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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.2.關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,下列敘述正確的是()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.先遞減后遞增 D.先遞增后遞減3.如圖所示,正方體的棱,的中點分別為,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.45.某三棱錐的三視圖如圖所示,那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.06.已知為定義在上的偶函數(shù),當時,,則()A. B. C. D.7.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個面中,最大面積為()A. B. C. D.8.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A. B. C. D.9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對應(yīng)的點為Z,將向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.10.已知方程表示的曲線為的圖象,對于函數(shù)有如下結(jié)論:①在上單調(diào)遞減;②函數(shù)至少存在一個零點;③的最大值為;④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點對稱,則由方程所確定;則正確命題序號為()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④11.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切12.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_________.14.如圖,已知,,為的中點,為以為直徑的圓上一動點,則的最小值是_____.15.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的模為____.16.如圖,在三棱錐中,平面,,已知,,則當最大時,三棱錐的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,三內(nèi)角的對邊分別為,已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點,成等差數(shù)列,且,求a的值.18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若曲線、交于、兩點,是曲線上的動點,求面積的最大值.19.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點.(1)求的長;(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,設(shè)點的極坐標為,求點到線段中點的距離.20.(12分)某工廠的機器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時,需要送維修處維修.工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上8:30之前送到維修處,并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個工人獨立維修A元件需要時間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù),具體數(shù)據(jù)如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天,隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù).(Ⅰ)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個,至少需要增加幾名維修工人?(只需寫出結(jié)論)21.(12分)已知橢圓的右頂點為,點在軸上,線段與橢圓的交點在第一象限,過點的直線與橢圓相切,且直線交軸于.設(shè)過點且平行于直線的直線交軸于點.(Ⅰ)當為線段的中點時,求直線的方程;(Ⅱ)記的面積為,的面積為,求的最小值.22.(10分)某工廠,兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知,生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進行返工修復(fù)為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回損失元和元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢件產(chǎn)品,以挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級分類后,每件分別獲利元、元、元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測,結(jié)果統(tǒng)計如下圖;用樣本的頻率分布估計總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為,求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個選項中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項.【詳解】兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項漸近線為,B選項漸近線為,C選項漸近線為,D選項漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】
先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】
以D為原點,DA,DC,DD1分別為軸,建立空間直角坐標系,由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值.【詳解】以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,則,,,取平面的法向量為,設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|,直線與平面所成角的正弦值為.故選C.【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法,也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用,屬于中檔題.4.C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.5.C【解析】
由三視圖還原原幾何體,借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,其中,,為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.故選:C.【點睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.7.B【解析】
由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結(jié)合三視圖求出每個面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因為,,所以,所以,因為為等邊三角形,所以,所以該三棱錐的四個面中,最大面積為.故選:B【點睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.8.C【解析】
由題知:該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值,計算程序框圖的運行結(jié)果即可得到答案.【詳解】,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,不滿足條件,輸出.故選:C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),屬于簡單題.9.A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點Z的坐標,得到向量的坐標,逆時針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標,則對應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對應(yīng)點Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.10.C【解析】
分四類情況進行討論,然后畫出相對應(yīng)的圖象,由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】(1)當時,,此時不存在圖象;(2)當時,,此時為實軸為軸的雙曲線一部分;(3)當時,,此時為實軸為軸的雙曲線一部分;(4)當時,,此時為圓心在原點,半徑為1的圓的一部分;畫出的圖象,由圖象可得:對于①,在上單調(diào)遞減,所以①正確;對于②,函數(shù)與的圖象沒有交點,即沒有零點,所以②錯誤;對于③,由函數(shù)圖象的對稱性可知③錯誤;對于④,函數(shù)和圖象關(guān)于原點對稱,則中用代替,用代替,可得,所以④正確.故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的零點概念,考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.11.D【解析】
由幾何法求出圓心到直線的距離,再與半徑作比較,由此可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意,圓的圓心為,半徑,∵圓心到直線的距離為,,,故選:D.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】試題分析:對于選項A,,,,而,所以,但不能確定的正負,所以它們的大小不能確定;對于選項B,,,兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向,所以選項B正確;對于選項C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯誤;對于選項D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當時,,符合;當時,,不滿足.故答案為:【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計算,考查了分類討論的思想.14.【解析】
建立合適的直角坐標系,求出相關(guān)點的坐標,進而可得的坐標表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出的表達式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標系如圖所示:則點,,,設(shè)點,所以,由平面向量數(shù)量積的坐標表示可得,,其中,因為,所以的最小值為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運算求解能力;建立直角坐標系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.15.【解析】,所以.16.4【解析】設(shè),則,,,,當且僅當,即時,等號成立.,故答案為4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),(2)【解析】
(1)利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡得,故可求其周期與單調(diào)性;(2)根據(jù)圖像過得到,故可求得的大小,再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積,最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可.【詳解】(1),最小正周期:,由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由可得:,所以.又因為成等差數(shù)列,所以而,.18.(1),;(2).【解析】
(1)在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù),可得出曲線的普通方程,將曲線的極坐標方程變形為,進而可得出曲線的直角坐標方程;(2)求出點到直線的最大距離,以及直線截圓所得弦長,利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程得,.所以,曲線的普通方程為,將曲線的極坐標方程變形為,所以,曲線的直角坐標方程為;(2)曲線是圓心為,半徑為為圓,圓心到直線的距離為,所以,點到直線的最大距離為,,因此,的面積為最大值為.【點睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換,同時也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值的計算,考查計算能力,屬于中等題.19.(1);(2).【解析】
(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結(jié)合垂徑定理即可求得的長;(2)將的極坐標化為直角坐標,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個交點坐標,由中點坐標公式求得的坐標,再根據(jù)兩點間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標方程為,即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標為,半徑為1,則由點到直線距離公式可知,所以.(2)點的極坐標為,化為直角坐標可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡可得,解得,所以兩點坐標為,所以,由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化,點到直線距離公式應(yīng)用,兩點間距離公式的應(yīng)用,直線與圓交點坐標求法,屬于基礎(chǔ)題.20.(Ⅰ)分布列見解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】
(Ⅰ)求出X的所有可能取值為9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前兩問的結(jié)果,判斷至少增加2人.【詳解】(Ⅰ)X的取值為:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列為:X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為:,或,或.經(jīng)計算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【點睛】本題考查離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差,屬于中等題.21.(Ⅰ)直線的方程為(Ⅱ)【解析】
(1)設(shè)點,利用中點坐標公式表示點B,并代入橢圓方程解得,從而求出直線的方程;(2)設(shè)直線的方程為:,表示點,然后聯(lián)立方程,利用相切得出,然后求出切點,再設(shè)出設(shè)直線的方程,求出點,利用兩點坐標,求出直線的方程,從而求出,最后利用以上已求點的坐標表示面積,根據(jù)基本不等式求最值即可.【詳解】解:(Ⅰ)由橢圓,可得:由題意:設(shè)點,當為的中點時,可得:代入橢圓方程,可得:所以:所以.故直線的方程為.(Ⅱ)由題意,直線的斜率存在且不為0,故設(shè)直線的方程為:令,得:,所以
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