數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)-整式的加減乘除與因式分解

第一講整式的加減乘除與因式分解代數(shù)式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式代數(shù)式的定義：用基本的運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫做代數(shù)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式.列代數(shù)式：列代數(shù)式實(shí)質(zhì)上是把“文字語(yǔ)言”翻譯成“符號(hào)語(yǔ)言”.列代數(shù)式的關(guān)鍵是正確地分析數(shù)量關(guān)系，要掌握和、差、積、商、冪、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等數(shù)學(xué)概念和有關(guān)知識(shí).在列代數(shù)式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：在同一問(wèn)題中，要注意不同的對(duì)象或不同的數(shù)量必須用不同的字母來(lái)表示；字母與字母相乘時(shí)可以省略乘號(hào)；在所列代數(shù)式中，若有相除關(guān)系要寫成分?jǐn)?shù)形式；列代數(shù)式時(shí)應(yīng)注意單位，單位名稱在代數(shù)式后面寫出來(lái)，如果結(jié)果為加減關(guān)系，必須用括號(hào)將代數(shù)式括起來(lái)；代數(shù)式中不要使用帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)必須把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù).單項(xiàng)式：像，，，，，……這些代數(shù)式中，都是數(shù)字與字母的積，這樣的代數(shù)式稱為單項(xiàng)式.也就是說(shuō)單項(xiàng)式中不存在數(shù)字與字母或字母與字母的加、減、除關(guān)系，特別的單項(xiàng)式的分母中不含未知數(shù).!單獨(dú)的一個(gè)字母或數(shù)也叫做單項(xiàng)式，例：、.單項(xiàng)式的次數(shù)：是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和.例如：?jiǎn)雾?xiàng)式，它的指數(shù)為，是四次單項(xiàng)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)(零除外)，它們的次數(shù)規(guī)定為零，叫做零次單項(xiàng)式.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)數(shù)的系數(shù).例如：我們把叫做單項(xiàng)式的系數(shù).同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.例如：是多項(xiàng)式.多項(xiàng)式的項(xiàng)：其中每個(gè)單項(xiàng)式都是該多項(xiàng)式的一個(gè)項(xiàng).多項(xiàng)式中的各項(xiàng)包括它前面的符號(hào).多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).多項(xiàng)數(shù)的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.講下列代數(shù)式分別填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：?jiǎn)雾?xiàng)式（）；多項(xiàng)式（）；二項(xiàng)式（）；二次多項(xiàng)式（）；整式（）找出下列各代數(shù)式中的單項(xiàng)式，并寫出各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù).；；；；；；；單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，求的值.若與是同類項(xiàng)，求，的值.板塊二整式加減合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)時(shí)，只需把系數(shù)相加，所含字母和字母指數(shù)不變.若與的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，求、的值.化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：第一個(gè)多項(xiàng)式是，第二個(gè)多項(xiàng)式是第一個(gè)多項(xiàng)式的倍少，第三個(gè)多項(xiàng)式是前兩個(gè)多項(xiàng)式的和，求這三個(gè)多項(xiàng)式的和.有這樣一道題：“已知，，，當(dāng)，，時(shí)，求的值”．有一個(gè)學(xué)生指出，題目中給出的，是多余的．他的說(shuō)法有沒(méi)有道理？為什么？?jī)绲倪\(yùn)算概念：求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪，在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù).含義：中，為底數(shù)，為指數(shù)，即表示的個(gè)數(shù)，表示有個(gè)連續(xù)相乘.例如：表示，表示，表示表示，表示特別注意負(fù)數(shù)及分?jǐn)?shù)的乘方，應(yīng)把底數(shù)加上括號(hào).“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：口訣“奇負(fù)偶正”在多處知識(shí)點(diǎn)中均提到過(guò)，它具體的應(yīng)用有如下幾點(diǎn)：⑴多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“－”號(hào)的個(gè)數(shù)，例如：；.⑵有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如：，而.⑶有理數(shù)乘方，這里奇、偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，.特別地：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；而當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，1的任何次冪都是1，任何不為0的數(shù)的0次冪都是“1”.⑴同底數(shù)冪相乘．同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．用式子表示為：（都是正整數(shù)）．⑵冪的乘方．冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．用式子表示為：（都是正整數(shù)）．⑶積的乘方．積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．用式子表示為：（是正整數(shù)）．⑷同底數(shù)冪相除．同底數(shù)的冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．用式子表示為：（，，都是正整數(shù)）⑸規(guī)定；（，是正整數(shù)）．下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．計(jì)算：計(jì)算：計(jì)算：計(jì)算：填空：；填空：；填空：；填空：填空：；；；計(jì)算：__________為自然數(shù)，那么；；；當(dāng)為數(shù)時(shí)，；當(dāng)為數(shù)時(shí)，計(jì)算：計(jì)算：_____________．計(jì)算：計(jì)算：計(jì)算：已知，，求的值．若，求.已知，，、是正整數(shù)且．求下列各式的值：①；②．已知，求．板塊二冪的大小比較比較，，的大?。阎?，則的大小關(guān)系為整式的乘法⑴單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，只有一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.以下舉例說(shuō)明單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的規(guī)則如下：，兩個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)分別為1和3，乘積的系數(shù)是3，兩個(gè)單項(xiàng)式中關(guān)于字母的冪分別是和，乘積中的冪是，同理，乘積中的冪是，另外，單項(xiàng)式中不含的冪，而中含，故乘積中含.⑵單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式分別與多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)相乘，然后把所得的積相加，公式為：，其中為單項(xiàng)式，為多項(xiàng)式.⑶多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：將一個(gè)多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式分別與另一個(gè)多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式相乘，然后把積相加，公式為：若分別是關(guān)于的次多項(xiàng)式與次多項(xiàng)式，則()A．一定是次多項(xiàng)式B．一定是次多項(xiàng)式C．一定是次或次多項(xiàng)式D．無(wú)法確定次數(shù)先化簡(jiǎn)，在求值：，其中計(jì)算．使的積中不含和，求，的值.整式的除法⑴單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式中含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.如：，被除式為，除式為，系數(shù)分別為3和1，故商中的系數(shù)為3，的冪分別為和，故商中的冪為，同理，的冪為，另外，被除式中含，而除式中不含關(guān)于的冪，故商中的冪為.⑵多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，然后把所得的商相加，公式為：，其中為單項(xiàng)式，為多項(xiàng)式.計(jì)算：； 計(jì)算：算：；如果被除后余6，求的值及商式．計(jì)算：因式分解的基本概念因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也可稱為將這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解與整式乘法互為逆變形：式中可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，它是多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的因式，稱為公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法.分解因式的一般步驟：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提公因式；如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，再看能否直接運(yùn)用公式十字相乘法分解，如還不能，就試用分組分解法或其它方法.注意事項(xiàng)：①若不特別說(shuō)明，分解因式的結(jié)果必須是每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止；②結(jié)果一定是乘積的形式；③每一個(gè)因式都是整式；④相同的因式的積要寫成冪的形式.在分解因式時(shí)，結(jié)果的形式要求：①?zèng)]有大括號(hào)和中括號(hào)；②每個(gè)因式中不能含有同類項(xiàng)，如果有需要合并的同類項(xiàng)，合并后要注意能否再分解；③單項(xiàng)式因式寫在多項(xiàng)式因式的前面；④每個(gè)因式第一項(xiàng)系數(shù)一般不為負(fù)數(shù)；⑤形式相同的因式寫成冪的形式.判斷下列各式從左到右的變形是否是分解因式，并說(shuō)明理由.⑴；⑵⑶；⑷觀察下列從左到右的變形：⑴；⑵⑶；⑷其中是因式分解的有（填括號(hào)）提公因式法提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，一般要將公因式提到括號(hào)外面.確定公因式的方法：系數(shù)——取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母(或多項(xiàng)式因式)——取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次冪.分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：不解方程組，求代數(shù)式的值．若、、為的三邊長(zhǎng)，且，則按邊分類，應(yīng)是什么三角形？求代數(shù)式的值：，其中.公式法平方差公式：①公式左邊形式上是一個(gè)二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號(hào)相反；②每一項(xiàng)都可以化成某個(gè)數(shù)或式的平方形式；③右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積.完全平方公式：①左邊相當(dāng)于一個(gè)二次三項(xiàng)式；②左邊首末兩項(xiàng)符號(hào)相同且均能寫成某個(gè)數(shù)或式的完全平方式；③左邊中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)或式的積的2倍，符號(hào)可正可負(fù)；④右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項(xiàng)的符號(hào)決定.一些需要了解的公式：分解因式： 分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：利用分解因式證明：能被120整除．分解因式：；分解因式：；分解因式：；分解因式：分解因式：分解因式：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：分解因式：若，，為正數(shù)，且滿足，那么之間有什么關(guān)系？十字相乘法十字相乘法： 一個(gè)二次三項(xiàng)式，若可以分解，則一定可以寫成的形式，它的系數(shù)可以寫成，十字相乘法就是用試驗(yàn)的方法找出十字線兩端的數(shù)，其實(shí)就是分解系數(shù)a，b，c，使得：，，，若不是一個(gè)平方數(shù)，那么二次三項(xiàng)式就不能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解分解因式：分解因式：分解因式等于（）A．B．C．D．分解因式： 分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：分解因式：板塊三：雙十字相乘雙十字相乘法： 對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式，可以看作先將關(guān)于的二次三項(xiàng)式的“常數(shù)項(xiàng)”用十字相乘法分解，然后再次運(yùn)用十字相乘法將關(guān)于的二次三項(xiàng)式分解。由于這種方法兩次使用了十字相乘法，故稱之為雙十字相乘法.分解因式：分解因式：分式的概念：當(dāng)兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí)，出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)；類似的當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí)，就出現(xiàn)了分式．一般地，如果，表示兩個(gè)整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．整式與分式統(tǒng)稱為有理式．在理解分式的概念時(shí)，注意以下三點(diǎn)：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不為0；⑶分式必然是寫成兩式相除的形式，中間以分?jǐn)?shù)線隔開(kāi)．分式有意義的條件：兩個(gè)整式相除，除數(shù)不能為0，故分式有意義的條件是分母不為0，當(dāng)分母為0時(shí)，分式無(wú)意義．如：分式，當(dāng)時(shí)，分式有意義；當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義．分式的值為零：分式的值為零時(shí)，必須滿足分式的分子為零，且分式的分母不能為零，注意是“同時(shí)”．分式的基本性質(zhì)：分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同時(shí)乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．上述性質(zhì)用公式可表示為：，()．注意：①在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，基于的前提是；②強(qiáng)調(diào)“同時(shí)”，分子分母都要