2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其應(yīng)用一課一練含解析新人教B版必修第一冊

PAGEPAGE6等式與不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其應(yīng)用考點(diǎn)1均值不等式的理解1.(2024·山東兗州二中高二月考)若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是()。A.a2+b2>2ab B.a+b≥2abC.1a+1b>2ab D.ba答案：D解析：a2+b2≥2ab,所以A錯誤;ab>0,只能說明兩實(shí)數(shù)同號,同為正數(shù),或同為負(fù)數(shù),所以當(dāng)a<0,b<0時(shí),B錯誤;同理,C錯誤;ab或ba都是正數(shù),依據(jù)不等式求最值,ab+ba≥2a2.若a,b∈R,則下列不等式恒成立的是()。A.|a+b|2≥|ab|C.a2+b22≥a+b22答案：C解析：對于A,當(dāng)a,b同號時(shí),不等式成立,當(dāng)a,b異號時(shí),不等式不成立,故A中不等式不恒成立;對于B,當(dāng)a,b同號時(shí),不等式成立,當(dāng)a,b異號時(shí),-ab+ba≥2ab·ba=2,那么ab+ba≤-2,故B中不等式不恒成立;對于C,a2+b22≥a+b22,故C中不等式恒成立;對于D,(a+b)1a+1b=2+ab+ba,當(dāng)a,b同號時(shí)ab+ba≥2,原不等式成立,當(dāng)3.(2024·北京第九十四中高二期中)若正實(shí)數(shù)a,b滿意1a+2b=2ab,則ab的最小值為(A.2 B.2 C.22 D.4答案：B解析：對于正實(shí)數(shù)a,b,由均值不等式可知1a+2b≥22ab,當(dāng)且僅當(dāng)1a=2b時(shí)取等號,則2ab≥24.(2024·北京東城區(qū)高二周練)已知x<0,函數(shù)y=4x+x的最大值是()A.22 B.4 C.-22 D.-4答案：D解析：y=x+4x=-(-x)+-4x,因?yàn)閤<0,所以-x>0,-4x>0,所以(-x)+-4x≥4,所以y=-(-x)+-4x5.設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是()。A.a<b<ab<a+b2 B.a<ab<C.a<ab<b<a+b2 D.ab<a<答案：B解析：因?yàn)?<a<b,則ab<a+b2,且a+b2<b+b2=b,又a=aa<ab,故a<6.(2024·日照第一中學(xué)高二月考)設(shè)a,b,c∈R,則“abc=1”是“1a+1b+1c≤a+b+c”的(A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要的條件答案：A解析：由于1a+1b+1c12(b可知當(dāng)abc=1時(shí),可推出1a+1b+1c≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,滿意1a+1b+1c≤a+b+c,但abc=1不成立。故“abc=1”是“1a+1b+7.(2024·北京西城區(qū)高二期中)已知不等式:①x2+3>2x;②ab+ba≥2(ab>0);③2aa2+1<1(a≠1)答案：①②③解析：對于①,x2+3-2x=(x-1)2+2>0,正確;對于②,因?yàn)閍b>0,ba>0,所以ab+ba≥2恒成立;對于③,∵a≠1,∴2a<a2+1,即2考點(diǎn)2利用均值不等式比較大小8.(2024·北京北外附校高二月考)已知x,y均為正數(shù),且x≠y,則下列四個數(shù)中最大的一個是()。A.121xC.1xy D.答案：A解析：取x=1,y=2,可得121x+1y=34,1x+y=13,1xy=9.若0<a<b且a+b=1,則下列四個數(shù)中最大的一個是()。A.12 B.a2+b2 C.2ab D.答案：B解析：由題意知0<a<12,依據(jù)重要不等式知當(dāng)0<a<b時(shí),a2+b2>(a+b)22=12,而2ab<(a+b)22=12。由a+b=1及0<a<b可知12<b<1,即2b>1,所以210.(2024·沈陽四中高二月考)a,b是正數(shù),則a+b2,ab,2aba+bA.a+b2≤ab≤2aba+bC.2aba+b≤ab≤a+b2答案：C解析：因?yàn)閍,b是正數(shù),所以a+b2≥ab,再比較a+b2或ab與2aba+b的大小即可,而2aba+b≤11.(2024·山東濱城區(qū)一中高二月考)若m,n,a,b,c,d均為正數(shù),p=ab+cd,q=ma+nc·bm+dn,則p,A.p≥q B.p≤qC.p>q D.不確定答案：B解析：q=ab+madn+nbcm+cd≥ab+2abcd+cd12.設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),則三個數(shù)a+1b,b+1c,c+1a(A.都大于2 B.都小于2C.至少有一個不大于2 D.至少有一個不小于2答案：D解析：∵a>0,b>0,c>0,∴a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c≥6,當(dāng)且僅當(dāng)考點(diǎn)3利用均值不等式求最值之無條件求最值13.(2024·丹東四中高二月考)若x>0,則x+2x的最小值是()A.2 B.4 C.2 D.22答案：D解析：由均值不等式可得x+2x≥2x·2x=22,當(dāng)且僅當(dāng)x=2x,即x=2時(shí)取等號14.函數(shù)y=2x(2-x)(其中0<x<2)的最大值是()。A.14 B.12 C.1答案：D解析：∵0<x<2,∴y=2x(2-x)≤2x+2-x22=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x,即x=115.(2024·阜新試驗(yàn)中學(xué)高二月考)已知a>3,求4a-3+a答案：1解析：∵a>3,∴a-3>0,∴4a-3+a-316≥24a-3·a-31616.若x∈(1,+∞),求y=3x+1x答案：解:∵x>1,∴y=3x+1x-1=3(x-1)+1x-1+3≥23(x-1)·1x-1+3=23+3當(dāng)且僅當(dāng)x考點(diǎn)4利用均值不等式求最值之有條件求最值17.(2024·遼寧遼陽一中高二月考)已知x>0,y>0,且2x+y=2,則xy的最大值是()。A.14 B.12 C.4答案：B解析：xy=12×2xy≤12×2x+y22=12×222=12,當(dāng)且僅當(dāng)18.若ab>0,3b+4a=1,則a+b的最小值是(A.43 B.7+43C.83 D.7+83答案：B解析：因?yàn)閍b>0,3ab>0,4ba>0,3b+4a=1,所以a+b=(a+b)3b+4a=3ab19.(2024·北京試驗(yàn)中學(xué)高二期中)已知正實(shí)數(shù)a,b滿意a+b=ab,則ab的最小值為()。A.1 B.2 C.2 D.4答案：D解析：∵ab=a+b≥2ab,(ab)2≥2ab,∴ab≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號,故ab的最小值為4,故選D。【易錯點(diǎn)撥】本題考查了均值不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。在利用均值不等式求最值時(shí),要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿意均值不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤。20.(2024·日照第四中學(xué)高二期中)已知2x+3y=3。若x,y均為正數(shù),則3x+2y的最小值是(A.53 B.83 C.8答案：C解析：∵2x+3y=3,x,y均為正數(shù),則3x+2y=133x+2y·(2x+3y)=1312+9yx+4xy≥12+29yx·4xy3=8,當(dāng)且僅當(dāng)9y21.(2024·沂南第一中學(xué)高二月考)已知正實(shí)數(shù)x,y滿意x+y=1,則1x-4yy答案：1解析：正實(shí)數(shù)x,y滿意x+y=1,則1x-4yy+1=1x-4y+4-4y+1=1x+4y+1-4=121x+4y+1[x+(y+1)]-4=125+y+1x+4xy+1-4≥1222.(2024·北京育英中學(xué)高二段考)已知a,b∈(0,+∞),且a+b+1a+1b=5,求a+答案：解:∵a,b∈(0,+∞),∴a+b22≥ab,可得1ab≥4(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號?！遖+b+1a+1b=5,∴(a+b)1+1ab=5≥(a+b)1+4(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12或a=b=2時(shí)取等號,可化為(a+b)23.(2024·遼陽遼化中學(xué)高二期中)已知正數(shù)x,y,z滿意x+y+z=1,求1x+4y+答案：解:∵正數(shù)x,y,z滿意x+y+z=1,∴1x+4y+9z=(x+y+=1+4+9+yx+4xy+zx+9≥14+2yx·4xy當(dāng)且僅當(dāng)x=16,y=13,z=12考點(diǎn)5均值不等式的應(yīng)用24.對于直角三角形的探討,中國早在商朝時(shí)期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例,而西方直到公元前6世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯才提出并證明白勾股定理。假如一個直角三角形的斜邊長等于5,那么這個直角三角形面積的最大值等于。

答案：25解析：設(shè)直角三角形的斜邊為c,直角邊分別為a,b,由題意知c=5,則a2+b2=25,則三角形的面積S=12ab。∵25=a2+b2≥2ab,∴ab≤252,則三角形的面積S=12ab≤12×252=254,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=52225.已知x>0,y>0,且x+y=1,若a≤1x+9y恒成立,求實(shí)數(shù)答案：解:∵x>0,y>0,且x+y=1,∴1x+9y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy≥10+2∵不等式a≤1x+9y恒成立?1x∴a∈(-∞,16],即實(shí)數(shù)a的最大值為16。26.(2024·北京朝陽區(qū)高二月考)已知a,b是正實(shí)數(shù),且a+b=2,證明:(1)a+b≤2;答案：∵a,b是正實(shí)數(shù)