2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練平面向量含解析

平面對量1.平面對量是高考考查的重點、熱點.往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常以平面圖形為載體，考查線性運(yùn)算、數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；2.同三角函數(shù)、解析幾何、不等式等學(xué)問相結(jié)合，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想以及分析問題解決問題的實力．難度為中等或中等偏易.1、向量共線定理假如有一個實數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，假如b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.2、平面對量基本定理（1）平面對量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解.向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵.（2）平面對量共線的坐標(biāo)表示兩向量平行的充要條件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是a＝λb，這與x1y2－x2y1＝0在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同.3、平面對量基本定理：若向量為兩個不共線的向量，那么對于平面上隨意的一個向量，均存在唯一一對實數(shù)，使得。其中成為平面對量的一組基底。（簡而言之，不共線的兩個向量可以表示全部向量）4、向量數(shù)量積運(yùn)算，其中為向量的夾角5、向量夾角的確定：向量的夾角指的是將的起點重合所成的角，其中：同向：反向：6、數(shù)量積運(yùn)算法則：（1）交換律：（2）系數(shù)結(jié)合律：（3）安排律：7、平面對量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0；(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|.8、平面對量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點間的距離|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)設(shè)兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.1、推斷三點是否共線，先求由三點組成的任兩個向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定.失誤與防范要區(qū)分點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種狀況.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.2、運(yùn)用向量解決數(shù)量積的問題常用的方法有：1、基底法；2、向量法；1、已知向量a，b滿意，，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故選：D．2、已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，的模為2，依據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A．3、已知非零向量a，b滿意，且b，則a與b的夾角為A． B． C． D．【答案】B【解析】因為b，所以=0，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B．4、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．?3 B．?2C．2 D．3【答案】C【解析】由，，得，則，．故選C．5、在中，為邊上的中線，為的中點，則A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以.故選A.6、設(shè)為單位向量，且，則______________.【答案】【解析】因為為單位向量，所以所以，解得：，所以，故答案為：.7、已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.【答案】【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．8、如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．【答案】(1).；(2).【解析】，，，，解得，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時，取得最小值.故答案為：；.9、已知正方形的邊長為2，點P滿意，則_________；_________．【答案；【解析】以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.10、已知平面單位向量，滿意．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是_______．【答案】【解析】，，，.故答案為：.11、已知a，b為單位向量，且a·b=0，若，則___________.【答案】【解析】因為，，所以，，所以，所以．12、在四邊形中，，點在線段的延長線上，且，則___________．【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，∠DAB=30°，則，.因為∥，，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為.由得，，所以.所以.13、如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是___________．【答案】.【解析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC的中點，知BF=FE=EA,AO=OD．，，得即故14、已知正方形的邊長為1，當(dāng)每個取遍時，的最小值是___________；最大值是___________．【答案】0；.【解析】以分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.則,令0.又因為可取遍，所以當(dāng)時，有最小值.因為和的取值不相關(guān)，或，所以當(dāng)和分別取得最大值時，y有最大值，所以當(dāng)時，有最大值.故答案為0；.一、單選題1、已知向量滿意，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，且，∴，∴.故選：D.2、已知向量，若，則（）A．1或4 B．1或 C．或4 D．或【答案】B【解析】由題意，向量，可得，因為，則，解得或.故選：B.3、已知向量滿意，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，①，②①②，可得，解得，所以.故選：C4、已知向量滿意，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將，，兩邊同時平方，求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】，①，②①②，可得，解得，所以.故選：C5、如圖，在等腰直角中，，分別為斜邊的三等分點（靠近點），過作的垂線，垂足為，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，，所以，所以.因為，所以.故選：D6、如圖，是單位圓的直徑，點，是半圓弧上的兩個三等分點，則（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】連接,則,在中，由余弦定理得：.所以.故選：C7、已知向量，，則面積的最大值為（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】，,，其中，故，，故當(dāng)時，即時，取最大值為.故選：C.8、已知點P是邊長為2的菱形內(nèi)的一點(包含邊界)，且，的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，故，即的取值范圍是.故選：A9、如圖，在梯形中，已知，，為的中點，，，則（）A．1 B． C．3 D．【答案】B【解析】因為，為的中點，，所以，，則為等邊三角形，所以，又，所以，則，因為，，所以，即為直角三角形，所以，因此.故選：B.10、已知為等邊三角形，，所在平面內(nèi)的點滿意，的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，，由平面對量模的三角不等式可得.當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時，等號成立.因此，的最小值為.故選：C.多選題11、已知向量則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意可得.因為，所以，則A正確，B錯誤；對于C，D，因為，所以，則C錯誤，D正確.故選：AD.12、已知向量，，，設(shè)，所成的角為，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】向量，由，可得即，解得，所以A正確.，所以又，所以，所以D正確,C不正確.,則，故B正確.故選：ABD13、已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點，且，，與交于點，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影為【答案】BCD【解析】由題E為AB中點，則，以E為原點，EA，EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以，，設(shè)，∥，所以，解得：，即O是CE中點，，所以選項B正確；，所以選項C正確；因為，，所以選項A錯誤；，，在方向上的投影為，所以選項D正確.故選：BCD14、如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，且，F(xiàn)為AE的中點，則（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法則得，A對；∵，∴，∴，又F為AE的中點，∴，B對；∴，C對；∴，D錯；故選：ABC．15、已知向量，，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若取得最大值時，則D．的最大值為【答案】ACD【解析】A選項，若，則，即，故A正確．B選項，若，則，則，故B不正確．C選項，，其中.當(dāng)取得最大值時，，即，，故C正確.D選項，，當(dāng)時，取得最大值為，所以的最大值為，故D正確.故答案為：ACD16、已知向量，則（）A． B．C．向量在向量上的投影是 D．向量的單位向量是【答案】AB【解析】對于A:，故A正確；對于B:，故B正確；對于C:向量在向量上的投影是，故C錯誤；對于D:向量的單位向量是和，故D錯誤．故選：AB．17、對于給定的，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．過點的直線交于，若，，則D．與共線【答案】ACD【解析】如圖，設(shè)AB中點為M,則,,故A正確；等價于等價于,即，對于一般三角形而言，是外心，不肯定與垂直，比如直角三角形中，若為直角頂點，則為斜邊的中點，與不垂直.故B錯誤；設(shè)的中點為,則，∵E,F,G三點共線，，即,故C正確；,與垂直,又,∴與共線，故D正確.故選：ACD.填空題18、已知向量滿意，，則__________．【答案】【解析】.故答案為：.19、若則向量與向量夾角的大小是_______.【答案】【解析】由得20、若非零向量、,滿意,,則與的夾角為___________.【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，由題意,,，可得，所以，再由可得，，故答案是.21、