2025高考總復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)-圓錐曲線的方程專(zhuān)題三

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專(zhuān)題三知識(shí)點(diǎn)一根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題典例1、橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，過(guò)的長(zhǎng)軸，短軸端點(diǎn)的一條直線方程是.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明直線過(guò)定點(diǎn).隨堂練習(xí)：已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．（1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）若、為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在以為直徑的圓上，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．典例2、已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其右頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)、在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，證明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．隨堂練習(xí)：已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，焦距為4，且C過(guò)點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1與C交于A，B兩點(diǎn)，l2與C交于D，E兩點(diǎn)，記AB的中點(diǎn)為M，DE的中點(diǎn)為N，試判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．典例3、已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，過(guò)點(diǎn)作斜率為，的直線，，它們與橢圓的另一交點(diǎn)分別為，，且.（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線過(guò)定點(diǎn).隨堂練習(xí)：已知橢圓的離心率，上頂點(diǎn)是，左?右焦點(diǎn)分別是，，若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)和是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，不共線，直線和的斜率分別是和，若，求證直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,求橢圓的切線方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積典例4、已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長(zhǎng)為，橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點(diǎn)為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），線段的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．典例5、已知為橢圓上任一點(diǎn)，，為橢圓的焦點(diǎn)，，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線：與橢圓的兩交點(diǎn)為A，，線段的中點(diǎn)在直線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，求直線的方程．

隨堂練習(xí)：已知橢圓的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在該橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．典例6、如圖，已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)M作相互垂直的兩條直線，分別交橢圓與圓于點(diǎn)A，B和點(diǎn)N.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.

隨堂練習(xí)：已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)P，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S，與曲線C交于點(diǎn)E，軸，過(guò)點(diǎn)S的另一直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若，求所在的直線方程．人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專(zhuān)題三答案典例1、答案：（1）；（2）見(jiàn)解析解:（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)，，即，橢圓的方程為，（2）證明：設(shè)直線，（），設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則，聯(lián)立直線與橢圓得，得，，解得，，，直線，令，得，直線過(guò)定點(diǎn)隨堂練習(xí)：答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為（2）證明見(jiàn)解析解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，則，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為.（2）分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，可得，由韋達(dá)定理可得，，，同理可得，由已知，則，所以，，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，合乎題意；②當(dāng)直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，，即點(diǎn)，由已知可得，，，由已知，則，所以，，因?yàn)?，解得，此時(shí)直線的方程為，則直線過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).典例2、答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解：（1）由題意可知，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，因此，橢圓的方程為.（2）證明：若軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則直線與也關(guān)于軸對(duì)稱，從而直線與的斜率互為相反數(shù)，不合乎題意.設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，整理可得，即，化?jiǎn)得，即，可得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，合乎題意.綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn)．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為解：（1）依題意，由解得，所以橢圓的方程為.（2）由題意知，當(dāng)其中一條的斜率不存在時(shí)，另外一條的斜率為，此時(shí)直線為軸；當(dāng)?shù)男甭识即嬖谇也粸闀r(shí)，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立，整理得，，，則，所以的中點(diǎn)，同理由，可得的中點(diǎn)，則，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn).典例3、答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析.解:（1）由于，故，所以.又橢圓過(guò)點(diǎn)，故，從而，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意，舍去.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，則.又由得：，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）.當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，符合要求.綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn).隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn)解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，得，所以，，所以，，所以，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)．典例4、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時(shí).所以點(diǎn)到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)取等號(hào)，滿足所以的面積最大時(shí)直線的方程為：或.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）或解：（1）設(shè)的半焦距為，則，故過(guò)垂直于軸的直線方程為，與的方程聯(lián)立，得，由題意得，所以，又，所以，，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離為，所以，所以，，故橢圓的方程為；（2）由題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，，，由，消去并整理得，所以，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，且是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以，此時(shí)直線的方程為，即或典例5、答案：（1）（2）或解：（1）由橢圓定義得，，所以，故，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)代入方程，得所以，，所以，解得，則式變?yōu)閯t，底邊上的高，所以的面積．令，解得，把，代入式，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足，此時(shí)直線的方程為或．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）由題意知，所以，，所以，由橢圓定義知：，則，，故橢圓的方程為．（2）①當(dāng)直線軸時(shí)，令，可得，解得，可取，，此時(shí)的面積，與題設(shè)矛盾，舍去．②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，成立，設(shè)，，則，，可得．又圓的半徑，∴的面積為，化簡(jiǎn)得，解得，∴，∴圓的方程為．典例6、答案：（1）（2）解：（1）將點(diǎn)代入得，，又，，得，所以，，即.（2）因?yàn)?，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，且，則，，則，且，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，∴，∴面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，此時(shí)，所以直線的方