2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-數(shù)列專題六（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題六知識(shí)點(diǎn)一由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列新定義典例1、已知為有窮數(shù)列．若對(duì)任意的,都有（規(guī)定）,則稱具有性質(zhì)．設(shè)．（1）判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？若具有性質(zhì),寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的集合;（2）若具有性質(zhì),證明:;（3）給定正整數(shù),對(duì)所有具有性質(zhì)的數(shù)列,求中元素個(gè)數(shù)的最小值．隨堂練習(xí)：已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和記為.（1）寫(xiě)出的最大值和最小值；（2）若，求的值；（3）是否存在數(shù)列，使得？如果存在，寫(xiě)出此時(shí)的值；如果不存在，說(shuō)明理由.典例2、已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足.（1）當(dāng)和時(shí)，分別寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)及正整數(shù)，使得數(shù)列的前項(xiàng)和？若存在，求出實(shí)數(shù)及正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列滿足：，且.記集合.（1）若，寫(xiě)出集合的所有元素；（2）若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（3）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值.典例3、已知數(shù)列的首項(xiàng)，其中，令集合，．（1）若是數(shù)列中首次為1的項(xiàng)，請(qǐng)寫(xiě)出所有這樣數(shù)列的前三項(xiàng)；（2）求證：；（3）當(dāng)時(shí)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．

隨堂練習(xí)：已知無(wú)窮數(shù)列滿足公式，設(shè).（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）給定整數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使數(shù)列滿足：①數(shù)列的前項(xiàng)都不為零；②數(shù)列中從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是零.若存在，請(qǐng)將所有這樣的實(shí)數(shù)從小到大排列形成數(shù)列，并寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.知識(shí)點(diǎn)二利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式,由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列,反證法證明,利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)典例4、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列．

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在數(shù)列的不同項(xiàng)使之稱為等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出這樣的不同項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．典例5、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：為定值；（3）判斷數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足且.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列?若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.典例6、已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說(shuō)明理由．

隨堂練習(xí)：若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足等式.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）能否在數(shù)列中找到這樣的三項(xiàng)，它們按原來(lái)的順序構(gòu)成等差數(shù)列？說(shuō)明理由；（3）令，記函數(shù)的圖像在軸上截得的線段長(zhǎng)為，設(shè)，求，并證明：.人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題六典例1、答案：（1）不具有性質(zhì),具有性質(zhì),（2）證明見(jiàn)解析（3）解：（1）解:由題知,即因?yàn)?所以不具有性質(zhì),由于,即因?yàn)楣示哂行再|(zhì),因?yàn)楣?（2）“”等價(jià)于“證明兩個(gè)元素至少有一個(gè)在中”,假設(shè)兩個(gè)元素均不在中,則有不妨設(shè),若,則由,可得,與矛盾,故,同理,從而,所以,與具有性質(zhì)矛盾,所以假設(shè)不成立,即;（3）設(shè)規(guī)定時(shí),,時(shí),,則,所以,考慮數(shù)列,,由題設(shè)可知,他們均具有性質(zhì),設(shè)中元素個(gè)數(shù)最小值為,所以,所以,由(2)知,從而,當(dāng)時(shí),令,當(dāng)時(shí),令,此時(shí)均有,所以中元素個(gè)數(shù)的最小值為.隨堂練習(xí)：答案：（1），；（2）0；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.解：（1）因?yàn)?，，所以，解得或，?dāng)時(shí)，由，解得或，當(dāng)時(shí)，由，解得，所以或或，所以最大值為，最小值為.（2）當(dāng)時(shí)，，則或，此時(shí)由知，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，，則或，滿足，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，由，得或，由知滿足題意，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，綜上，或，或，所以或或，故.（3）由，可得為整數(shù)，，所以，則，所以，若存在數(shù)列，使得，則，又為整數(shù)，所以方程無(wú)解，故不存在數(shù)列，使得.典例2、答案：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在，與，解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在數(shù)列中直到第一個(gè)小于等于的項(xiàng)出現(xiàn)之前，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的遞減的等差數(shù)列即當(dāng)足夠大時(shí)，總可以找到，則存在正整數(shù)，使得（i）若，令，則存在正整數(shù)，使得（ii）若，，則令，則存在正整數(shù)，使得綜上所述，則存在正整數(shù)，使得.（3）①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，而此時(shí)為奇數(shù)，成立，又不成立，所以存在正整數(shù)，使得.②當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的周期為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以所以或者是偶數(shù)，或者不是整數(shù)，即不存在正整數(shù)，使得③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)與，時(shí)，.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）見(jiàn)解析（3）5解：（1）若，則，，，，故中的項(xiàng)的大小從第3項(xiàng)開(kāi)始周期變化，且周期為2.故.（2）設(shè)，若，則，因互質(zhì)，故為3的倍數(shù)；若，則即，因互質(zhì)，故為3的倍數(shù)，依次類推，有均為3的倍數(shù).當(dāng)時(shí)，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：也是3的倍數(shù).當(dāng)時(shí)，若，則，故為3的倍數(shù)；若，則，故為3的倍數(shù)，設(shè)當(dāng)時(shí)，是3的倍數(shù)即為3的倍數(shù)，若，則，故為3的倍數(shù)；若，則，因?yàn)?的倍數(shù)，故為3的倍數(shù)，故當(dāng)時(shí)，是3的倍數(shù)也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得是3的倍數(shù)成立，綜上，的所有元素都是3的倍數(shù).（3）當(dāng)，則，，，，故的元素個(gè)數(shù)為5；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為4；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為5；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為5；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為4；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為5；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為5；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為4；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為5；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為5；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為4；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為5；當(dāng)，則，故的元素個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)為5，綜上，的元素個(gè)數(shù)的最大值為5.典例3、答案：（1）27，9，3；8，9，3；6，2，3（2）證明見(jiàn)解析（3）21解：（1）是數(shù)列中首次為1的項(xiàng)，又，；或，即或2；同理或，當(dāng)時(shí)，即或8，當(dāng)時(shí)，或1（不合題意，舍去）；所以，滿足條件的數(shù)列的前三項(xiàng)為：27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．（2）若被3除余1，則由已知可得，，；若被3除余2，則由已知可得，，；若被3除余0，則由已知可得，；所以，所以所以，對(duì)于數(shù)列中的任意一項(xiàng)，若“，則”．因?yàn)椋裕詳?shù)列中必存在某一項(xiàng)（否則會(huì)與上述結(jié)論矛盾?。┤?，則，；若，則，，若，，由遞推關(guān)系易得．（3）集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為21．由已知遞推關(guān)系可推得數(shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，總有成立，其中，，，．下面考慮當(dāng)時(shí)，數(shù)列中大于3的各項(xiàng)：按逆序排列各項(xiàng)，構(gòu)成的數(shù)列記為，由（1）可得或9，由（2）的證明過(guò)程可知數(shù)列的項(xiàng)滿足：，且當(dāng)是3的倍數(shù)時(shí)，若使最小，需使，所以，滿足最小的數(shù)列中，或7，且，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為或的公比為3的等比數(shù)列，所以或，即或，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，的最大值是6，所以，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為21．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）（3）存在這樣的，，理由見(jiàn)解析解：（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，（i）當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，若，則；若，則.（ii）當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，若，則；若，則.綜上所述，；（3）存在這樣的，因?yàn)?，由?）可知，（i）當(dāng)時(shí)，，所以，（ii）當(dāng)時(shí)，，所以，以此類推，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.典例4、答案：(1).(2)見(jiàn)證明解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.(2)證明：(反證法)假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，則，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因?yàn)閜＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立．所以假設(shè)不成立，原命題得證．隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）不存在，理由見(jiàn)解析．解：（1）由已知

，

，

所以

是

為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列

（2）由（1）得

所以

（3）假設(shè)存在

滿足題意成等差數(shù)列，

代入得

，所以，即

，左偶右奇不可能成立．所以假設(shè)不成立，這樣三項(xiàng)不存在典例5、答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，證明見(jiàn)解析.解:（1）1°當(dāng)時(shí),,解得.2°當(dāng)時(shí),,即.因?yàn)?所以,從而數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以.（2）因?yàn)?所以,故數(shù)列是以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,從而,而,所以.（3）不存在.理由如下.假設(shè)中存在三項(xiàng)成等差數(shù)列,不妨設(shè)第m,n,k（）項(xiàng)成等差數(shù)列,則,即.因?yàn)?且m,n,,所以.令（）,則,顯然在上是增函數(shù),所以,即,所以,所以,其左邊為負(fù)數(shù),右邊為正數(shù),故矛盾,所以數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.隨堂練習(xí)：答案：(1)；(2)(3)不存在不同的三項(xiàng)，，，使之成等差數(shù)列.理由見(jiàn)解析解:(1)當(dāng)時(shí)，.，①當(dāng)時(shí)，.②①-②得，，，故成等比數(shù)列，公比，又，.，，數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，，且滿足，.（2），.①.②①-②，得..（3）且，.假設(shè)存在不同的三項(xiàng)，，，恰好構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得.兩邊同除以，得.（*）不妨設(shè)，則，則，且，，與（*）矛盾.不存在不同的三項(xiàng)，，，使之成等差數(shù)列.典例6、答案：（1），；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.解:（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因?yàn)椋?，所以，所以，由，可得，所以?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，故，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，故．（2）由，可得，所以，所以，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，則有，所以，則，即，