拔高點突破04 多元函數(shù)最值與雙重變量最值問題（十三大題型）（解析版）

拔高點突破04多元函數(shù)最值與雙重變量最值問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：消元法 2題型二：判別式法 4題型三：基本不等式法 5題型四：輔助角公式法 6題型五：柯西不等式法 8題型六：權(quán)方和不等式法 9題型七：拉格朗日乘數(shù)法 11題型八：三角換元法 12題型九：構(gòu)造齊次式 13題型十：數(shù)形結(jié)合法 15題型十一：向量法 18題型十二：琴生不等式法 21題型題型十三：雙重變量最值問題 2303過關(guān)測試 26

解決多元函數(shù)的最值問題不僅涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、均值不等式等知識，還涉及到消元法、三角代換法、齊次式等解題技能．題型一：消元法【典例1-1】已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______.【答案】/【解析】由得，所以，則，因為，，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以由，即，得，所以，所以，令，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即的最大值為．故答案為：．【典例1-2】已知實數(shù)滿足：，則的最大值為___________.【答案】【解析】由已知得，，令，則，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，，令所以，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以.故答案為：.【變式1-1】對任給實數(shù),不等式恒成立,則實數(shù)的最大值為__________.【答案】【解析】因為對任給實數(shù),不等式恒成立，所以，令，則，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最小值，，所以實數(shù)的最大值為故答案為：題型二：判別式法【典例2-1】（2024·廣東茂名·二模）已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值是.【答案】【解析】因為實數(shù)a，b滿足，所以，且.令，則，所以，代入，則有，所以關(guān)于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此時，關(guān)于b的一元二次方程的兩根，所以兩根同號，只需，解得.綜上所述：.即的最小值是（此時，解得：）.故答案為：.【典例2-2】已知，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以.又因為，所以，解得.故答案為：.【變式2-1】（2024·浙江·二模）設(shè)，，若，且的最大值是，則.【答案】4【解析】令=d，由消去a得：，即，而，，則，，，依題意，解得.故答案為：4【變式2-2】設(shè)非零實數(shù)a，b滿足，若函數(shù)存在最大值M和最小值m，則.【答案】2【解析】化簡得到，根據(jù)和得到，解得答案.，則，則，即，，故，，即，即，.故答案為：2.題型三：基本不等式法【典例3-1】已知，則的最小值為.【答案】【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.，的最小值為.故答案為：【典例3-2】已知正實數(shù)，，滿足，則的最小值為．【答案】10【解析】解析：易知恒等式，而，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．故答案為：10.【變式3-1】已知，則的最大值為．【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號．故答案為：.【變式3-2】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為．【答案】/【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為．故答案為：．題型四：輔助角公式法【典例4-1】設(shè)是一個三角形的三個內(nèi)角，則的最小值為.【答案】【解析】，令，所以，要想有最小值，顯然為鈍角，即，于是有，設(shè)，因為，所以令，即，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，函數(shù)有最大值，所以的最小值為，此時，，即存在，顯然存在，使得，即的最小值為，故答案為：【典例4-2】曲線上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值等于．【答案】【解析】由已知，設(shè)，，則，,∴，∴.故答案為：.【變式4-1】已知，則的最小值為．【答案】/【解析】設(shè)，，則，而，顯然，因此，其中銳角由確定，函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，即有，所以的最小值為.故答案為：題型五：柯西不等式法【典例5-1】實數(shù)x、y滿足，則的最大值是【答案】42【解析】注意，，，這三者相加即得.當(dāng)，時等號成立，所以的最大值是42.也可以直接用柯西（Cauchy）不等式，得到最大值為42.故答案為42【典例5-2】函數(shù)的最大值與最小值之積為．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，一方面，，等號當(dāng)時取得；另一方面，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，于是最大值為，最小值為，所求乘積為．故答案為：.【變式5-1】已知則的最大值為【答案】【解析】由柯西不等式，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.【變式5-2】已知，，，則的最大值是.【答案】2【解析】由柯西不等式得所以，當(dāng),即時等號成立.所以，即的最大值是2題型六：權(quán)方和不等式法【典例6-1】已知為銳角，則的最小值為.【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即，時取“”.故答案為：【典例6-2】求的最大值為【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取等號故答案為：.【變式6-1】已知，求的最小值為【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故答案為：60【變式6-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以．故選：C．題型七：拉格朗日乘數(shù)法【典例7-1】，，，求的最小值．【解析】令，，，聯(lián)立解得，，，故最小為12．【典例7-2】設(shè)為實數(shù)，若，則的最大值是．【答案】【解析】令，由，解得，所以的最大值是．【變式7-1】已知為非負(fù)數(shù),,求的最值.【解析】設(shè),當(dāng)時,取最值且.又為非負(fù)數(shù),且故或為可能取最值處，則.綜上可知.題型八：三角換元法【典例8-1】函數(shù)的值域為.【答案】【解析】令，由得，則，，所以.故答案為：.【典例8-2】函數(shù)的值域是．【答案】【解析】，令，則，由此，，當(dāng)時兩邊分別取得等號．故答案為：.【變式8-1】函數(shù)的值域是區(qū)間．【答案】

【解析】顯然函數(shù)定義域為，在此區(qū)間內(nèi)，由于，即，故有角使得，．于是，因為，則．在此范圍內(nèi)，則有．因此．（當(dāng)時，；當(dāng)時，）故答案為【變式8-2】若，且，則二元函數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】配方得令，，則，從而，，其中，由此易知的值域為.選A.題型九：構(gòu)造齊次式【典例9-1】已知，，則的最大值是______.【答案】【解析】由題意，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，又由在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即，所以，所以的最大值是.故答案為：.【典例9-2】已知實數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8【答案】A【解析】由，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為：12，故選：A.【變式9-1】（2024·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為____________．【答案】/0.25【解析】由，得，∵正實數(shù)a，b，c∴則則，當(dāng)且僅當(dāng)，且a，b>0，即a=3b時，等號成立則所以，的最大值為.故答案為：.題型十：數(shù)形結(jié)合法【典例10-1】的最小值為（

）A．5 B． C．6 D．【答案】C【解析】設(shè)，則，則曲線為拋物線的右半部分．拋物線的焦點為，設(shè)點到準(zhǔn)線l：的距離為d，點P為拋物線的右半部分上一點，設(shè)P到準(zhǔn)線l：的距離為，則．故選：C【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】由解得為函數(shù)的定義域.令，消去得，圖像為橢圓的一部分，如下圖所示.，即直線，由圖可知，截距在點處取得最小值，在與橢圓相切的點處取得最大值.而，故最小值為.聯(lián)立，消去得，其判別式為零，即，解得（負(fù)根舍去），即，故.【變式10-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，則點在函數(shù)圖象上，在函數(shù)的圖象上，容易知道圖象是拋物線圖象的上半部分，記拋物線焦點為，過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，如圖所示：則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時，取最小值.設(shè)這時點坐標(biāo)為，又，所以有，解得，即該點為，所以，因此.故選：A.【變式10-2】已知點在直線，點在直線上，且，的最小值為（

）A． B． C． D．5【答案】D【解析】由已知表示點到點的距離，表示點到點的距離，所以，過點作，垂足為，因為直線的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，所以當(dāng)點為線段與直線的交點時，取最小值，最小值為，因為過點與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.題型十一：向量法【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為．【答案】【解析】因，由可得，即在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，又由可得，不妨設(shè)，則，，于是，因，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即當(dāng)時，取得最小值.故答案為：.【典例11-2】如圖，圓是的外接圓，，，，若，則的最大值是．【答案】【解析】如圖，分別取的中點，連接，則，故，，又，，所以，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值是.故答案為：.【變式11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知都是單位向量，且，則的最小值為；最大值為【答案】【解析】因為都是單位向量，且，設(shè)，則取當(dāng)取時，即，則有，，此時有：，同理當(dāng)時，有，，此時有：故的最小值為；最大值為故答案為：；【變式11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量，向量，則的最大值是．【答案】4【解析】因為向量，向量，所以，則，所以當(dāng)時，即時，取最大值，故答案為：.題型十二：琴生不等式法【典例12-1】在內(nèi)，求的最大值．【答案】/【解析】在中，，設(shè)函數(shù)，則在上為凸函數(shù)，由琴生不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為.故答案為：.【典例12-2】已知函數(shù)，則的最小值是.【答案】【解析】定義域為R，，故為奇函數(shù)，又，故是周期函數(shù)，周期，先考慮，函數(shù)，在上恒成立，故在上是上凸函數(shù)，由琴生不等式得.當(dāng)且僅當(dāng)時，.又因為是奇函數(shù)，所以.故答案為：【變式12-1】半徑為的球的內(nèi)接三棱錐的體積的最大值為.【答案】【解析】設(shè)三棱錐為，的外接圓半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，若球心到平面的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三棱錐為正四面體時，上式等號成立.【變式12-2】半徑為的圓的內(nèi)接三角形的面積的最大值是．【答案】【解析】設(shè)的內(nèi)接三角形為．顯然當(dāng)是銳角或直角三角形時，面積可以取最大值（因為若是鈍角三角形，可將鈍角（不妨設(shè)為）所對邊以圓心為對稱中心作中心對稱成為）．因此，．下面設(shè)，，，．則．由討論知可設(shè)、、，而在上是上凸函數(shù)．則由琴生不等式知．所以，．當(dāng)且僅當(dāng)是正三角形時，上式等號成立．故答案為題型題型十三：雙重變量最值問題【典例13-1】規(guī)定表示取、中的較大者，例如，，則函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出與的圖象如圖，兩個函數(shù)的圖象有四個交點A，B，C，D．由圖可知，B為函數(shù)圖象的最低點，聯(lián)立方程組，解得或（舍去），所以的最小值為．故答案為：．【典例13-2】（2024·廣東韶關(guān)·二模）定義，對于任意實數(shù)，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，得，設(shè)，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，得，所以，得，即.故選：A【變式13-1】設(shè)，則.【答案】.【解析】設(shè)，則，所以.設(shè)給定的正實數(shù)，，令，解得，，所以.則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號均成立，故的最大值為,故答案為：.【變式13-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為實數(shù)中最大的數(shù)．若，，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，則，，，因為，當(dāng)時，只需考慮，，又因為，，兩式相乘得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，只需考慮，，兩式相乘得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為，故，綜上所述，的最小值為．故答案為：.1．已知直線與拋物線相交于，兩點，若，則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．16【答案】B【解析】由題意可知，直線的斜率不可能為0，設(shè)直線的方程為，由，消去，得設(shè)，則，所以.因為，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取的最小值為,所以的最小值為.故選：B.2．函數(shù)的值域為.【答案】【解析】解法一：.設(shè)，則.由，得.所以f(x)的值域為.解法二：.因為時，f'(x)>0；時，f'(x)<0.所以f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).所以f(x)的值域為.故答案為：．3．函數(shù)的值域為．【答案】【解析】因為的定義域為，所以，．令，則．因為，所以，．4．已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為【答案】【解析】因為正數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故答案為：.5．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知x，y，z均為正實數(shù)，則的最大值為.【答案】【解析】因為x，y，z均為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為.故答案為：.6．已知實數(shù)，，滿足，則的最大值為【答案】【解析】設(shè)，因為，所以，令，解得或（舍去），因此，即，當(dāng)且時取等號，故的最大值為.故答案為：7．（2024·貴州·三模）以表示數(shù)集中最大（小）的數(shù).設(shè)，已知，則.【答案】【解析】由，得，設(shè)，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.故答案為：.8．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為．【答案】【解析】由，得，即，得，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，此時，的最小值為故答案為：9．向量滿足，，，則的最大值為.【答案】【解析】因為，，所以，則，則，所以，又因為，所以，則可設(shè)，則，又因為，所以，故又可設(shè)的坐標(biāo)為，所以，因此，所以最大值為.故答案為：.10．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知單位向量，向量與不共線，且，則的最大值為．【答案】2【解析】法1：設(shè)，，則，如圖所示．因為，所以在△ABC中，，，由正弦定理，得即，得，當(dāng)時，．法2：設(shè)，，則，作出△ABC的外接圓，如圖所示．因為，所以，因為，當(dāng)AC為圓的直徑，即時，．故答案為：211．已知兩個非零向量滿足，則的最大值是．【答案】【解析】設(shè)，則．則：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．即最大值為.故答案為：.12．設(shè)為正數(shù)，，則的最大值是【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值是故答案為：13．函數(shù)的最大值為.【答案】3【解析】由題意，函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)取等號，即，即時取等號，所以函數(shù)的最大值為3．故答案為：3.14．已知實數(shù)滿足：，則的最大值是．【答案】【解析】設(shè)，由，可得點在以為圓心為半徑的圓上，，所以，所以，所以兩點重合，故，則，表示，點到直線的距離的倍，表示，點到直線的距離的倍，故表示點到直線和的距離之和的倍，設(shè)直線和的交點為，則，設(shè)點到直線和的距離分別為，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等