2025年高考數(shù)學一輪專題復習-數(shù)列專題十（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學--數(shù)列專題十知識點一等比中項的應用,裂項相消法求和,分組（并項）法求和,等差數(shù)列通項公式的基本量計算典例1、記為數(shù)列的前項和，已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，記，求數(shù)列的前項和．

隨堂練習：已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．典例2、已知等差數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，是數(shù)列的前項和，求.

隨堂練習：已知數(shù)列的前項和為，，，．（1）求；（2）設是數(shù)列的前項和，求．典例3、已知數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．

隨堂練習：已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．知識點二由遞推關系證明數(shù)列是等差數(shù)列,由遞推關系證明等比數(shù)列,裂項相消法求和典例4、已知數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若__________，求數(shù)列的前項和.（在①；②；③這三個條件中選擇一個補充在第（2）問中，并對其求解）

隨堂練習：已知數(shù)列的首項為1，前項和為，且滿足______.①，；②；③.從上述三個條件中選一個填在橫線上，并解決以下問題：（1）求；（2）求數(shù)列的前項和.典例5、在①是與的等比中項：②；③這三個條件中任選兩個補充到下面的橫線中并解答．問題：已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，且滿足______．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個組合分別作答，按第一個解答計分．

隨堂練習：設首項為2的數(shù)列的前n項和為，前n項積為，且滿足______________．條件①：；條件②：；條件③：．請在以上三個條件中，選擇一個補充在上面的橫線處，并解答以下問題：（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列的前n項和．參考公式：．典例6、在①數(shù)列的前n項和；②且，，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：（1）已知數(shù)列滿足__________，求的通項公式；（2）已知正項等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和．

隨堂練習：已知為等差數(shù)列的前項和，且，___________.在①，，成等比數(shù)列，②，③數(shù)列為等差數(shù)列，這三個條件中任選一個填入橫線，使得條件完整，并解答：（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.人教A版數(shù)學--數(shù)列專題十答案典例1、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）當且時，，整理可得：，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）得：，，隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：，典例2、答案：（1）；（2）.解：（1）設的公差為，則∴，∵，∴，∴的通項公式為.（2）由（1）得，.隨堂練習：答案：（1）；（2）.解：（1）由題，可得，又知，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可得，∴．典例3、答案：（1），（2）解：（1）由題意，當時，，當時，由，可得，兩式相減，可得，化簡整理，得，也滿足上式，數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，，．（2）由（1），可得，則．隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，設數(shù)列的公差為，∴，∴，∵，解得：，∵，∴，，∴；（2）∵，∴數(shù)列的前n項和為．典例4、答案：（1）（2）答案見解析解：（1）∵，則，即故數(shù)列是首項和公差都為2的等差數(shù)列，∴，即（2）選①：∵，∴.選②：∵，則有：當時，；當時，；∴.選③：∵，∴.隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）選①因為，所以當為奇數(shù)時，；同理，當為偶數(shù)時，.所以.選②因為，（*）所以當時，，（**）（*）-（**），得，即，所以數(shù)列是首項為1的常數(shù)列，所以.選③因為，所以，所以數(shù)列是首項為的常數(shù)列，所以，所以當時，.當時，也符合上式.所以.（2）由（1）得，，所以典例5、答案：（1）（2）解：（1）方法1：選①和③，整理得，設等差數(shù)列的公差為，則有：，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，方法2：選①和②，，所以，，設等差數(shù)列的公差為，則有，化簡得，解得，，則，方法3：選②和③，，可得，，設等差數(shù)列的公差為，則有，得到方程，解得，故，所以等差數(shù)列的通項公式為：.（2），隨堂練習：答案：（1）；（2）證明見解析.解：（1）若選擇條件①：因為，所以，又，所以數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．所以，所以．若選擇條件②：因為，所以．當時，，整理得，，所以，累乘得，，當時，，符合上式，所以．若選擇條件③：因為，所以，即，所以，所以數(shù)列為常數(shù)列，又，所以，即．（2）由（1）知：，結合參考公式可得所以所以.典例6、答案：（1）；（2）.解：（1）若選①：數(shù)列的前n項和.當時，，當時，，上式仍成立，∴的通項公式為．若選②：且，.由可得，所以是和的等差中項，所以是等差數(shù)列.設公差為，則由，可得，所以.所以的通項公式為．（2）設的公比為.由（1）知，又，所以，即，又，所以，所以，的通項公式為.則，所以．隨堂練習：答案：（1）（