13.3.1等腰三角形 課件2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

13.3.1等腰三角形我們知道，由等腰三角形的定義，可以判斷一個(gè)三角形是否為等腰三角形，即如果給定的三角形有兩條邊相等，就說(shuō)這個(gè)三角形是等腰三角形.還有沒(méi)有別的判定方法呢？我們知道，等腰三角形的兩底角相等.反過(guò)來(lái)，在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它是等腰三角形嗎？知識(shí)回顧操作探究：在半透明紙上畫(huà)一線段BC，然后以BC為始邊，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為頂點(diǎn)，畫(huà)兩個(gè)相等的角（使用量角器），如下圖所示，兩角終邊的交點(diǎn)為點(diǎn)A，那么，在△ABC中，∠B=∠C.用刻度尺找出邊BC的中點(diǎn)D，連接AD，然后沿AD對(duì)折，觀察邊AB與AC能否重合？操作探究邊AB與AC是完全重合的，即AB=AC.結(jié)論：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.結(jié)論：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.探究證明你能從理論上證明這個(gè)結(jié)論嗎？已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C.求證：△ABC是等腰三角形.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作邊BC上的高線AD.則∠ADC=∠ADB=90°.∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.D等腰三角形的判定定理：

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）.典型例題例1在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.

判斷△ABC是什么三角形，為什么？提示：要判定一個(gè)三角形是否為等腰三角形，可以用兩邊相等，也可以用兩角相等進(jìn)行判斷.本題給出的條件都是角的大小，因此我們可以運(yùn)用是否有兩角相等進(jìn)行判斷.解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°.∵∠B=70°，∴∠C=∠B.∴△ABC是等腰三角形（等角對(duì)等邊）.解：本題共有兩種情況.第一種情況：過(guò)點(diǎn)P作PD∥OB交OC于點(diǎn)D.∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC.∵DP∥OB，∴∠PDO=∠BOC.∴∠AOC=∠PDO.∴OP=PD.∴△OPD為等腰三角形.例2如圖，OC是∠AOB的平分線，P為OA上一點(diǎn)，請(qǐng)過(guò)P點(diǎn)添加條平行線，構(gòu)造出等腰三角形.提示：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線已知直線平行.所以，過(guò)P點(diǎn)可以分別作OB和OC的平行線.如圖所示.例2如圖，OC是∠AOB的平分線，P為OA上一點(diǎn)，請(qǐng)過(guò)P點(diǎn)添加條平行線，構(gòu)造出等腰三角形.提示：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線已知直線平行.所以，過(guò)P點(diǎn)可以分別作OB和OC的平行線.如圖所示.解：

第二種情況：過(guò)點(diǎn)P作PE∥OC交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵PE∥OC，∴∠EPO=∠AOC.∴∠E=∠BOC.∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC.∴∠EPO=∠E.∴OP=OE.∴△OPE是等腰三角形.這兩個(gè)圖形是關(guān)于角平分線、平行線、等腰三角形的一個(gè)基本圖形，通過(guò)探究，我們發(fā)現(xiàn)上述例題將結(jié)論和條件之一互換，結(jié)論還成立，即等腰三角形中，角平分線和平行線往往同時(shí)出現(xiàn).且滿足我們常說(shuō)的“知二推一”，上述圖形是基本圖形，要認(rèn)真領(lǐng)會(huì).探究發(fā)現(xiàn)探究1：如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O.（1）圖中有幾個(gè)等腰三角形？（2）若過(guò)O點(diǎn)作DE∥BC，分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，則圖中有幾個(gè)等腰三角形？說(shuō)明理由.兩個(gè)等腰三角形：△ABC和△OBC.等腰三角形：△ABC，△OBC，△ADE，△BCD，△COE.探究發(fā)現(xiàn)探究2：如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O.（1）若過(guò)O點(diǎn)作DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，則圖中有幾個(gè)等腰三角形？說(shuō)明理由.（2）探究DE，BD，CE之間滿足的等量關(guān)系.△BOD和△COE是等腰三角形，所以BD=OD，CE=OE.則DE=OD+OE=BD+CE.探究發(fā)現(xiàn)探究3：如圖，在△ABC中，∠ABC和外角∠ACP的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OD∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.探究DE，BD，CE之間滿足的等量關(guān)系.在圖1中，OB平分∠ABC，OD∥BC，則有∠1=∠2=∠3.所以BD=OD.在圖2中，OC平分∠ACP，OE∥PC，則有∠4=∠5=∠O.所以EO=EC.在圖3中，BD=OD，EO=EC，而OD=DE+OE，所以DE，BD，CE之間滿足的等量關(guān)系為BD=DE+CE.例3已知：如圖，AB=AD，∠ABC=∠ADC，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn).求證：CE平分∠BCD.證明：∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD（等邊對(duì)等角）.∵∠ADC=∠ABC，∴∠ADC-∠ADB=∠ABC-∠ABD.即∠BDC=∠DBC.∴BC=DC（等角對(duì)等邊）.∵E點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，∴CE平分∠BCD（三線合一）.例4已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D.求證：點(diǎn)D在AB的垂直平分線上.證明：∵∠C=90°，∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（三角形的內(nèi)角和為180°）.∵BD平分∠ABC（已知），∴∠DBA=∠ABC=30°（角平分線的定義）.∴∠DBA=∠A.∴BD=AD（等角對(duì)等邊）.∴點(diǎn)D在AB的垂直平分線上（垂直平分線的判定定理）.例5已知：如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD是角平分線.求證：BC=AD+BD.證明一：如圖，在BC上截取BE=BD，BF=AB，連接DE，DF.證明二：如圖，延長(zhǎng)BD至E，使得BE=BC，在BC上截取BF=AB，連接CE，DF.還有其他方法嗎？深入探究通過(guò)對(duì)等腰三角形的學(xué)習(xí)，我們知道了相等的邊所對(duì)的角相等，相等的角所對(duì)的邊也相等.那么不相等的邊（或角）所對(duì)的角（或邊）之間的大小關(guān)系怎樣呢？大邊所對(duì)的角也大嗎？請(qǐng)你畫(huà)出幾個(gè)不同的三角形探索一下.下面我們把這兩個(gè)命題證明一下.首先看命題：大邊對(duì)大角.已知：如圖，在△ABC中，AB＞AC.求證：∠ACB＞∠ABC.證明：在大邊AB上截取AD=AC，連接CD，那么△ACD為等腰三角形.∴∠ACD=∠ADC（等邊對(duì)等角）.∵∠ADC是△BCD的外角，∴∠ADC＞∠ABC.∵∠ACB＞∠ACD，∴∠ACB＞∠ABC.還有其他方法嗎？再看另一個(gè)命題：大角對(duì)大邊.已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC.求證：AB＞AC.證明：在∠ACB內(nèi)部截取∠DCB，使得∠DCB=∠ABC，且點(diǎn)D在邊AB上.∵∠DCB=∠ABC，∴DC=DB（等角對(duì)等邊）.∵AB=AD+DB，∴AB=AD+DC.又∵在△ADC中，AD+DC＞AC（兩邊之和大于第三邊），∴AB＞AC.請(qǐng)大家回顧本節(jié)課的內(nèi)容，總結(jié)梳理：1.等腰三角形的判定方法有哪幾種？2.結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切蔚男再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系.總結(jié)提升達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.如圖，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，圖中除BC外，與BC相等的線段分別是____________.2.如圖，在△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分別是∠BAC，∠ABC的平分線，MN過(guò)O點(diǎn)，且MN∥BA，分別交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M.則△CMN的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.3.如圖，已知BD是△ABC的角平分線，DE∥BC交AB于點(diǎn)E.求證：△BED是等腰三角形.4.如圖，在△ABC內(nèi)，∠B