華師大版九年級數(shù)學(xué)上冊22.2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 同步測試（附答案）

華師大版九年級數(shù)學(xué)上冊22.2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系同步測試一、選擇題1．如圖，已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)(①abc<0；②a?b+c>0；③方程cx2+bx+a=0④拋物線上有兩點(diǎn)P(x1，y1)和Q(xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．關(guān)于x的一元二次方程x2A．m<32 B．m>3 C．m≤3 3．若關(guān)于x的一元二次方程x2?8x+m=0兩根為x1A．4 B．8 C．12 D．164．已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的兩根，且x1+xA．a(chǎn)=?3，b=1 B．a(chǎn)=3，b=1C．a(chǎn)=?32，b=?1 D．a(chǎn)=?5．已知關(guān)于x的方程x2+kx?2=0的一個解與方程x+1x?1A．?1 B．?2 C．1 D．26．已知關(guān)于x的方程x2?(2m?1)x+m2=0的兩實(shí)數(shù)根為x1，A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或37．已知a，b是方程x2+2020x+3=0的兩根，則代數(shù)式A．18 B．-18 C．27 D．-278．有兩個關(guān)于x的一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四個結(jié)論中，①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N(yùn)有一個公共根為1；②方程M和方程N(yùn)的兩根符號異號，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個根，那么12一定是方程N(yùn)的一個根；④如果方程M和方程N(yùn)有一個相同的根，那么這個根必定是x＝1．

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個9．歐幾里得的《原本》記載，形如x2+bx=a2的方程的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b2，再在斜邊AB上截取AD=bA．AC的長 B．AD的長 C．BC的長 D．BD的長10．一元二次方程x2A．無實(shí)數(shù)根 B．有兩個正根，且有一根大于2C．有兩個負(fù)根，且都小于-2 D．有一個正根，一個負(fù)根二、填空題11．已知一元二次方程x2-3x＋1＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1＋x2-x1x2的值等于．12．已知方程x2?3x?4=0的根為x1，x13．若a、b是一元二次方程x2?3x+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a+b?ab的值為14．若關(guān)于x的方程x2?2(m+1)x+m+4=0兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為15．設(shè)x1，x2是方程2x2三、解答題16．已知一元二次方程2x2?3x?8=017．在學(xué)習(xí)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系一課時老師出示了這樣一個題目：已知關(guān)于x的方程x2?(2m?1)x+m2=0的兩實(shí)數(shù)根為x波波同學(xué)的解答過程如框：解：由題意可知：x∵(x∴m2解得：m=?3或m=1波波的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯誤請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程.18．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2-2x+m-2=0的兩個實(shí)數(shù)根，若3x1+3x2-x1x2=5，求m的值.已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(2k+1)x+2k2=0的兩根x四、綜合題20．已知關(guān)于x的一元二次方程x（1）求證：無論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若x1，x2是方程的兩個實(shí)數(shù)根，且21．我們規(guī)定：對于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d有[a，b（1）求[?4（2）已知關(guān)于x的方程[x22．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4x+m+1＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）如果方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，且(x23．拋物線y=x2?2x?3（1）直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖①，當(dāng)OP=OA時，在拋物線上存在點(diǎn)D（異于點(diǎn)B），使B，D兩點(diǎn)到AC的距離相等，求出所有滿足條件的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；（3）如圖②，直線BP交拋物線于另一點(diǎn)E，連接CE交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，求FPOP

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵拋物線圖象開口向下，對稱軸為直線x=?b2a=2，與y軸的交點(diǎn)在正半軸，

∴a<0，b=-4a>0，c>0，

∴abc<0，故①正確；

∵對稱軸為直線x=2，與x軸的一個交點(diǎn)為（6，0），

∴與x軸的另一個交點(diǎn)為（-2，0），

∴當(dāng)x=-1時，y>0，

∴a-b+c>0，故②正確；

由cx2+bx+a=0可得x1+x2=-bc，x1x2=ac.

∵方程ax2+bx+c=0的兩個根分別為-2、6，

∴-ba=4，ca=12，

∴-bc=?13，ac=112.

若方程cx2+bx+a=0的兩根為x1=12，x2=?16，則x1+x2=-bc=13，x1x2=ac=-112，故③錯誤；

若x1<2<x2且x1+x2>4，則P（x1，y1）到對稱軸的距離小于Q（x2，y2）到對稱軸的距離，

∴y1>y2，故④錯誤.

故答案為：B.

【分析】由圖象可得：拋物線開口向下，對稱軸為直線x=?b2a=2，與y軸的交點(diǎn)在正半軸，據(jù)此可得a、b、c的符號，進(jìn)而判斷①；由對稱性可得與x軸的另一個交點(diǎn)為（-2，0），則當(dāng)x=-1時，y>0，據(jù)此判斷②；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)可得方程ax2+bx+c=0的兩個根分別為-2、6，則-ba=4，ca=12，對于cx2．【答案】D【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+m?2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△=4?4m?2＞0，

解得m<3，3．【答案】C【解析】【解答】解：

∵關(guān)于x的一元二次方程x2?8x+m=0兩根為x1、x2，

∴x1+x2=8，x1x2=m，

∵x1=3x2，

∴x1=6，x2=2，

∴4．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得

x1+x2=-2a=3，x1x2=b=1，

解之：a=?32，b=1.

故答案為：D

【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得到x1+x2=-2a=3，x1x5．【答案】A【解析】【解答】解：x+1x?1=3，

方程兩邊同時乘以（x-1）得x+1=3（x-1），

解得x=2，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是分式方程的根，

∵x=2是方程x2+kx-2=0的一個根，

設(shè)該方程另一個根為a，

則2a=-2，

解得a=-1，

∴方程的另一個根為-1.

故答案為：A.

【分析】先根據(jù)解分式方程的步驟求出分式方程的解，設(shè)關(guān)于x的一元二次方程的另一個根為a，由根與系數(shù)的關(guān)系“6．【答案】A【解析】【解答】解：∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的兩根分別為x1、x2，

∴x1+x2=2m-1，x1x2=m2.

∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=3，

∴2m-1+m2+1=3，

∴m2+2m-3=0，

∴(m-1)(m+3)=0，

解得m=1或-3.

∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，

∴△=(2m-1)2-4m2≥0，

∴m≤14，

∴m=-3.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2m-1，x1x2=m2，則(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=2m-1+m2+1=3，求出m的值，根據(jù)方程有兩個實(shí)數(shù)根可得△=(2m-1)2-4m27．【答案】C【解析】【解答】解：∵a、b為方程x2+2020x+3=0的兩根，

∴a2+2020a+3=0，b2+2020b+3=0，ab=3，

∴(3+2023a+a2)(3+2023b+b2)=(3a)·(3b)=9ab=9×3=27.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)方程根的概念可得a2+2020a+3=0，b2+2020b+3=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得ab=3，待求式可化為(a2+2020a+3+3a)(b2+2020b+3+3b)，然后代入進(jìn)行計(jì)算.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，

∴方程M有一個根為1，方程N(yùn)有一個根為1，故①正確；

∵a+c=0，

∴a=-c，

∴ac=-1，

∴方程M和N的兩根之積必相等，故②正確；

∵2是方程M的一個根，

∴4a+2b+c=0，即a+12b+14c=0，

∴12是方程N(yùn)的一個根，故③正確；

設(shè)相同的根為m，則am2+bm+c=0cm2+bm+a=0

兩式相減可得(a-c)m2=a-c.

∵a≠0，c≠0，

∴m2=1，

∴m=±1，即相同的根為征服1，故④錯誤.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)a+b+c=0可得方程M有一個根為1，方程N(yùn)有一個根為1，據(jù)此判斷①；根據(jù)a+c=0可得ac=-1，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可判斷9．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)BD=x，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b2，

由勾股定理得（x+b2）2=a2+（b2）2，

整理得x2+bx-a2=0（a≠0，b≠0），

∵△=b2+4a2＞0，

∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，因?yàn)閮筛e等于-a2＜0，

∴方程的根一正一負(fù)，

∴方程的正根是BD的長.

故答案為：D.

10．【答案】D【解析】【解答】解：∵x2∴Δ=2∴方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根．∵x1∴方程有一個正根，一個負(fù)根．故答案為：D．【分析】利用一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可。11．【答案】2【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，

∴x1+x2=3，x1x2=1，

∴x1+x2-x1x2=3-1=2.

故答案為：2.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=?ba=3，x1x2=12．【答案】6【解析】【解答】解：∵x2?3x?4=0，

∴x1+x2=3，x1·x13．【答案】2【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2?3x+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，

∴a+b=3，ab=1，

∴a+b?ab=2，

故答案為：214．【答案】2【解析】【解答】解：不妨設(shè)兩根分別為a和b，

∵x2?2(m+1)x+m+4=0，

∴a+b=2m+2，ab=m+4，

∵關(guān)于x的方程x2?2(m+1)x+m+4=0兩根的倒數(shù)和為1，

∴1a+1b=a+bab=2m+215．【答案】?【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x-3=0的兩個實(shí)數(shù)根，

∴x1+x2=-2，x1x2=-32，

∴x1+x2+x1x2=-2-32=?72.

故答案為：?72.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-2，x16．【答案】解：∵一元二次方程2x∴m+n=??3∴m2【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=3217．【答案】解：波波的解法不正確；由題意可知：x∵(x1∴m2+(2m?1)+1=3解得：m=?3或m=1（舍去），∴m=?3.【解析】【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可表示出兩根之和為兩根之積，結(jié)合已知條件可得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，再根據(jù)b2-4ac≥0，可求出m的取值范圍，即可得到符合題意的m的值.18．【答案】解：由題意得：x1+x2=2，x1x2=m-2，∵3x1+3x2-x1x2=5，∴6-(m-2)=5，∴m=3【解析】【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得到x1+x2，x1x2的值，再整體代入可得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值.19．【答案】解：根據(jù)題意，得x1+x∵x∴(2k+1)2解得k=1．【解析】【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)，可表示出x1+x2，x1x2的值，再將等式轉(zhuǎn)化為（x1+x2）2-2x1x2=5，然后整體代入，可得到關(guān)于k的方程，解方程求出k的值.20．【答案】（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴a=1，b=?(2m?1)，c=?3m∴Δ=b∵(4m?1)2≥0，即∴不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程∴x1+x∵x2∴(x∴(2m?1)2?3m2+m∴m的值為25或1【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的情況與判別式的關(guān)系即可求解；

（2）先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得到x1+x2=2m?121．【答案】（1）解：∵[a∴[?4，3（2）解：∵[x∴x?(mx+1)?(2x?1)?m=0，整理得mx∵關(guān)于x的方程[x∴Δ=b2?4ac=解得m≤14且【解析】【分析】（1）根據(jù)題目規(guī)定的運(yùn)算即可求解；

（2）先根據(jù)題目規(guī)定的運(yùn)算即可得到mx22．【答案】（1）解：根據(jù)題意得Δ＝（-4）2-4（m+1）≥0，解得m≤3（2）解：由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝4，x1x2＝m+1.∵(x1?1)(∴m+1-4+1≥-1，解得m≥1，∵m≤3，∴1≤m≤3．∴m的整數(shù)值為1，2和3，它們的和=1+2+3=6【解析】【分析】（1）由題意可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得m的范圍；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝4，x1x2＝m+1，由(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1≥-1可求出m的范圍，結(jié)合（1）的結(jié)論可得m的范圍，據(jù)此可得m的整數(shù)值，然后求和即可.23．【答案】（1）解：令y=0，得x2解得：x=3或?1，∴A(?1，0)，B(3，0)；（2）解：∵OP=OA=1，∴P(0，1)，∴直線AC的解析式為y=x+1．①若點(diǎn)D在AC的下方時，過點(diǎn)B作AC的平行線與拋物線交點(diǎn)即為D1∵B(3，0)，BD∴直線BD1的解析式為由y=x?3y=x2?2x?3，解得∴D∴D②若點(diǎn)D在AC的上方時，點(diǎn)D1關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)G(0，5)過點(diǎn)G作AC的平