新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線重難點(diǎn)提升專題4 圓錐曲線中的面積問題（原卷版）

專題4圓錐曲線中的面積問題一、考情分析圓錐曲線中的面積問題常見的是三角形的面積問題，有時(shí)也會(huì)考查平行四邊形的面積或?qū)蔷€互相垂直的四邊形面積問題，求解此類問題通常是借助弦長公式或點(diǎn)到直線距離公式用某些量，如動(dòng)直線的斜率或截距表示面積，再利用函數(shù)、方程或不等式知識(shí)求解.二、解題秘籍(一)利用弦長與點(diǎn)到直線距離計(jì)算三角形面積若直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為定點(diǎn)或滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)，要表示△PAB的面積，一般是先利用弦長公式求出SKIPIF1<0，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)P到直線AB的距離SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【例1】（2023屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期考試）如圖，已知雙曲線SKIPIF1<0，經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，與SKIPIF1<0的漸近線交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)（從左至右的順序依次為SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0.(1)若點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0面積的最小值.【解析】設(shè)SKIPIF1<0聯(lián)立直線SKIPIF1<0與雙曲線方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可知，SKIPIF1<0聯(lián)立直線SKIPIF1<0與其中一條漸近線方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則可知SKIPIF1<0的中點(diǎn)與SKIPIF1<0中點(diǎn)重合.由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0由（1）知，SKIPIF1<0.或SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0到直線的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最大值為2，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.(二)三角形中一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊上某一點(diǎn)的距離為定值，可把三角形分為兩個(gè)小三角形分別計(jì)算面積若過定點(diǎn)Q的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為定點(diǎn)或滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)，要表示△PAB的面積，可先求出點(diǎn)A，B到直線PQ的距離之和d，則SKIPIF1<0，特別的，若SKIPIF1<0與y軸垂足，SKIPIF1<0，利用這種方法求面積，可以避免使用弦長公式，減少運(yùn)算量.【例2】（2022屆江蘇省揚(yáng)州市高郵市高三上學(xué)期12月學(xué)情調(diào)研）已知橢圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距離之和為4，且右頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為1.（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程;（2）直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)求SKIPIF1<0的值.【解析】（1）由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)SKIPIF1<0到右焦點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0根據(jù)橢圓的對(duì)稱性得SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0的面積為3，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.(三)對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的計(jì)算對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積為兩對(duì)角線長度乘積的SKIPIF1<0.【例3】（2023屆山東省青島市高三上學(xué)期調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，動(dòng)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，且與圓SKIPIF1<0外切，記動(dòng)圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡為SKIPIF1<0.(1)求軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)不過圓心SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸垂直的直線交軌跡SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接SKIPIF1<0交軌跡SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.（i）若直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為一個(gè)定點(diǎn)；（ii）若過圓心SKIPIF1<0的直線交軌跡SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩個(gè)不同的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值.【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0由題意可知：圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0；圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0動(dòng)圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，且與圓SKIPIF1<0外切，SKIPIF1<0SKIPIF1<0動(dòng)圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0從而軌跡SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0（2）（i）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為一個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為SKIPIF1<0（ii）根據(jù)（i）可進(jìn)一步求得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0（法一）SKIPIF1<0等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（法二）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0(四)把四邊形分割成兩個(gè)三角形求面積如果四邊形的一條對(duì)角線所在直線的方程確定，通常把該四邊形分割為以這條對(duì)角線為底邊的兩個(gè)三角形，分別表示出這兩個(gè)三角形的面積再相加【例4】（2023屆THUSSAT中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力高三9月測試）已知A、B分別為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0）的上、下頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)，C是橢圓SKIPIF1<0上異于A、B的點(diǎn)，點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)．(1)若SKIPIF1<0，求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四邊形CADB面積S的最大值．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0是等邊三角形，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，帶回原式得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等）所以四邊形CADB面積S的最大值為SKIPIF1<0．(五)利用函數(shù)性質(zhì)求面積最值或范圍如果能把三角形或四邊形的面積用某一個(gè)變量來表示，此時(shí)可把面積看作關(guān)于該變量的函數(shù)，若函數(shù)的單調(diào)性容易確定，可利用函數(shù)單調(diào)性求面積最值或范圍.【例5】（2023屆河南省名校聯(lián)盟2高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，SKIPIF1<0.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線SKIPIF1<0且交橢圓于P，Q，求SKIPIF1<0的面積最大時(shí)，l的方程.【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.根據(jù)對(duì)稱性得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故橢圓C的方程為SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，l的方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線l的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當(dāng)t變化時(shí)，SKIPIF1<0的變化情況如下表：tSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+-+-SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0面積取最大，此時(shí)，l的方程為SKIPIF1<0.(六)利用均值不等式求面積最值或范圍如果能把三角形或四邊形的面積轉(zhuǎn)化為某些變量的代數(shù)式，若對(duì)代數(shù)式進(jìn)行恒等變形后能出現(xiàn)和為定值或乘積為定值的式子，可考慮利用均值不等式求最值或范圍.【例6】（2022屆新疆昌吉教育體系高三上學(xué)期診斷）已知拋物線SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為其焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在拋物線上，且直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求拋物線SKIPIF1<0的方程；（2）過焦點(diǎn)SKIPIF1<0作互相垂直的兩條直線，與拋物線SKIPIF1<0分別相交于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求SKIPIF1<0面積的最小值.【解析】（1）過點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別作拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線SKIPIF1<0的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的垂直平分線上，則點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，拋物線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中有一條與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.所以，直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率均存在且不為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，故SKIPIF1<0面積的最小值為SKIPIF1<0.三、跟蹤檢測1．（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期調(diào)研）已知點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，直線l交C于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0的斜率之和為SKIPIF1<0.(1)求l的斜率;(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.2．（2023屆上海市松江二中高三上學(xué)期月考）如圖，已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為拋物線Γ：SKIPIF1<0的圖像上異于頂點(diǎn)的任意兩個(gè)點(diǎn)，拋物線Γ在點(diǎn)A、B處的切線相交于SKIPIF1<0.(1)寫出這條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列；(3)若A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程及SKIPIF1<0面積的最小值.3．（2023屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期9月測試）已知橢圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)在直線SKIPIF1<0的異側(cè)），若四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．4．（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）設(shè)橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0外，且SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上橫坐標(biāo)大于1的一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，并與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于M，N兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．5．（2023屆廣東省潮陽實(shí)驗(yàn)、湛江一中、深圳實(shí)驗(yàn)三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0與左?右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左?右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，記直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.①求證：直線SKIPIF1<0恒過定點(diǎn)；②設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.6．（2023屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，其右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的離心率；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，且滿足直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0面積的最大值.7．（2023屆山東省濟(jì)南市高三上學(xué)期9月考試）已知點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的公共焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的兩條切線，記切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值.8．（2023屆河北省廊坊市三河市高三上學(xué)期段考）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且C的左、右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)M，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求SKIPIF1<0面積的最大值．9．（2023屆河南省部分學(xué)校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，上、下頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若橢圓上有三點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，證明：四邊形SKIPIF1<0的面積為定值．10.（2022屆河南省高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，過右焦點(diǎn)SKIPIF1<0作兩條互相垂直的弦SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）當(dāng)四邊形SKIPIF1<0的面積取得最小值時(shí)，求弦SKIPIF1<0所在直線的方程．11.（2022屆河南省縣級(jí)示范性高中高三上學(xué)期尖子生對(duì)抗賽）順次連接橢圓SKIPIF1<0的四個(gè)頂點(diǎn)，得到的四邊形的面積為SKIPIF1<0，連接橢圓C的某兩個(gè)頂點(diǎn)，可構(gòu)成斜率為SKIPIF1<0的直線.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線l與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)B在線段SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍.12．（2022屆廣西“智桂杯”高三上學(xué)期聯(lián)考）如圖，已知拋物線：SKIPIF1<0