第01講 導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算（十二大題型）（講義）（解析版）

第01講導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：導數(shù)的概念和幾何意義 4知識點2：導數(shù)的運算 5解題方法總結(jié) 6題型一：導數(shù)的定義及變化率問題 6題型二：導數(shù)的運算 9題型三：在點P處的切線 11題型四：過點P的切線 13題型五：公切線問題 15題型六：已知切線或切點求參數(shù)問題 19題型七：切線的條數(shù)問題 23題型八：利用導數(shù)的幾何意義求最值問題 29題型九：牛頓迭代法 38題型十：切線平行、垂直、重合問題 42題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題 47題型十二：切線斜率的取值范圍問題 4904真題練習·命題洞見 5105課本典例·高考素材 5406易錯分析·答題模板 55易錯點：求曲線的切線方程時忽視點的位置 55答題模板：求曲線過點P的切線方程 56

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）導數(shù)的定義（2）導數(shù)的運算（3）導數(shù)的幾何意義2024年甲卷第6題，5分2024年I卷第13題，5分2023年甲卷第8題，5分2022年I卷第15題，5分2021年甲卷第13題，5分2021年I卷第7題，5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點考查導數(shù)的計算、四則運算法則的應用和求切線方程為主．復習目標：（1）了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)．（2）通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義．（3）能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)．

知識點1：導數(shù)的概念和幾何意義1、概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或．知識點詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2、幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3、物理意義函數(shù)在點處的導數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．【診斷自測】設(shè)為R上的可導函數(shù)，且，則＝（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】B【解析】因為，所以.故選：B．知識點2：導數(shù)的運算1、求導的基本公式基本初等函數(shù)導函數(shù)（為常數(shù)）2、導數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導法則：；（2）函數(shù)積的求導法則：；（3）函數(shù)商的求導法則：，則．3、復合函數(shù)求導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間關(guān)系為：【診斷自測】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）解題方法總結(jié)1、在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2、過點的切線方程設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．3、高考?？嫉那芯€方程（1）是的切線，同時是的切線，也是和的切線.（2）是的切線，是y=tanx的切線.（3）是的切線，是的切線.題型一：導數(shù)的定義及變化率問題【典例1-1】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，且，則的值為（

）A． B．C． D．0【答案】B【解析】由題意知，.故選：B【典例1-2】如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，則，得.因為，所以當時，，即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為.故選：C【方法技巧】利用導數(shù)的定義，對所給函數(shù)式經(jīng)過拆項、添項等變形和導數(shù)定義結(jié)構(gòu)一致，然后根據(jù)導數(shù)定義求解．【變式1-1】（多選題）已知，在R上連續(xù)且可導，且，下列關(guān)于導數(shù)與極限的說法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，故A錯；，故B對；，由導數(shù)的定義知C對；，故D對；故選：BCD【變式1-2】（2024·上海閔行·二模）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量與時間t的關(guān)系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.則下列正確的命題是（

）

A．在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；B．在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；C．在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達標；D．甲企業(yè)在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強【答案】D【解析】設(shè)甲企業(yè)的污水排放量與時間t的關(guān)系為，乙企業(yè)的污水排放量與時間t的關(guān)系為.對于A選項，在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力，乙企業(yè)的污水治理能力.由圖可知，，所以,即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故A選項錯誤；對于B選項，由圖可知，在時刻的切線斜率小于在時刻的切線斜率，但兩切線斜率均為負值，故在時刻甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故B選項錯誤；對于C選項，在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達標排放量，故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達標，故C選項錯誤；對于D選項，由圖可知，甲企業(yè)在，，這三段時間中，在時的差值最大，所以在時的污水治理能力最強，故D選項正確，故選：D.題型二：導數(shù)的運算【典例2-1】求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)(2)；(3)(4).【解析】（1）（2）（3）（4）【典例2-2】已知函數(shù)滿足滿足；求的解析式【解析】令得：得：【方法技巧】（1）對所給函數(shù)求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數(shù)求導法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導問題．(2)復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元．【變式2-1】已知，則.【答案】【解析】因為，所以，所以，解得，故答案為:.【變式2-2】設(shè)函數(shù)，則的值為（

）A．10 B．59 C． D．0【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為，設(shè)，則，所以所以.故選：C.【變式2-3】在等比數(shù)列中，，若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，所以，.因為是等比數(shù)列，且，所以，，所以，，所以，.故選：A.【變式2-4】若定義域都為R的函數(shù)及其導函數(shù)，滿足對任意實數(shù)x都有，則．【答案】2024【解析】對，兩邊同時求導導數(shù)得，則，，，，從而．故答案為：2024【變式2-5】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）（2）（3）（4）題型三：在點P處的切線【典例3-1】（湖南省2024屆高三數(shù)學模擬試題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，的導函數(shù)，故曲線在點處的切線斜率為，則切線方程，即，故選：.【典例3-2】（2024·全國·模擬預測）已知曲線在點處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由得，所以直線的斜率，又，所以直線的方程為，令，得，即在軸上的截距為.故選：B【方法技巧】函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．【變式3-1】曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，則且，即切線的斜率為，切點坐標為，所以切線方程為.故選：C.【變式3-2】（2024·山東濟寧·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則當時，，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程是，即.故選：A【變式3-3】（2024·四川·三模）已知函數(shù)，則曲線上一點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，即，所以，所以，，則，所以曲線上一點處的切線方程為，即.故選：C.題型四：過點P的切線【典例4-1】已知函數(shù)，直線過點且與曲線相切，則直線的斜率為（

）A．24 B．或 C．45 D．0或45【答案】B【解析】由，得，設(shè)直線與曲線相切的切點為，則在處的切線斜率為，所以，切線方程為，將點的坐標代入并整理，得，即，解得或，所以直線的斜率為24或.故選：B.【典例4-2】過點可作的斜率為1的切線，則實數(shù).【答案】2-2ln2【解析】由，設(shè)切點的橫坐標為，由，解得，故，由過點且斜率為1的切線方程：，令得：.，即.故答案為：.【方法技巧】設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．【變式4-1】曲線過點的切線方程為.【答案】或【解析】，因為點不在曲線上，所以設(shè)切線的切點是，則切線的斜率，又切線過點和，所以，所以，化簡得，因為，所以或.所以，或，所以所求切線方程是或，即或.故答案為：或.【變式4-2】過點作曲線的切線，則切線方程為.【答案】【解析】設(shè)切點為，由得，則切點處的切線，因為切線過點，所以，解得，所以切線方程為即.故答案為：【變式4-3】（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點處的切線過原點，則.【答案】【解析】因為，所以，所以在點處的切線方程為.又切線過原點，則，所以.故答案為：【變式4-4】（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學考試）已知函數(shù)，過原點作曲線的切線，則切線的斜率為．【答案】【解析】根據(jù)題意得，，設(shè)切點坐標為，則，所以切線的方程為，將點代入，可得，整理得，故，解得，故，即切線的斜率為．故答案為：.題型五：公切線問題【典例5-1】若直線與曲線和曲線同時相切，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線直線與曲線相切于，與曲線相切于點，曲線，其導數(shù)，則有，則在點處切線的方程為，即，曲線，其導數(shù)，則有，則在處切線的方程為，即，則有，則有，又由，則有，則，則；故選：A．【典例5-2】（2024·湖南長沙·一模）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解題思路】設(shè)出兩個切點，根據(jù)導數(shù)幾何意義得，，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到，最后代入計算即可.【解析】設(shè)直線與曲線相切于點，因為直線與曲線相切于點，設(shè)，，且直線過定點，則，且，所以，設(shè)，則，則，且直線過定點，則，所以，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則，且，當時，，且，所以當時，，因為，，即，所以，，所以，故.故選：A.【方法技巧】公切線問題應根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)切點橫坐標的方程組，通過解方程組進行求解．【變式5-1】（2024·廣東茂名·一模）曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】兩個函數(shù)求導分別為，設(shè)，圖象上的切點分別為，，則過這兩點處的切線方程分別為，，則，，所以，設(shè)，，，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，.故選：B.【變式5-2】（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】依題意得，設(shè)直線的方程為，由直線和圓相切可得，，解得，當時，和相切，設(shè)切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，，又切點同時在直線和曲線上，即，解得，即和相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，和仍會保持相切狀態(tài)，即時，，綜上所述，或.故選：A【變式5-3】若存在直線，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足，則稱此直線為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，，若和存在唯一的“隔離直線”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當與相切時，只有唯一的“隔離直線”，且“隔離直線”為公切線.設(shè)切點為，則即所以.故選：D.【變式5-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若直線是曲線與曲線的公切線，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)與曲線相切于點，與相切于點，由，可得的斜率，所以①，又由，可得，所以，即②，又因為③，將②③代入①中，可得，由③易知，,則④，將④代入③，可得，則，令，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．所以，當且僅當時取等號，故，可得，所以，所以的方程為，即．故選：B．題型六：已知切線或切點求參數(shù)問題【典例6-1】若直線與曲線相切，則實數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點為，由可得，則，所以，解得，即..故選：D.【典例6-2】（2024·全國·模擬預測）若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【解析】設(shè)切點坐標為．由已知，得，則，解得．又切點在切線與曲線上，所以，所以．令，則．令，解得．當時，，則在上單調(diào)遞增；當時，，則在上單調(diào)遞減．所以，即，所以，則的最小值為－1．故選：C．【方法技巧】已知切線或切點求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在曲線上；③切點在切線上．【變式6-1】已知直線與函數(shù)的圖象相切，則的最小值為．【答案】/【解析】設(shè)切點為，，所以切線的斜率，則切線方程為，即，故，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故答案為：【變式6-2】（2024·重慶·模擬預測）已知直線與曲線相切于點，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，∴．又∵切點在直線上，∴，解得．∴．令，則，，令，解得：；令，解得：；可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，，時，，當趨近負無窮時，趨近，；，故的取值范圍為．故選：B．【變式6-3】已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為，則．【答案】【解析】函數(shù)，，若曲線在處的切線方程為，則切點坐標為，切線斜率，則有，解得，所以．故答案為：.【變式6-4】（2024·四川·模擬預測）已知，直線與曲線相切，則．【答案】2【解析】設(shè)切點坐標為，對函數(shù)求導得，則切線斜率，得，所以，且，則，即．故答案為：2.【變式6-5】對給定的實數(shù)，總存在兩個實數(shù)，使直線與曲線相切，則的取值范圍為.【答案】【解析】由得，設(shè)切點坐標為，則，消去可得，所以，令，則，當1時，單調(diào)遞增；當時，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為，所以當時，，即單調(diào)遞增.因為當趨近于0時，趨近于負無窮大，當從1左邊趨近于1時，趨近于正無窮大，當從1右邊趨近于1時，趨近于負無窮大，當趨近于正無窮大時，趨近于0，作出的大致圖象，所以若對給定的實數(shù)，總存在兩個實數(shù)，使直線與曲線相切，則的取值范圍為.故答案為：題型七：切線的條數(shù)問題【典例7-1】若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解題思路】設(shè)切點點，寫出切線方程，將點代入切線方程得，此方程有兩個不同的解，利用導數(shù)求b的范圍.【解析】在曲線上任取一點，，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得，令函數(shù)，則.當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以.設(shè)，所以，所以當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，當時，，所以，當時，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個交點，則.故選：B【典例7-2】若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)切點坐標為，，切線斜率，在點處的切線方程為：；切線過點，，過點可以作曲線的兩條切線，令，則與有兩個不同交點，，當時，，在上單調(diào)遞增，不合題意；當時，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，又，.故選：C.【方法技巧】設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值，有多少個解對應有多少條切線．【變式7-1】（2024·內(nèi)蒙古·三模）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導，得，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得.令，則.當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，且當時，，當時，，又直線與曲線的圖象有兩個交點，所以的取值范圍為.故選：C【變式7-2】若曲線有且僅有一條過坐標原點的切線，則正數(shù)a的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，設(shè)切點為，則，所以切線方程為，又該切線過原點，所以，整理得①，因為曲線只有一條過原點的切線，所以方程①只有一個解，故，解得.故選：A【變式7-3】（2024·全國·二模）若曲線有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該切線的切點為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點，則，整理得.要使過點的切線有3條，需方程有3個不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當時，函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點，即過點的切線有3條.所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B.【變式7-4】已知，如果過點可作曲線的三條切線.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點為，，∴切線斜率為，∴切線方程為，將代入得方程，即，由題設(shè)該方程有3個不等實根.令，，當時,,當時,,當時,,所以在上遞增,在上遞減,在上遞增,所以在時取得極大值,在時取得極小值,由三次函數(shù)圖象知,解得,因為可以推出,，所以也正確.故選：D【變式7-5】已知函數(shù)，若過點可作兩條直線與曲線相切，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．C．的最大值為2 D．【答案】A【解題思路】由導數(shù)幾何意義切線斜率可得（），進而將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等的正實根，即可得范圍可判斷A項、B項，，，可判斷C項、D項.【解析】由可得，設(shè)切點為（），則，又因為，即，整理得（），因為過點可作兩條直線與函數(shù)相切，所以方程有兩個不等的正實根，所以，解得，所以，故A項正確，B項錯誤；對于C項、D項，取，，滿足，此時，，故C項、D項錯誤；故選：A.【變式7-6】過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由題意得，過點作曲線的兩條切線，設(shè)切點坐標為，則，即，由于，故，，由題意可知，為的兩個解，則，，故.故選：B【變式7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若關(guān)于的方程（且）有實數(shù)解，則的值可以為（

）A．10 B． C．2 D．【答案】D【解析】對比選項可知我們只需要討論時，關(guān)于的方程的解的情況，若關(guān)于的方程（且）有實數(shù)解，即與的圖像有交點，因為與互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對稱，如圖所示：設(shè)函數(shù)與直線相切，切點為，，則有，解得：，由圖像可知，當時，曲線與直線有交點，即與的圖像有交點，即方程有解.故選：D.題型八：利用導數(shù)的幾何意義求最值問題【典例8-1】（2024·四川眉山·三模）若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解題思路】將不等式化為恒成立，即的圖象恒在的圖象的上方，利用導數(shù)研究函數(shù)，依題意得出當直線與在點處相切時取得最大值得結(jié)果.【解析】依題意，，不等式化為，設(shè)，則，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也即最大值，又時，，由題知不等式恒成立，所以的圖象恒在的圖象的上方，顯然不符題意；當時，為直線的橫截距，其最大值為的橫截距，再令，可得，且當直線與在點處相切時，橫截距取得最大值，此時，切線方程為，所以取得最大值為.故選：C.

【典例8-2】（2024·四川涼山·二模）已知點是曲線上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解題思路】判斷直線與曲線的位置關(guān)系，利用式子表示的幾何意義，轉(zhuǎn)化為點與點確定的直線同直線夾角正弦最值求解即可.【解析】依題意，，令直線，顯然過點，由，得，顯然，即直線與曲線相離，且，則曲線上的點在直線上方，過作于，則，而，因此，令過點的直線與曲線相切的切點為，由，求導得，則此切線斜率，解得，即切點為，而點在曲線的對稱軸上，曲線在過點的兩條切線所夾含原點的區(qū)域及內(nèi)部，當點的坐標為時，銳角最大，最大，最大，此時，，所以的最大值為.故先：D【方法技巧】利用導數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.【變式8-1】（2024·湖北·模擬預測）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，則點在函數(shù)圖象上，在函數(shù)的圖象上，容易知道圖象是拋物線圖象的上半部分，記拋物線焦點為，過作拋物線的準線的垂線，垂足為，如圖所示：則，當且僅當在線段上時，取最小值.設(shè)這時點坐標為，又，所以有，解得，即該點為，所以，因此.故選：A.【變式8-2】（2024·遼寧遼陽·一模）設(shè)曲線在點處的切線為l，P為l上一點，Q為圓上一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，則l的方程為，即，因為圓心到l的距離為，所以的最小值為.故選：A【變式8-3】（2024·寧夏銀川·一模）已知實數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，表示點與曲線上的點之間的距離；點的軌跡為，表示直線上的點與曲線上的點之間的距離；令，則，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即為點到直線的距離，的最小值為.故選：B.【變式8-4】設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為.【答案】/【解析】由，得：，.所以與互為反函數(shù)．則它們的圖象關(guān)于對稱．要使的距離最小，則線段垂直直線.點在曲線上，點Q在曲線上，設(shè)，.又P，Q的距離為P或Q中一個點到的最短距離的兩倍．以Q點為例，Q點到直線的最短距離所以當，即時，d取得最小值，則的最小值等于.故答案為：【變式8-5】已知，則的最小值為.【答案】/【解析】設(shè)點是函數(shù)圖象上的點，點是直線上的點，則可以轉(zhuǎn)化為，兩點之間的距離，即，所以，因為，設(shè)函數(shù)在點的切線與直線平行，則直線的斜率為1，可得，整理得，令，則，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當無限趨向于負無窮大時無限趨近于，，，當無限趨向于正無窮大時無限趨向于正無窮大，所以有且僅有一個零點，所以方程有且僅有一個解，則，故的最小值為點到直線的距離，即的最小值為.故答案為：.【變式8-6】（2024·高三·山東青島·期末）已知動點P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為．【答案】【解析】由題意得，即圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，設(shè)，由于與關(guān)于對稱，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在點處的切線與平行，此時到的距離最小，最小值為，故的最小值為，則的最小值等于.故答案為：【變式8-7】（2024·河南·一模）記函數(shù)的圖象為，作關(guān)于直線的對稱曲線得到，則曲線上任意一點與曲線上任意一點之間距離的最小值為．【答案】【解析】由題意可知：，設(shè)為曲線上的一點，令過點A的切線斜率為，解得，所以，所以點A到直線的距離為，所以曲線上任意一點與曲線上任意一點之間距離的最小值為．故答案為：.【變式8-8】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對稱，若，分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點，則，關(guān)于直線的對稱點為，又，即點在函數(shù)的圖象上，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以這，兩點之間距離的最小值等于點到直線距離最小值的倍，由，則，函數(shù)在點處的切線斜率為，令，解得，，所以點到直線距離的最小值為，所以這，兩點之間距離的最小值為.故選：D【變式8-9】（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)，點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的定義域為，由函數(shù)，可得，令，可得，負值舍去，又，所以平行于直線且與曲線相切的直線與曲線的切點坐標為．點到直線的距離，即點到直線的距離的最小值為.故選：C．【變式8-10】若點，則兩點間距離的最小值為.【答案】/【解析】點在直線上，點在曲線上，即求的最小值等價于求直線上的點到曲線上的點的距離的最小值，過上的點作的切線，可得，令，可得，故該切線為，則直線與的距離即為的最小值，此時，即.故答案為：.【變式8-11】實數(shù)滿足，,的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】化簡已知得，，即，令，原式化簡為，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，所以，此方程有唯一根為0，即，即，分別設(shè)與，則表示曲線上的點到直線的距離的平方，下面求上與平行的切線，因為，所以，當時，，解得：，所以切點為，所以到直線距離為：，此距離即為曲線上的點到直線的距離的最小值，所以的最小值為2.故選：C.【變式8-12】已知是曲線的一條切線，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，設(shè)切點為，則，所以切線方程為，即，所以，則，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；則.故選：B．題型九：牛頓迭代法【典例9-1】（2024·山東濰坊·三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點，取初始值的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標為的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標為，一直繼續(xù)下去，得到，它們越來越接近．設(shè)函數(shù)，，用牛頓迭代法得到，則實數(shù)（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，，，則在處的切線方程為，由題意得，切線過代入得，，解得，故選：D．【典例9-2】已知函數(shù)，若曲線在處的切線交軸于點，在處的切線交軸于點，依次類推，曲線在處的切線交軸于點，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，所以，，則函數(shù)在處的切線為，令，解得，即，同理可得曲線在處的切線方程為，令，解得，即，所以，即是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，所以.故選：D【方法技巧】數(shù)形結(jié)合處理.【變式9-1】（2024·湖北咸寧·模擬預測）英國數(shù)學家牛頓在17世紀給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)是的根，選取作為的初始近似值，過點做曲線的切線：，則與軸交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；重復以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點大小，則函數(shù)的零點一次近似值為（

）（精確到小數(shù)點后3位，參考數(shù)據(jù)：）A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204【答案】C【解析】易知在定義域上單調(diào)遞增，，即函數(shù)的零點有且只有一個，且在區(qū)間上.不妨取作為初始近似值，，由題意知.故選：C.【變式9-2】（2024·北京·模擬預測）給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列．已知為的牛頓數(shù)列，，且，數(shù)列的前項和為．則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，則兩邊取對數(shù)可得.即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A【變式9-3】英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，．數(shù)列的前項和為，則．【答案】/【解析】∵，∴，又∵，∴，，∴，又∴，又，且，所以，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴的前項和為，則.故答案為：.【變式9-4】令函數(shù)，對拋物線，持續(xù)實施下面牛頓切線法的步驟：在點處作拋物線的切線，交x軸于；在點處作拋物線的切線，交x軸于；在點處作拋物線的切線，交x軸于；……由此能得到一個數(shù)列隨著n的不斷增大，會越來越接近函數(shù)的一個零在點，因此我們可以用這種方法求零點的近似值.①設(shè)，則；②用二分法求方程在區(qū)間上的近似解，根據(jù)前4步結(jié)果比較，可以得到牛頓切線法的求解速度（快于?等于?慢于）二分法.【答案】快于【解析】，，，所以切線方程為，令，得，所以，二分法計算：，，；，；，，，用切線逼近法：，，，，<0.0625，因此牛頓切線法的求解速度快于二分法．故答案為：；快于．題型十：切線平行、垂直、重合問題【典例10-1】（2024·高三·廣東深圳·期末）已知曲線與軸交于點，設(shè)經(jīng)過原點的切線為，設(shè)上一點橫坐標為，若直線，則所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，求導得，設(shè)直線與曲線相切的切點坐標為，則直線的斜率為，直線的方程為，由直線過原點，即，解得，依題意，直線的斜率為，而點，則直線的方程為，由消去得，顯然是方程的不為零的根，令，求導得，當時，，當時，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，顯然，即在上有唯一零點0，而，則在上有唯一零點，即，又，所以所在的區(qū)間為.故選：D【典例10-2】（2024·高三·廣西·開學考試）曲線在A點處的切線與直線垂直，則切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，，設(shè)，，則，由題意可得，直線的斜率為，所以曲線在過點處的切線的斜率為3，所以，解得，則可得切點，所以切線方程為，即.故選：D．【方法技巧】利用導數(shù)的幾何意義進行轉(zhuǎn)化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-1.【變式10-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得曲線在點處的切線都與直線垂直，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解題思路】根據(jù)題意知有兩個不相等的正實數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的分布即可求得參數(shù)的范圍.【解析】由題意知，因為切線與直線垂直，所以曲線在點處的切線斜率都是，即關(guān)于的方程有兩個不相等的正實數(shù)根，化簡得，有兩個不相等的正實數(shù)根，則，解得.故選：A.【變式10-2】（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解題思路】函數(shù)在兩點處的切線平行，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在兩點處的導數(shù)相等，得到的關(guān)系，在結(jié)合不等式求的取值范圍即可.【解析】因為，.所以，.由因為在，兩個不同點處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯誤；因為且，所以，故A不成立；當時，.故B成立.故選：B【變式10-3】已知函數(shù)，過坐標原點O作曲線的切線l，切點為A，過A且與l垂直的直線交x軸于點B，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解題思路】先設(shè)出切點，求出，根據(jù)點斜式寫出切線l方程，根據(jù)切線l過原點求出切點坐標和直線l的斜率；再根據(jù)已知條件求出直線的方程，進一步求出點B坐標；最后根據(jù)三角形面積公式表示出面積，利用基本不等式求解即可.【解析】因為，所以.設(shè)切點為，則，.所以切線l方程為.因為切線l過坐標原點O，所以將代入切線方程，整理得，解得：.所以，則點，.因為直線過A且與直線l垂直，所以，則直線的方程為.令，解得，所以點B坐標為.所以.因為，當且僅當，即時，等號成立，所以.故選：D【變式10-4】已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點、，使得曲線在這兩點處的切線重合，則點的橫坐標的取值范圍可能是（

）A．， B． C．， D．【答案】A【解題思路】方法一：設(shè)，，不妨設(shè)，利用導數(shù)的幾何意義判斷出，寫出函數(shù)在兩點處的切線方程，再根據(jù)兩直線重合列式，消去，得，構(gòu)造函數(shù)，由，，可求出結(jié)果.方法二：易知曲線位于分段的兩個區(qū)間，且兩段屬于一凹一凸模型，故可以類比兩圓相離時的內(nèi)公切線，兩區(qū)間一定屬于同一單調(diào)區(qū)間，分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得出結(jié)果.【解析】解法一：當時，的導數(shù)為；當時，的導數(shù)為，設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點，且，當，或時，，故，當時，函數(shù)在點處的切線方程為；當時，函數(shù)在點處的切線方程為．兩直線重合的充要條件是①，②，由得，由①②可得，設(shè)，由，，可得，可能；由，B不正確；由①可得，由②可得，即有，則C，D不正確．解法二：如圖，易知曲線位于分段的兩個區(qū)間，且兩段屬于一凹一凸模型，故可以類比兩圓相離時的內(nèi)公切線，兩區(qū)間一定屬于同一單調(diào)區(qū)間，時，屬于單調(diào)增區(qū)間，故當時，的單調(diào)增區(qū)間為，根據(jù)圖像，可以位于此區(qū)間，另一個點B所在區(qū)間，不好把握.故選：A．題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題【典例11-1】已知函數(shù)，為的導函數(shù)，則.【答案】8【解析】設(shè)，顯然為奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以.故答案為：8【典例11-2】（2024·海南海口·二模）已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】因為是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則，當時，，，，則，，即曲線在點處切線的斜率為2.故選：C.【方法技巧】奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).【變式11-1】（2024·北京·模擬預測）記函數(shù)的最小正周期為T，為的導函數(shù)．若，為偶函數(shù)，則的最小值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由且，則，又，故，則，得，由為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，所以且，則，，當時的最小值為2.故選：B【變式11-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因為奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以，得．由為奇函數(shù)可得，得，又，所以，所以，，故，故選：A.【變式11-3】（2024·全國·模擬預測）已知為奇函數(shù)，且當時，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線在點處的切線方程為．【答案】【解析】由題設(shè)，當時，，故時，，所以，而，故切線方程為，即．故答案為：題型十二：切線斜率的取值范圍問題【典例12-1】過函數(shù)圖像上一個動點作函數(shù)的切線，則切線傾斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，可得，因為，所以，即切線的斜率，設(shè)切線的傾斜角為，則又因為，所以或，即切線的傾斜角的范圍為.故選：B.【典例12-2】（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為．【答案】18【解析】由于，故，故，，則，由，得，由，即，知位于之間，不妨設(shè)，則，故，當且僅當，即時等號成立，故則的最小值為18，故答案為：18【方法技巧】利用導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.【變式12-1】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線與曲線切于點，則，所以切線方程為，所以，，所以，設(shè)，，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：A.【變式12-2】點P在曲線上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為，則角