF方程為：，令得，即點，∴，當且僅當時，時上式等號成立，聯(lián)立，得，∴，，，，∴．典例3、答案：（1）（2）證明見解析.解：（1）根據(jù)題意，為拋物線的焦點，則，由于直線的斜率為，故直線的方程為，所以聯(lián)立方程得，設(shè)，則，因為直線和的傾斜角互補，所以，因為，所以，所以，解得.所以.（2）設(shè)，直線的方程為，直線的方程為設(shè)，直線與拋物線聯(lián)立得，所以，，同理，直線與拋物線聯(lián)立得，所以，，對于直線，由于，所以，所以直線方程為，故令得，即同理得，，，所以，，所以隨堂練習：答案：（1）；（2）16.解：（1）拋物線的焦點，準線，為等邊三角形，則有，而為在動直線上的投影，則，由，解得，設(shè)，則點，于是由得：，解得，所以拋物線的方程為：.（2）顯然直線AB，CD都不與坐標軸垂直，設(shè)直線AB方程為：，則直線CD方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，則，于是得弦AB中點，，同理得，因此，直角面積，當且僅當，即時取“=”，所以面積的最小值為16.典例4、答案：（1）（2）解：（1）由已知得，曲線M上的任意一點到點的距離與它到直線的距離相等，所以曲線M的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以曲線M的方程為（2）設(shè)，顯然，過點的直線斜率不為0，設(shè)其方程為聯(lián)立，整理得其中，由韋達定理得：，，所以的面積當時，所以的面積的最小值為隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）∵OD⊥AB，∴，又，∴，則直線AB的方程為，聯(lián)立方程消y可得①設(shè)A(x1,x2)，B(x2,y2)，∴，，由，又，將代入可得，且當時方程①有解．∴.（2）由，∵，∴.典例5、答案：（1）；（2）不存在，理由見詳解.解：（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去得，得①，②，又因為，則③由①②③解得，即直線的方程為，即（2）假設(shè)存在點，使得四邊形為矩形，則互相平分所以線段的中點在上，則軸，此時則不成立.故在軸上不存在點，使得四邊形為矩形隨堂練習：答案：（1）（2）32解：（1）由可得的準線為直線，所以點過點作的準線的垂線，垂足為，如圖所示，則，因為，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，即，得直線的斜率為1，所以直線的方程為（2），設(shè)，，，若軸，由，得，、為、，此時不滿足，所以不滿足題意.設(shè)直線方程為，直線的方程為，如圖所示：將代入拋物線方程得，所以，，將代入拋物線方程得，所以①，直線的斜率為，同理的斜率為，因為，所以，所以，即②，由①②解得，，所以或者，當時，直線方程為，，，因為，滿足，所以，所以，所以的面積為32，同理可得當直線方程為時的面積也為32.所以的面積為32.典例6、答案：（1）證明見解析.（2）解：（1）因為點的直線l過與拋物線交于A、B兩點，所以直線的斜率存在，可設(shè).設(shè)，則，消去y可得：，所以.對拋物線可化為，求導得：，所以以為切點的切線方程為，整理得：.同理可求：以為切點的切線方程為.兩條切線方程聯(lián)立解得：，，所以.過點P且垂直于x軸的直線為：，所以.所以，即點N是中點.設(shè).因為點D到MN的距離為，所以.因為點B到MN的距離為，所以.所以.（2）由（1）可知：點N是中點.同理可證：點N是中點.所以.設(shè)，則，消去y可得：，所以.所以.由（1）可知：，，所以.同理可求：，.所以因為，所以，所以，所以，所以，所以.即的取值范圍為.隨堂練習：答案：（1）；（2）