人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)上冊(cè)專題01 與三角形的角有關(guān)的計(jì)算（30題）（原卷版）

專題第01講與三角形的角有關(guān)的計(jì)算1．（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠C＝70°．（1）∠AOB的度數(shù)為；（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度數(shù)．2．（2023春?洛寧縣期末）如圖，AD為△ABC的高，AE，BF為△ABC的角平分線，∠CBF＝30°，∠AFB＝70°．（1）∠BAD＝°；（2）求∠DAE的度數(shù)．3．（2023春?豐城市期末）如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線．（1）當(dāng)∠ABC＝64°，∠ACB＝66°時(shí)，∠D＝°，∠P＝°；（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度數(shù)；（3）請(qǐng)你猜想，當(dāng)∠A的大小變化時(shí)，∠D+∠P的值是否變化？請(qǐng)說明理由．4．（2023春?樂山期末）（1）如圖1，△ABC中，延長(zhǎng)AB到M，BP平分∠MBC，延長(zhǎng)AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于點(diǎn)P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求證：α＝；（2）如圖2，△ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于點(diǎn)P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求證：θ＝；（3）如圖3，△ABC中，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于點(diǎn)P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接寫出α，β，θ之間的等量關(guān)系．5．（2022秋?黃石期末）如圖，直線CD與EF相交于點(diǎn)O，∠COE＝60°，將一直角三角尺AOB（含30°和60°）的直角頂點(diǎn)與O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）圖中互余的角有對(duì)；（3）將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)直線EF以每秒9°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0≤t≤40）．①當(dāng)t為何值時(shí)，直線EF平分∠AOB．②當(dāng)t＝時(shí)，直線EF平分∠BOD．6．（2022秋?淮南期末）（1）如圖1，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點(diǎn)B、C．△ABC中，∠A＝30°，則∠ABC+∠ACB＝，∠XBC+∠XCB＝．（2）如圖2，△ABC的位置不變，改變直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經(jīng)過B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化，請(qǐng)舉例說明；若不變化，請(qǐng)求出∠ABX+∠ACX的大?。?．（2023春?欒城區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AB上（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，E，B重合），連接DF，過點(diǎn)F作FG⊥FD交射線CB于點(diǎn)G．（1）如圖1，點(diǎn)F在線段BE上．①直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系；②求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段AE上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系．8．（2023春?邗江區(qū)期中）閱讀下列材料并解答問題：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角α的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍，那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅三角形”，其中α稱為“優(yōu)雅角”．例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是、100°、，這個(gè)三角形就是“優(yōu)雅三角形”，其中“優(yōu)雅角”為100°．反之，若一個(gè)三角形是“優(yōu)雅三角形”，那么這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角α的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍．（1）一個(gè)“優(yōu)雅三角形”的一個(gè)內(nèi)角為120°，若“優(yōu)雅角”為銳角，則這個(gè)“優(yōu)雅角”的度數(shù)為．（2）如圖1，已知∠MON＝60°，在射線OM上取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)畫射線交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)O、點(diǎn)B重合）．若△AOC是“優(yōu)雅三角形”，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段AD上一點(diǎn)，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“優(yōu)雅三角形”，求∠C的度數(shù)．?9．（2023春?邗江區(qū)期中）綜合與探究：愛思考的小明在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過程中，對(duì)習(xí)題做了一定變式，讓我們來一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．?（1）如圖1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝°（2）如圖2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探究∠Q與∠BPC的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度數(shù)．10．（2022秋?海豐縣期末）綜合與探究：【情境引入】（1）如圖1，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，說明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如圖2，BD，CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC，∠FCB的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是；②如圖3，BD，CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，BD，CD交于點(diǎn)D，探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系，并說明理由．11．（2023春?南陽(yáng)期末）如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線．（1）若∠A＝30°，則∠D＝°，∠P＝°，∠D+∠P＝°；（2）當(dāng)∠A變化時(shí)，∠D+∠P的值是否變化？請(qǐng)說明理由．12．（2023春?洪洞縣期末）在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D．特例研究：（1）如圖1，若∠BAC的平分線AE能交BC于點(diǎn)E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度數(shù)；操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，點(diǎn)M，N分別在線段AB，AC，將△ABC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕分別為DM和DN，點(diǎn)G，F(xiàn)都在射線DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，試猜想∠AMF與∠ANG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）將△DFM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角記為α（0°＜α＜360°）．記旋轉(zhuǎn)中的△DMF為△DM1F1，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)M，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M1，F(xiàn)1，直線M1F1，與直線BC交于點(diǎn)Q，與直線AB交于點(diǎn)P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．13．（2023春?東方校級(jí)期末）在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．?（1）如圖1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖1，如果∠A＝α，用含α的代數(shù)式表示∠BPC；（3）探索：如圖2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試寫出∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（4）拓展：如圖3，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠A的度數(shù)．14．（2023春?商水縣期末）【基本模型】（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，試說明∠P＝∠A．【變式應(yīng)用】（2）如圖2，∠MON＝90°，A，B分別是射線ON，OM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ABO與∠BAN的平分線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)的過程中，∠P的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，∠MON＝90°，作∠MON的平分線OD，A是射線OD上的一定點(diǎn)，B是直線OM上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接AB，設(shè)∠ABO的平分線與∠BAO的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)為P，請(qǐng)直接寫出∠P的度數(shù)．15．（2023春?大荔縣期末）我們將內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形稱為“對(duì)頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD為對(duì)頂角，則△AOB與△COD為“對(duì)頂三角形”，根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角和是180°，“對(duì)頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠B＝∠C+∠D．性質(zhì)理解：（1）如圖1，在“對(duì)頂三角形”△AOB與△COD中，則∠AOB＝85°，則∠C+∠D＝°．性質(zhì)應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度數(shù)．拓展提高：（3）如圖3，BE、CD是△ABC的角平分線，且∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點(diǎn)P，設(shè)∠A＝α，請(qǐng)嘗試求出∠P的度數(shù)（用含α的式了表示∠P）．16．（2023春?金華期末）數(shù)學(xué)興趣小組圍繞“三角形的內(nèi)角和是180°”，進(jìn)行了一系列探究，過程如下：【論證】如圖1，延長(zhǎng)BA至D，過點(diǎn)A作AE∥BC，就可以說明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的內(nèi)角和為180°，請(qǐng)完成上述說理過程．【應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE∥BC，M在射線AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延長(zhǎng)線與AP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．①求∠DCP的度數(shù)；②設(shè)∠B＝α，請(qǐng)用α的代數(shù)式表示∠D．【拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，過點(diǎn)A作EF∥BC，直線MN與EF相交于A點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)P，∠APN＝75°．△ABC繞點(diǎn)A以每秒12°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)MN繞點(diǎn)P以每秒5°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與EF重合時(shí)MN再繞著點(diǎn)P以原速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，運(yùn)動(dòng)全部停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否某一時(shí)刻，使得MN與△ABC的一邊平行？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（2023春?云浮期末）如圖1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到△ADE．（1）若α＝28°時(shí)，則∠DAC＝°；若0°＜α＜90°時(shí)，α與∠CAE的關(guān)系是；（2）∠DAC與∠BAE有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，若0°＜α＜180°時(shí)，△ADE與△ABC這兩個(gè)三角形是否存在一組邊互相平行？若存在，請(qǐng)求出α的所有可能取值．18．（2023春?榮成市期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．（1）如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝，∠3＝；（2）圖2中，當(dāng)被b反射出的光線n與光線m平行時(shí)，不論∠1如何變化，∠2與∠1總具有一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜想∠2和∠1的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）圖2中，請(qǐng)你探究：當(dāng)任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行，求兩平面鏡a、b的夾角∠3的度數(shù)；（4）如圖3，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m垂直，求出此時(shí)∠O的度數(shù)？（友情提示：三角形內(nèi)角和等于180°）?19．（2023春?定興縣期末）綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖，已知兩直線a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠1＝42°，求∠2的度數(shù)；（2）小聰同學(xué)把圖1中的直線a向上平移得到如圖2，請(qǐng)你探究圖2中的∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）小穎同學(xué)將圖2中的直線b向上平移得到圖3，若∠2＝4∠1，求∠1的度數(shù)．20．（2023春?鹽都區(qū)期中）【教材呈現(xiàn)】蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書七下第42頁(yè)第20題，是一道研究雙內(nèi)角平分線的夾角和雙外角平分線夾角的數(shù)學(xué)問題，原題如下．在△ABC中，∠A＝n°．（1）設(shè)∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；（2）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點(diǎn)O′，求∠BO′C的度數(shù)；（3）∠BOC與∠BO′C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【問題解決】聰聰對(duì)上面的問題進(jìn)行了研究，得出以下答案：如圖1，在△ABC中，∠A＝n°．（1）∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC的度數(shù)為；（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點(diǎn)O′，則∠BO′C的度數(shù)為；（3）∠BOC與∠BO'C的數(shù)量關(guān)系是．（4）【問題深入】：如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC沿MN折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，請(qǐng)直接寫出∠1+∠2與∠BOC的一個(gè)等量關(guān)系式；（5）如圖3，過△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線的交點(diǎn)O′，作直線PQ交AD于點(diǎn)P，交AE于點(diǎn)Q．當(dāng)∠APQ＝∠AQP時(shí)，∠CO′Q與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)果．21．（2023春?郯城縣期中）已知AB∥CD，直線MN交AB、CD交于點(diǎn)M、N．（1）如圖1所示，點(diǎn)E在線段MN上，設(shè)∠MBE＝15°，∠MND＝70°，則∠MEB＝．（2）如圖2所示，點(diǎn)E在線段MN上，∠1＝∠2，DF平分∠EDC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，試找出∠AEN、∠1、∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（提示：不能使用“三角形內(nèi)角和是180°”）．（3）如圖3所示，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，∠ABC與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系：．（2023春?單縣期末）如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖②，若把“AE⊥BC”變成“點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)E⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），請(qǐng)用α、β的代數(shù)式表示∠DFE．23．（2023春?秀英區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．（1）若∠A＝70°，求∠P＝度；（2）求∠PBQ及∠PCQ的度數(shù)；（3）若∠A＝α，求∠P及∠Q的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）24．（2023?東興區(qū)校級(jí)二模）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．25．（2023春?桂林期末）實(shí)驗(yàn)與探究小芳同學(xué)在用數(shù)學(xué)圖形軟件探究平行線的性質(zhì)時(shí)，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)與探究：在直線CD上取一定點(diǎn)N，作一任意三角形MNP，過點(diǎn)M作直線AB∥CD，并標(biāo)記∠BMP為∠1，∠DNP為∠2，請(qǐng)用平行線的相關(guān)知識(shí)解決下列問題．（1）如圖1，小芳發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P落在直線AB與CD之間時(shí)，總有∠1+∠2＝∠P的結(jié)論，請(qǐng)你幫小芳說明理由；（2）將三角形MNP繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P落在直線AB與CD之外時(shí)（如圖2），小芳發(fā)現(xiàn)∠1，∠2，∠P之間依然滿足某種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P落在直線AB與CD之間時(shí)，小芳用數(shù)學(xué)軟件作出∠AMP與∠CNP的角平分線MQ和NQ，交點(diǎn)為點(diǎn)Q，發(fā)現(xiàn)∠P與∠MQN之間也滿足某種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，并說明理由．26．（2023春?徐州期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝α．過AC邊上的點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．BF為△ABC的一條角平分線，DG為∠ADE的平分線．（1）如圖1，若α＝90°，點(diǎn)G在邊BC上且不與點(diǎn)B重合．①判斷∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②判斷BF與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若0°＜α＜90°，點(diǎn)G在邊BC上，DG與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，用含α的代數(shù)式表示∠H，并說明理由；（3）如圖3，若0°＜α＜90°，點(diǎn)G在邊AB上，DG與BF交于點(diǎn)M，用含α的代數(shù)式表示∠BMD，則∠BMD＝．27．（2023春?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，則∠DAE＝