河南省焦作市中站區(qū)2020-2021學年九年級（上）期末數(shù)學試卷 解析版

2020-2021學年河南省焦作市中站區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個

是正確的，將正確答案前的代號字母填涂在答題卷上指定的位置。

1.四邊形ABCQ是菱形，對角線AC,相交于點O,且NACQ=30°,BD=2,則菱形

ABC。的面積為（）

B

C

D

A.2百B.473C.4D.8

2.若關(guān)于x的一元二次方程（k+1）/+2（A+l）x+k-2=0有實數(shù)根，則k的取值范圍在數(shù)

軸上表示正確的是（）

A.Tf——》B.0~

C.-+d>D.―

3.在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和4個黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖

勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球?qū)嶒灠l(fā)現(xiàn)，摸

到黃球的頻率是0.2,則估計盒子中大約有紅球（）

A.16個B.20個C.25個D.30個

4.若點A（-1,y\）,B（2,>2）,C（3,”）在反比例函數(shù)y=一2的圖象上，則yi,yi,

x

y3的大小關(guān)系是（）

A.yi>j2>y3B.C.yi>*>y2D.yi>yz>y\

5.在陽光下，一名同學測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時另一名

同學測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學樓的第一級臺

階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影

長為4.42米，則樹高為（）

A.6.93米B.8米C.11.8米D.12米

6.如圖，在△ABC中，NACB=90°，AC=BC=4,將△ABC折疊，使點A落在BC邊上

的點。處，EF為折痕，若AE=3,則sin/BFO的值為（)

7.如圖，點A的坐標為（-3,-2）,OA的半徑為1,尸為x軸上一動點，PQ切OA于點

Q,則當PQ最小值時，點尸的坐標為（）

A.(-4,0)B.(-2,0)

C.(-4,0)或(-2,0)D.(-3,0)

8.如圖，二次函數(shù)y=a?+版+c（a#0）圖象與x軸交于A,B兩點，與），軸交于C點，且

對稱軸為x=l,點B坐標為（-1,0）.則下面的四個結(jié)論：①2a+b=0；②4a-2b+c

<0；③廬-4ac>0；④當yVO時，*<-1或》>2.其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

9.如圖，在△ABC中，A8=10,4c=8,BC=6,以邊4B的中點。為圓心，作半圓與4c

相切，點P,Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接P。，則PQ長的最大值與最小值的

A.6B.2^/134-1C.9D.駕

3

10.如圖，在正方形ABC。中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作E尸〃AD,與AC、

DC分別交于點G,F,"為CG的中點，連結(jié)。E、EH、DH、FH.下列結(jié)論：①EG=

DF；②四△QHC；③NAE4+NA。”=180°；④若坐=2,則整其

AB3SAEDH13

中結(jié)論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.現(xiàn)定義運算“★”，對于任意實數(shù)。、b,都有“★6=/-3a+6,如：3*5=32-3X3+5,

若x*2=6,則實數(shù)x的值是.

12.已知拋物線y=-/-3x+3,點尸（〃?，〃）在拋物線上，則機+〃的最大值是.

13.如圖，四邊形ABCQ內(nèi)接于。0,AD//BC,直線EF是。。的切線，B是切點.若NC

=80°,ZADB=54°,則NCB尸=°.

14.如圖，A,B是反比例函數(shù)y=K圖象上的兩點，過點A作ACLy軸，垂足為C,AC交

X

轉(zhuǎn)90°后得RtAFOE,將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED,分別以O(shè),E

為圓心，04、EO長為半徑畫弧AF和弧DF,連接A。，則圖中陰影部分面積是.

三、解答題(本大題共8題，共75分)

16.解方程：

(1)2(7+3x)+3=0；

(2)3(x-5)2=4(5-x).

17.小李要外出參加“建國70周年”慶?；顒?，需網(wǎng)購一個拉桿箱，圖①，②分別是她上

網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿。E,箱長BC,

拉桿48的長度都相等，BPDE^BC=AB,B,尸在AC上，C在。E上，支桿。尸=30cm,

CE：8=1：3,NDCF=45°,ZCDF=30°,請根據(jù)以上信息，解決下列問題.

(1)求AC的長度(結(jié)果保留根號)；

(2)求拉桿端點A到水平滑桿ED的距離(結(jié)果保留根號).

圖1圖2

18.如圖，直線)，=2JC+6與反比例函數(shù)y=K(%>0)的圖象交于點A(1,/n),與無軸交于

x

點、B,平行于x軸的直線)，=〃(0<n<6)交反比例函數(shù)的圖象于點M,交4B于點N,

連接

(1)求俄的值和反比例函數(shù)的表達式；

(2)直線y="沿)，軸方向平移，當w為何值時，△BMN的面積最大？

19.甲乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，把轉(zhuǎn)盤A、8分別分成4等份、3等份，并在每一份內(nèi)標上

數(shù)字，如圖所示.游戲規(guī)定：轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤停止后，指針必須指到某一數(shù)字，否則重轉(zhuǎn).

(1)請用樹狀圖或列表法列出所有可能的結(jié)果：

(2)若指針所指的兩個數(shù)字都是方程/-5x+6=0的解時，則甲獲勝；若指針所指的兩

個數(shù)字都不是方程/-5x+6=0的解時，則乙獲勝，問他們兩人誰獲勝的概率大？請分

20.如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB,由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點

C射進房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點。射進房間的地板E處，小

明測得窗子距地面的高度。0=08”，窗高CD=1.2辦并測得OE=0.8根，OF=3m,求

BOE

21.如圖，已知OO的半徑為1,AC是。。的直徑，過點C作。。的切線8C,E是8c的

中點，交。。于。點.

(1)直接寫出ED和EC的數(shù)量關(guān)系：；

(2)OE是。。的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；

(3)填空：當BC=時，四邊形AOE。是平行四邊形，同時以點。、D、E、C

為頂點的四邊形是.

22.己知，如圖①，在RtzMBC中，ZC=90°,乙4=60°,AB=\2cm,點P從點4沿

AB以每秒2cm的速度向點B運動，點Q從點C以每秒1cm的速度向點A運動，設(shè)點P、

Q分別從點A、C同時出發(fā)，運動時間為f(秒)(0<r<6),回答下列問題：

(1)直接寫出線段4P、A。的長(含/的代數(shù)式表示)：AP=,AQ=；

(2)設(shè)△APQ的面積為S,寫出S與f的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖②，連接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形尸QP'C,那么是否存在

某一時間f,使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時f的值；若不存在，說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A(-1,0),B(4,0),C

(0,-4)三點，點尸是直線8c下方拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)是否存在點p,使apoc是以。c為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；

若不存在，請說明理由；

(3)動點尸運動到什么位置時，八PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大

面積.

2020-2021學年河南省焦作市中站區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.四邊形ABC。是菱形，對角線AC,8C相交于點。，且N4C￡>=30°,BD=2,則菱形

ABC。的面積為（）

【分析】由菱形的性質(zhì)得出OA=OC=」XC,OB=OD^1.BD^\,ACLBD,在RtZ\OC。

22

中，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出CO=2OD=2,由勾股定理求出OC,得出AC,

由菱形的面積公式即可得出結(jié)果.

【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，

：.OA=OC=1AC,OB=OD=lj3D^\,ACLBD,

22

在RtAOCD中，

VZACD=30°,

:.CD=2OD=2,

OC="VCD2-0D2=V22-l2=代

.,.AC=2OC=2?,

菱形A8C￡>的面積=工080=工*2?*2=2?.

22

故選：A.

2.若關(guān)于x的一元二次方程a+i）/+2a+i）X+A-2=O有實數(shù)根，則々的取值范圍在數(shù)

軸上表示正確的是（）

A.-HB.~

C.十："D.~~>

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式

組，解之即可得出/的取值范圍，將其表示在數(shù)軸上即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?關(guān)于x的一元二次方程(k+1)7+2(Hl)x+&-2=0有實數(shù)根，

.k+17t0

\A=[2(k+l)]2-4(k+l)(k-2)>0，

解得：k>-1.

故選：A.

3.在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和4個黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖

勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復摸球?qū)嶒灠l(fā)現(xiàn)，摸

到黃球的頻率是0.2,則估計盒子中大約有紅球()

A.16個B.20個C.25個D.30個

【分析】利用大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的

幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固

定的近似值就是這個事件的概率.

【解答】解：設(shè)紅球有x個，根據(jù)題意得，

4：(4+x)=1：5,

解得x=16.

故選：A.

4.若點A(-1,yi),B(2,y2),C(3,在反比例函數(shù)y=一2的圖象上，則yi,yz,

x

”的大小關(guān)系是()

A.B.*>y3>yiC.y\>y3>yiD.y3>y2>yi

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出V、”、)，3的值，比較后即可得出結(jié)

論.

【解答】解：?.?點4(-1,yi)、B(2,?)、C(3,在反比例函數(shù)y=一旦的圖象上,

X

；.yi=-JZL=6,yz=-旦=-3,y3=--=-2,

-1-23

又；-3<-2<6,

Z.y]>y3>y2-

故選：C.

5.在陽光下，一名同學測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時另一名

同學測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學樓的第一級臺

階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影

長為4.42米，則樹高為（）

A.6.93米B.8米C.C.8米D.12米

【分析】作出圖形，先根據(jù)同時同地物高與影長成正比求出臺階的高落在地面上的影長

EH,再求出落在臺階上的影長在地面上的長，從而求出大樹的影長假設(shè)都在地面上的長

度，再利用同時同地物高與影長成正比列式計算即可得解

【解答】解：如圖，???班=’，

EH0.6

，EH=0.3X0.6=0.18,

.?.AF=AE+E/7+//F=4.42+0.18+0.2=4.8,

.?.AB_1>

AF0.6

.,.AB=AA=8（米）.

0.6

故選：B.

AEHF

6.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,將△ABC折疊，使點A落在BC邊上

的點。處，燈為折痕，若4E=3,則sin/BFD的值為（）

B.平。乎

【分析】由題意得：尸嶺△DEF,故NEDF=NA；由三角形的內(nèi)角和定理及平角的

知識問題即可解決.

【解答】解：?.?在△ABC中，NACB=90°,4c=BC=4,

NA=/B,

由折疊的性質(zhì)得到：△AEF絲△￡）￡：「,

:./EDF=ZA,

:.NEDF=NB,

：.ZCDE+ZBDF+ZEDF=ZBFD+ZBDF+ZB=180°,

；.NCDE=NBFD.

又：AE=O￡；=3,

ACE=4-3=1,

在直角中，sin/CQE=Cl=L,

ED3

.".sinZBFD=X

3

故選：A.

7.如圖，點A的坐標為（-3,-2）,OA的半徑為1,尸為x軸上一動點，PQ切OA于點

Q,則當PQ最小值時，點P的坐標為（）

C.（-4,0）或（-2,0）D.（-3,0）

【分析】連結(jié)4Q、AP,由切線的性質(zhì)可知4QLQP,由勾股定理可知。尸=JAP2-AQ2,

故此當AP有最小值時，PQ最短，根據(jù)垂線段最短可得到點尸的坐標.

【解答】解：連接AQ,AP.

根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得4Qd_PQ

要使P。最小，只需AP最小，

根據(jù)垂線段最短，可知當APJ_x軸時，AP最短，

點的坐標是（-3,0）.

故選：D.

8.如圖，二次函數(shù)〉=0?+云+。（a#0）圖象與x軸交于A,8兩點，與y軸交于C點，且

對稱軸為x=l,點B坐標為（-1,0）.則下面的四個結(jié)論：①2"+8=0；②4a-2b+c

<0；③戶-4ac>0；④當y<0時，*<-1或元>2.其中正確的有（）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，

從而可以解答本題.

【解答】解：二,二次函數(shù)yuM+bx+c（。中。）的對稱軸為x=l,

--=1,得2。+6=0,故①正確；

2a

當x=-2時，y=4a-2b+c<0,故②正確；

該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，則y-4ac>0,故③正確；

,二次函數(shù)y=ox2+6x+c（?W0）的對稱軸為x=l,點B坐標為（-1,0）,

...點4（3,0）,

.?.當y<0時，x<-1或x>3,故④錯誤；

故選：B.

9.如圖，在△ABC中，A8=10,AC=8,BC=6,以邊A3的中點。為圓心，作半圓與AC

相切，點尸，Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ,則PQ長的最大值與最小值的

和是（）

Q

oB

A.6B.2J134-1C.9D.駕

3

【分析】如圖，設(shè)。。與AC相切于點E,連接0E,作OPi_LBC垂足為Pi交。。于Qi,

此時垂線段0P1最短，PiQi最小值為。P1-0Q,求出OPi,如圖當Q在AB邊上時，

P2與B重合時，

P2Q2最大值=5+3=8,由此不難解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)。。與AC相切于點E,連接OE,作OPiLBC垂足為P交

于Q,

此時垂線段OP最短，/>1。1最小值為。「1-。。1,

\'AB=\0,AC=8,BC=6,

：.AB2=AC2+BC2,

AZC=90°,

VZOPiB=90°,

：.OP\//AC

'：AO=OB,

：.P\C=P\B,

：.OP\=1AC=4,

2

：.P\Q\最小值為OP\-OQi=l,

如圖，當。2在AB邊上時，/>2與B重合時，尸2。2經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，

P1Q1最大值=5+3=8,

：.PQ長的最大值與最小值的和是9.

故選：C.

c

10.如圖，在正方形ABC。中，AC為對角線，E為AB上一點,過點E作E尸〃AD,與AC、

DC分別交于點G,F,H為CG的中點，連結(jié)。E、EH、DH、FH.下列結(jié)論：①EG=

DF；②△E/7F四△QHC；③NAE4+NA。”=180°；④若坐=2,則整其

AB3SAEDH13

中結(jié)論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①根據(jù)題意可知/ACZ)=45°,則GF=FC,則EG=EF-GF=CD-FC=DF；

②由SAS證明即可；

③根據(jù)嶺△O，C,得到/HEF=NHDC,從而NAEH+NADH=NAEF+NHEF+

ZADF-Z/7DC=180°；

④若&L=2,則AE=2BE,可以證明△EGH絲△OF",則NEHG=/￡＞，/且EH=Z)H,

AB3

則/￡＞HE=90°,△￡〃￡＞為等腰直角三角形，過，點作HM垂直于CD于M點,設(shè)HM

=x,則DM=5x,DH=y[^c,CD=6x,則5ADHC=—XHMXCD—3^,S&EDH=LX

22

DH2=\3X2.

【解答】解：①???四邊形ABCa為正方形，EF//AD,

：.EF=AD=CD,ZACD=45°,ZGFC=90°,

；.△CFG為等腰直角三角形，

，GF=FC,

"：EG=EF-GF,DF=CD-FC,

：.EG=DF,故①正確；

②CFG為等腰直角三角形，〃為CG的中點，

：.FH=CH,NGFH=L/GFC=45°=ZHCD,

2

在△￡///和中，

'EF=CD

,ZEFH=ZDCH-

FH=CH

:.△EHgADHC(SAS),故②正確；

③:?△EHF學/\DHC(已證)，

NHEF=ZHDC,

：.ZAEH+ZADH^ZAEF+ZHEF+ZADF-ZHDC^ZAEF+ZADF^1SO0,故③正

確；

AE=2；

AB3

：.AE=2BE,

???△CFG為等腰直角三角形，”為CG的中點，

：.FH=GH,NFHG=90°,

NEGH=NFHG+NHFG=90°+NHFG=ZHFD,

在△EG”和中，

'EG=DF

<ZEGH=ZHFD?

GH=FH

:.△EGHqADFH(SAS),

NEHG=ZDHF,EH=DH,NDHE=NEHG+NDHG=NDHF+NDHG=NFHG=

90°,

：./\EHD為等腰直角三角形，

如圖，過〃點作HM_LC￡)于M,

設(shè)”M=x,則。M=5x,DH=42^,CD=6x,

則SADHC=LXHMXCD=3/,SAEDH=工義Dlf=13?,

22

3s&EDH=T3S&DHC,故④正確;

故選：D.

二.填空題(共5小題)

11.現(xiàn)定義運算“★”，對于任意實數(shù)a、b,都有3a+6,如：3*5=32-3X3+5,

若x*2=6,則實數(shù)x的值是-1或4.

【分析】根據(jù)題中的新定義將所求式子轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求出一元二次方程的解即

可得到x的值.

【解答】解：根據(jù)題中的新定義將x*2=6變形得：

/-3x+2=6,即/-3x-4=0.

因式分解得：(x-4)(x+1)=0,

解得：xi=4,X2=-1,

則實數(shù)x的值是-1或4.

故答案為：-1或4

12.已知拋物線y=3x+3,點、P(m,n)在拋物線上，則一+w的最大值是4.

【分析】把點尸(〃?，〃)代入拋物線的解析式，得到〃=-〃?2_3〃?+3,等式兩邊同加〃?

得m+"=-H?-2/M+3,得到〃計〃關(guān)于根的二次函數(shù)解析式，然后整理成頂點式形式，

再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答.

【解答】解：???點P(m,?)在拋物線y=-/-3x+3上，

?\n=-m-3/77+3,

Am+n=-HI2-2/72+3=-(zn+1)2+4,

???當機=-1時，m+〃有最大值4.

故答案為：4.

13.如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于OO,AD//BC,直線E尸是。0的切線，8是切點.若NC

=80°,NAO8=54°,貝46°.

D.

w

EBF

【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建等腰三角形和同弧所對的圓心角/B。。，可得/800=

160°,根據(jù)同圓的半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)可得/。8。=10°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形

對角互補和平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理可得/OBC的度數(shù)，由切線的性質(zhì)可得

結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接。。、OB,

VZC=80°,

：.ZBOD=2ZC=\60°,

'：OB=OD,

：.ZOBD=180_21601_=10°,

2

,/四邊形ABCD內(nèi)接于OO,

；.乙4=100°,

"."AD//BC,

：.ZA+ZABC=180°,

AZABC=80°,

△ABO中，NADB=54°,

.?.NABO=180°-54°-100°=26°,

AZOBC=80°-26°-10°=44°,

是OO的切線，

：.ZOBF=90°,

AZCfiF=90°-NOBC=90°-44°=46°,

故答案為：46.

14.如圖，A,B是反比例函數(shù)）＞=上圖象上的兩點，過點A作ACJ_y軸，垂足為C,AC交

x

0B于點若。為的中點，△AO。的面積為3,則k的值為8.

【分析】先設(shè)點。坐標為（a,b）,得出點B的坐標為（2a,2b）,A的坐標為（4a,b）,

再根據(jù)△AOO的面積為3,列出關(guān)系式求得”的值.

【解答】解：設(shè)點。坐標為（a,b）,

:點。為OB的中點,

...點B的坐標為（2a,2b）,

k=4ab,

又??,4C，y軸，A在反比例函數(shù)圖象上，

的坐標為（4mb）,

??AZ）=4Q-d~~3ci9

「△A。。的面積為3,

—X3“Xb=3,

2

:?ab=2,

/?k=4ab=4X2=8.

故答案為：8

15.如圖，在RtZXAOB中，NAOB=90°,0A=3,08=2,將RtZ\A08繞點。順時針旋

轉(zhuǎn)90°后得Rt^FOE,將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED,分別以0,E

為圓心，。4、￡力長為半徑畫弧A尸和弧。凡連接AO,則圖中陰影部分面積是8-TT.

【分析】作于“，根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)陰影部分面積=的面積+

△EOF的面積+扇形AOF的面積一扇形。EF的面積、利用扇形面積公式計算即可.

【解答】解：作。，_L4E于從

?.?/AOB=90°,0A=3,0B=2,

/lB=VoA2-H3B2=岳'

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OE=OB=2,DE=EF=AB=yfl3,△￡＞，￡絲△BOA,

:.DH=0B=2,

陰影部分面積=的面積+Z\EOF的面積+扇形AOF的面積-扇形DEF的面積

=1X5X2+1X2X3+9。兀X[2_90.兀X(E

22360360

=8-n,

故答案為：8-1T.

三.解答題

16.解方程：

(1)2(?+3x)+3=0；

(2)3(x-5)2=4(5-%).

【分析】(1)根據(jù)公式法即可求出答案.

(2)根據(jù)因式分解法即可求出答案.

【解答】解：(1)；2X2+6X+3=0,

??Q=2,b=6,c=3,

AA=36-24=12>0,

.-b±7b2-4ac_~6±^-3±V3

?---------------------—-------------=------------,

2a42

.-3+V3x._-3-V3.

22

（2）V3（工-5）2=4（5-x）,

???（x-5）⑶-口）=0,

Ax-5=0或3x-11=0,

?-?<xi=5,X121=±L.

3

17.小李要外出參加“建國70周年”慶?；顒?，需網(wǎng)購一個拉桿箱，圖①，②分別是她上

網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿DE,箱長BC,

拉桿A8的長度都相等，即。E=BC=AB,B,尸在AC上，C在DE上,支桿。尸=30cm,

CE：CD=1：3,NOCF=45°,ZCDF=30°,請根據(jù)以上信息，解決下列問題.

（1）求AC的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求拉桿端點4到水平滑桿ED的距離（結(jié)果保留根號）.

圖1圖2

【分析】（1）過尸作FHLDE于”，解直角三角形即可得到結(jié)論：

（2）過A作4GLE。交EZ）的延長線于G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）過尸作于”，

：.ZFHC=ZFHD=90°,

VZF￡>C=30°,OF=30,

；.FH=&F=15,DH=?DF=15如,

22

VZFC//=45°,

：.CH=FH=\5,

.?.CD=CH+DH=15+1訴

；CE：CD=\：3,

￡>E=-|CD=2O+2OV3>

"：AB=BC=DE,

：.AC=(40+40后cm；

(2)過4作AGA.ED交ED的延長線于G,

'：ZACG=45

答：拉桿端點A到水平滑桿E￡?的距離為(20后20代)cm.

圖2

18.如圖，直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=K(%>0)的圖象交于點A(1,/?),與x軸交于

x

點、B,平行于x軸的直線y=〃(0<n<6)交反比例函數(shù)的圖象于點M,交AB于點、N,

連接8M.

(1)求〃?的值和反比例函數(shù)的表達式；

(2)直線y="沿y軸方向平移，當〃為何值時，△8MN的面積最大？

【分析】(1)求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題;

(2)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

【解答】解：(1)???直線y=2x+6經(jīng)過點A(1,〃?)，

??/%=2義1+6=8，

：.A(1,8),

?.?反比例函數(shù)經(jīng)過點A(1,8),，8=K,

1

"=8,

...反比例函數(shù)的解析式為y=g.

X

(2)由題意，點M,N的坐標為用(旦，〃)，N(二二2”)，

n2

；0<〃<6,

...n-6<0,

2

:&BMN=LX(|21Z^+|lj)X“=Lx(-nzl+2.)X"=-L("-3)2+至，

22n22n44

.??“=3時，△BMN的面積最大.

19.甲乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，把轉(zhuǎn)盤A、8分別分成4等份、3等份,并在每一份內(nèi)標上

數(shù)字，如圖所示.游戲規(guī)定：轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤停止后，指針必須指到某一數(shù)字，否則重轉(zhuǎn).

(1)請用樹狀圖或列表法列出所有可能的結(jié)果；

(2)若指針所指的兩個數(shù)字都是方程,-5x+6=0的解時，則甲獲勝；若指針所指的兩

個數(shù)字都不是方程,-5x+6=0的解時，則乙獲勝，問他們兩人誰獲勝的概率大？請分

【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖或列表，然后由表格或樹狀圖求得所有等可能的

結(jié)果；

(2)首先求得方程%2-5x+6=0的解，由概率公式即可求得甲獲勝與乙獲勝的概率，繼

而求得他們兩人誰獲勝的概率大.

【解答】解：(1)列表如下：

1234

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

（2）因為，方程7-5x+6=0的解是：Xi—2,X2—3,

所以，從上表中可看出，指針所指的兩個數(shù)字有12種等可能的結(jié)果，其中兩個數(shù)字都是

方程x2-5x+6=0的解有4次，兩個數(shù)字都不是方程/-5x+6=0的解有2次，

所以，P（甲勝）=_￡=▲,P（乙勝）

123126

所以，此游戲甲獲勝的概率大.

20.如圖，小明家窗外有一堵圍墻A8,由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點

C射進房間的地板下處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點。射進房間的地板E處，小

明測得窗子距地面的高度00=0.8%,窗高C￡）=1.2m并測得OE=0.8m,OF=3m,求

【分析】首先根據(jù)。。=OE=0.8,m可得/￡>EB=45°,然后證明A8=BE,再證明^山?尸

-ACOF,可得膽=里，然后代入數(shù)值可得方程，解出方程即可得到答案.

BFOF

【解答】解：延長OQ,

■:DO工BF,

：.ZDOE=90°,

VOD=0.8m,OE=O.Sm9

：.ZDEB=45°,

VAB1BF,

；?NBAE=45°,

：.AB=BE,

設(shè)AB=EB=xm,

CO上BF,

：.AB//CO,

：.XABFs/\COF,

?AB=CO

"BFOF'

x_1.2+0.8

x+（3-0.8）3-

解得：x—4.4.

經(jīng)檢驗：x=4.4是原方程的解.

21.如圖，已知。0的半徑為1,AC是OO的直徑，過點C作。。的切線BC,E是BC的

中點，A2交。0于。點.

(1)直接寫出和EC的數(shù)量關(guān)系：ED=EC；

(2)OE是。。的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；

(3)填空：當BC=2時,四邊形AOED是平行四邊形，同時以點。、D、E、C為

頂點的四邊形是正方形.

【分析】(1)連結(jié)CZ),如圖，由圓周角定理得到NAOC=90°,然后根據(jù)直角三角形斜

邊上的中線直線得到DE=CE=BE；

(2)連結(jié)OD如圖，利用切線性質(zhì)得/2+/4=90°,再利用等腰三角形的性質(zhì)得/I

=N2,Z3=Z4,所以Nl+N3=N2+N4=90°,于是根據(jù)切線的判定定理可判斷

是。。的切線；

(3)要判斷四邊形AOEZ)是平行四邊形，則。E=OA=1,所以BC=2,當8c=2時，

△4CB為等腰直角三角形，則NB=45°,又可判斷△88為等腰直角三角形，于是得

到QELBC,D￡=XBC=1,所以四邊形AOE。是平行四邊形；然后利用OQ=OC=C￡

2

=DE=\,ZOC￡=90°可判斷四邊形OCE。為正方形.

【解答】解：(1)連結(jié)CD,如圖，

；AC是OO的直徑，

：.ZADC=90a,

是8c的中點，

:.DE=CE=BE；

(2)OE是00的切線.理由如下：

連結(jié)OD,如圖，

為切線，

：.OC±BC,

：.ZOCB=90°,即N2+/4=90°,

\"OC=OD,ED=EC,

.\Z1=Z2,Z3=Z4,

/.Zl+Z3=Z2+Z4=90°,即NOZ>E=90°,

：.OD1DE,

是。。的切線；

(3)當8c=2時，

'：CA=CB=2,

.?.△AC8為等腰直角三角形，

：.NB=45°,

...△BCD為等腰直角三角形，

J.DELBC,DE=XBC=1,

2

"：OA=DE=\,AO//DE,

四邊形AOED是平行四邊形；

；OD=OC=CE=DE=1,ZOCE=90°,

四邊形OCE。為正方形.

故答案為￡D=EC；2,正方形.

22.已知，如圖①，在RtZ^ABC中，ZC=90",/A=60°,AB^Ucm,點尸從點A沿

AB以每秒2cm的速度向點8運動，點。從點C以每秒1cm的速度向點A運動，設(shè)點P、

Q分別從點A、C同時出發(fā)，運動時間為秒)(0<r<6),回答下列問題：

(1)直接寫出線段AP、A。的長(含I的代數(shù)式表示)：AP=2t,A0=6-f:

(2)設(shè)AAP。的面積為S,寫出S與f的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖②，連接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形尸QP'C,那么是否存在

某一時間/，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時,的值；若不存在，說明理由.

【分析】(1)根據(jù)NA=60°,AB=]2cm,得出AC的長，進而得出4P=2f,AQ=6-t.

(2)過點P作PHJ_AC于H.由AP=2r,AH=t,得出從而求得S