考研數(shù)學(xué)二歷年真題

考研數(shù)學(xué)二歷年真題word版

2010年考研數(shù)學(xué)二真題

-填空題(8X4=32分

)-1-

-2-

-3-

-4-

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

(1)函數(shù)xx3的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則()fxsinnx

A1.B2.C3.D無窮多個(gè).

(2)當(dāng)x0時(shí)、fxxsinax與gxx21n1bx是等價(jià)無窮小，則

()

Aa1,b

(3)設(shè)函數(shù)zl.6Bal,b111.Cal,bDal,b.

666fx,y的全微分為dzxdxydy,則點(diǎn)0,0()

A不是fx,y的連續(xù)點(diǎn).B不是fx,y的極值點(diǎn).

C是fx,y的極大值點(diǎn).D是fx,y的極小值點(diǎn).

(4)設(shè)函數(shù)fx,y連續(xù)，則dxfx,ydydy1x12224yyfx,ydx

()

Aldx1

224xfx,ydy.fx,ydx.Bldxx224xfx,ydy.CIdy1

(5)若

()4yD.Idyyfx,ydx2fx不變號(hào)，且曲線yfx在點(diǎn)

1,1上的曲率圓為x2y22,則fx在區(qū)間1,2內(nèi)

A有極值點(diǎn)，無零點(diǎn).B無極值點(diǎn)，有零點(diǎn).

C有極值點(diǎn)，有零點(diǎn).D無極值點(diǎn)，無零點(diǎn).

(6)設(shè)函數(shù)yfx在區(qū)間1,3上的圖形為：

-5-

則函數(shù)Fxx

Oftdt的圖形為()

A.

B.

C.D

(7)設(shè)A、B均為2階矩陣，A*,B*分別為A、B的伴隨矩陣。若A=2B=3,則分塊矩陣

0

B

的伴隨矩陣為()

A03B*

2A*0B

02B*

3A*0

-6-A0

0C.*2B3A*0OD.*3B2A*0

100TT(8)設(shè)A,P均為3階矩陣，P為P的轉(zhuǎn)置矩陣，月.PAP=010,若

002

TP=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),貝UQAQ為()

210110A.

002

200010C.

002110120B.002100020D.

002

二、填空題：9T4小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.

1-tu2x=edu(9)曲線在處的切線方程為0(0,0)

yt21n(2t2)

(10)已知+kxedx1,則k

1x(11)limesinnxdxn0

d2y(12)設(shè)yy(x)是由方程xyex1確定的隱函數(shù)，則dx2yx=0=(13)函數(shù)1

上的最小值為yx2x在區(qū)間0,

200TTT(14)設(shè)，為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若矩陣相似于000,

則=000

三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.

-7-

(15)(本題滿分9分)求極限limx01cosxxIn(1tanx)sin4x

(16)(本題滿分10

分)計(jì)算不定積分

(17)(本題滿分10分)設(shè)z

(18)(本題滿分10分)

設(shè)非負(fù)函數(shù)ln(ldx(x0)fxy,xy,xy,其中2zf具有2階連續(xù)偏導(dǎo)

數(shù)，求dz與xyyyxx0滿足微分方程xyy20,當(dāng)曲線

yyx過原點(diǎn)時(shí)，其與直線x1及y0圍成平面區(qū)域D的面積為2,求D繞y軸旋

轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。

(19)(本題滿分10分)求二重積分

xydxdy,D-8-

其中D

y1222,yx

(20)(本題滿分12分)

設(shè)內(nèi)過((-,)

yy(x)是區(qū)間的光滑曲線，當(dāng)-x0時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)0

X時(shí),函數(shù)y(x)滿足yyxOo求y(x)的表達(dá)式

(21)(本題滿分11分)

(I)證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)fx在a.b上連續(xù)，在a,b可導(dǎo)，則存

在a,b,使得fbfafba(II)證明：若函數(shù)fx

在x0處連續(xù)，在0,0內(nèi)可導(dǎo)，且

xOlimfxA,則f0存在，且f0A。

11111(22)(本題滿分11分)設(shè)A11,11

2042

(I)求滿足A2

1.A231的所有向量2,3-9-

(1【)對(duì)(I)中的任一向量2,3,證明：1,2,3線性無關(guān)。

(23)(本題滿分11分)設(shè)二次型

(I)求二次型22fxl,x2,x3ax12ax2a1x32x1x32x2x3f

f的矩陣的所有特征值；2,求a的值。yl2y2(II)若二次型

的規(guī)范形為

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

(1)設(shè)

f(x)x2(x1)(x2),則f'(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()-10-

A0B1.C2D3

yf(x)函數(shù)在區(qū)間［0,a］上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分aft(x)dx()0a(2)曲線方程

為A曲邊梯形AB0D面積.

B梯形ABOD面積.

C曲邊三角形ACD面積.

D三角形ACD面積.

(3)在下列微分方程中，以yClexC2cos2xC3sin2x(Cl,C2,C3為任意常數(shù))為

通解的是()

ACy'''y''4y'4yoy'y''4y'4y0

BDy'''y''4y'4y0y'''y''4y'4y0

(5)設(shè)函數(shù)f(數(shù)在()內(nèi)單調(diào)有界,xn為數(shù)列，下列命題正確的是()

A若xn收斂，則f(xn)收斂.C若f(xn)收斂，則xn收斂.

(6)設(shè)函數(shù)B若xn單調(diào)，則f(xn)收斂.D若f(xn)單調(diào)，則

xn收斂.，其中區(qū)域Duv為圖中陰影部分，則f

連續(xù)，若F(u,v)Duv22Fu

Avf(u2)

Cvf(u)

⑺設(shè)vf(u2)uvDf(u)BA為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣.若

A30,則()

AEA不可逆，EA不可逆.CEA可逆，EA可逆.BEA不可逆,

EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.

12(8)設(shè)A，則在實(shí)數(shù)域上一與A合同的矩陣為()

21

-11-

21A1221B.12

C21.12D12.21

二、填空題：9T4小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.

(9)已知函數(shù)f(x)連續(xù)，且limx0

2xlcos[xf(x)](el)f(x)x21,則f(0)____.(10)微分方程(yx

(11)曲線sine)dxxdy0的通解是y.xyInyxx在點(diǎn)0,1

處的切線方程為

2

3(12)曲線y(x5)x

yxxy的拐點(diǎn)坐標(biāo)為.(13)設(shè)z,則zx(l,2).

(14)設(shè)3階矩陣A的特征值為2,3,.若行列式2A48,則—.

三、解答題：15—23題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.

sinxsinsinxsinx(15)(本題滿分9分)求極限limx0x4

(16)(本題滿分10分).

dxxx(t)2tex0設(shè)函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程確定，其中x(t)是初值問

題dt的解.t2

yln(lu)duxt000

2y求.x2

-12-

(17)(本題滿分9分)求積分

10.

(18)(本題滿分11分)

求二重積分

(19)(本題滿分11分)

設(shè)max(xy,Ddxdy,其中D{(x,y)0x2,0y2}Df(x)是區(qū)間0,上具

有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且f(0)1.對(duì)任意的t0,，直線x0,xt,曲

線yf(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)

-13-f(x)的表達(dá)式.

(20)(本題滿分11分)

(1)證明積分中值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)

[a,b],使得

3

ba(2)若函數(shù)(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足(2)(1),(2)(x)dx,證明

f(x)dxf()(ba)2至少存在一點(diǎn)(1,3),使得()0

(21)(本題滿分11分)

求函數(shù)u

(22)(本題滿分12分)

x2y2z2在約束條件zx2y2和xyz4下的最大值與最小值.

設(shè)矩陣2al2a2a,現(xiàn)矩陣A滿足方程AXB,其中

Xx,,xTAIn12a2ann,

B1,0,,0,

(1)求證

An1an；-14-

(2)a為何值，方程組有唯一解，并求xl；

(3)a為何值，方程組有無窮多解，并求通解.

(23)(本題滿分10分)

設(shè)A為3階矩陣，1,2為A的分別屬于特征值1,1特征向量，向量3滿足

A323,

(1)證明1,2,3線性無關(guān)；

(2)令P

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

(1)當(dāng)x

01,2,3,求P1AP.(A

)1(B

)(C

1(D

)1[]

-15-

(2)函數(shù)

(exe)tanxf(x)在，上的第一類間斷點(diǎn)是x[]

1xexe

(A)0(B)1(C)(3)如圖，連續(xù)函數(shù)

2

(D)

2

1的上、卜半圓周，在區(qū)間

yf(x)在區(qū)間3,2,2,3上的圖形分別是直徑為

x

2,0,0,2的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)F(x)0

f(t)dt,則下列結(jié)論正確的是：

(A)F(3)

35

F(2)(B)F(3)F(2)4435

(C)F(3)F(2)(D)F(3)F(2)[]

44

￡a)在乂0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是:

(4)設(shè)函數(shù)

f(x)f(x)f(x)存在，則f(0)0(B)若lim存在，則f(0)0.

xOxOxx

f(x)f(x)f(x)

(C)若lim存在，則f(0)0(D)若lim存在，則f(0)0.

xOxOxx

(A)若lim

[](5)曲線

y

1

In1ex的漸近線的條數(shù)為x

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.[](6)設(shè)函數(shù)

￡?)在(0,)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)0,令unf(n),則下列結(jié)論正確的

是：u2，則un必收斂.(B)若ulu2，則un必發(fā)散

(A)若ul(C)若ul

u2,貝ijun必收斂.(D)若ulu2則un必發(fā)散.[]

(7)二元函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)0,0處可微的一個(gè)充要條件是[]

-16-

(A)

(x,ylim

)0,0

f(x,y)f(0,0)0.

(B)lim

f(x,0)f(0,0)x0

x0,且limf(0,y)f(0,0)

yOy

0.

(C)

(x,ylim)

0,00.

(D)limx0

fx(x,0)

fx(0,0)0,且lim0fy(0,y)fy(0,0)

0.

y)

(8)設(shè)函數(shù)

f(x,y連續(xù)，則二次積分1

dx2

sinx

f(x,y)dy等于

1

(A)y)dx(B)1

Ody

arcsiny

f(x,dy

0arcsiny

f(x,y)dx

(C)

1arcsiny

1arcsiny

dy

f(x,y)dx(D)0

dy

f(x,y)dx

2

2

(9)設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是

線性相關(guān)，則

(A)12,23,31

(B)12,23,31

(0

122,223,321.(D)

122,223,321.(10)設(shè)矩陣

A211121,B100

010

112000，則A與B

(A)合同且相似(B)合同，但不相似.

(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似［二、填空題：11?16小題，每小題4

分,共24分.把答案填在題中橫線上.(11)

lim

arctanxsinx

xOx

3.(12)曲線xcostcos2t

1sint

上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為.

yt

4(13)設(shè)函數(shù)

12x3

，則y(n)

(0).

(14)二階常系數(shù)非齊次微分方程

y4y3y2e2x的通解為y.

-17-

[]

]

(15)設(shè)yxzzf(u,v)是二元可微函數(shù)，zf,,則xy,

xyxy00(16)設(shè)矩陣A001000103,則A的族為.

001000

三、解答題：17?24小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(17)(本題滿分10分)設(shè)f(x)是區(qū)間0,4上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿

足

f(x)Of(t)dttOIxcostsintdt,其中f1是fsintcost的反函數(shù)，求f(x).

(18)(本題滿分11分)

設(shè)D

是位于曲線yx

2a(a1,0x)下方、x軸上方的無界區(qū)域.(I)求區(qū)域D繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)；(H)當(dāng)a為何值時(shí)，V(a)最??？并求此最小值.

(19)(本題滿分10分)求微分方程

-18-y(xy2)y滿足初始條件y(l)y(1)1的特解.

(20)(本題滿分11分)已知函數(shù)f(u)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)1,函數(shù)yy(x)由

方程yxey11

dz所確定，設(shè)zfInysinx,求dx

(21)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)d2zx0,dx2x0.f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，在

(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)g(a),f(b)g(b),證明：存在

(a,b),使得f()g().

(22)(本題滿分11分)設(shè)二元函

數(shù)x2,|x|y|1f(x,y)1x|y|2,計(jì)算二重積分

f(x,y)d,其中Dx,y|x||y|2.

D

(23)(本題滿分11分)

-19-

xlx2x30設(shè)線性方程組xl2x2ax30與方程xl2x2x3a1有公共

解，求a的值及所有公共解.2xl4x2ax30

(24)(本題滿分11分)

設(shè)三階對(duì)稱矩陣

向量，記BA的特征向量值11,22,32,1(1,1,1)T是A的屬于

1的一個(gè)特征A54A3E,其中E為3階單位矩陣.

(I)驗(yàn)證1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；(口)求矩陣

B.

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、填空題：1一6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

(1)曲線yx4sinx的水平漸近線方程為5x2cosx

(2)設(shè)函數(shù)1x23Osintdt,xOf(x)x在x0處連續(xù)，則a.

x0

-20-

(3)廣義積分

Oxdx22(1x)

(4)微分方程

(5)設(shè)函數(shù)yy(1x)的通解是xdydxxOyy(x)由方程y1xey確定，貝ij

(6)設(shè)矩陣21A,E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BAB2E,則

12

B二、選擇題：7—14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

(7)設(shè)函數(shù)

分別為且f(x)0,f(x)0,yf(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，x為自變量x在點(diǎn)x0處

的增量，y與dyf(x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若x0,貝亞]

(A)

(C)0dyy.(B)0ydy.ydy0.(D)dyy0.

x(8)設(shè)f(x)是奇函數(shù)，除x0外處處連續(xù)，x0是其第一類間斷點(diǎn)，則f(t)dt是

0

(A)連續(xù)的奇函數(shù).

(C)在x

(B)連續(xù)的偶函數(shù)0間斷的奇函數(shù)(D)在x0間斷的偶函數(shù).[]

(9)設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x)e

(A)ln31.1g(x),h(1)l,g(1)2,貝ljg(l)等于(B)ln31.[]

(D)ln21.(C)ln21.

(10)函數(shù)yClexC2e2xxex滿足的一個(gè)微分方程是

(A)(C)yy2y3xex.yy2y3xex.

1(B)(D)yy2y3ex.yy2y3ex.[](11)設(shè)f(x,y)為

連續(xù)函數(shù)，則4df(rcos,rsin)rdr等于00

-21-

(A)

XX

f(x,y)dy.(B

)f(x,y)dx.

(D)

xO

f(x,y)dy.

(O

yO

f(x,y)dx.[]

(12)設(shè)

f(x,y)與(x,y)均為可微函數(shù)，且y(x,y)0,已知(xO,yO)是f(x,y)在約束條件

(x,y)0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是[]

(A)若(B)若

fx(xO,yO)0,則fy(xO,yO)0.fx(xO,yO)0,則fy(xO,yO)0.

fx(xO,yO)0,貝ijfy(xO,yO)0.fx(xO,yO)0,貝ijfy(xO,yO)0.

(0若(D)若

(13)設(shè)1,2,s均為n維列向量,

(A)(B)

A為mn矩陣,下列選項(xiàng)正確的是[]

A1,A2,,As線性相關(guān).Al,A2,,As線性無關(guān).

若1,2,s線性相關(guān)，則若1,2,s線性相關(guān)，則

(0若1,2,s線性無關(guān)，則(D)若1,2,s線性無關(guān)，則

(14)設(shè)

A1,A2,,As線性相關(guān).

A1,A2,,As線性無關(guān).

A為

3階矩陣，將

A的第2行加到第1行得B,再將B的第1列的1倍加到第2列得C,記

110P010，則

001

(A)C(C)C

P1AP.PTAP.

(B)C(D)C

PAP1.PAPT.

[]

三、解答題：15—23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)試確定

A,B,C的值，使得ex(lBxCx2)1Axo(x3),其中。(x3)是當(dāng)x。時(shí)比x3高階

-22-

的無窮小.

(16)(本題滿分10分)求

arcsinexexdx.

(17)(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域D

(18)(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列(x,y)x2y2l,x0,計(jì)算二重積分

1xydxdy.221xyDxn滿足0xl,xn1sinxn(n1,2,)

1

xn1xn2

(I)證明limxn存在，并求該極限；(II)計(jì)算lim.nnxn

-23-

(19)(本題滿分10分)

證明：當(dāng)0ab時(shí)，

bsinb2cosbbasina2cosaa.

(20)(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(u)在(0,

)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且zf2z2z0.滿足等式x2y2(I)驗(yàn)證

(ID若

f(u)f(u)0；uf(l)0,f(1)1,求函數(shù)f(u)的表達(dá)式.

(21)(本題滿分12分)

xt21已知曲線L的方程2y4tt

點(diǎn)(x0,

(22)(本題滿分9分)

,(t0)(I)討論L的凹凸性；(II)過點(diǎn)(1,0)引L的切線，求切y0),并寫出切線

的方程；(HI)求此切線與L(對(duì)應(yīng)于xx0的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積.

-24-

已知非齊次線性方程組

xlx2x3x414x13x25x3x41有

axx3xbx134123個(gè)線性無關(guān)的解.(I)證明方程組系數(shù)矩陣A的秩

rA2；(II)求a,b的值及方程組的通解.

(23)(本題滿分9分)

設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量

11,2,1,20,1,1TT是線性方程組Ax0的兩個(gè)解.

(I)求A的特征值與特征向量；

(II)求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣，使得Q

2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)TAQ.y(1sinx)x,貝ijdyx.

(2)曲線y(1x)

x

xdx

232的斜漸近線方程為(3)(2xOl)x2.

(4)微分方程xy2yxlnx滿足y(l)1的解為.9

-25-

(5)當(dāng)x0時(shí)，(x)kx2與(x)xarcsinxcosx是等價(jià)無窮小，則k=.

(6)設(shè)1,2,3均為3維列向量，記矩陣

A(1,2,3),B(123,12243,13293),

A1,那么B.如果

二、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

(7)設(shè)函數(shù)f(x)limxn3n,則￡a)在(，)內(nèi)

(A)處處可導(dǎo).(B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).

(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).[]

(8)設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，"M

(A)F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

(B)F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

(0F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù).

(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).[]N”表示"M的充分必要條件是N"，則

必有

xt22t,(9)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是yln(lt)

(A)

(C)Uln23.(B)ln23.8881n23.(D)81n23.[]

D{(x,y)x2y24,x0,y0},f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則(10)

設(shè)區(qū)域

Daf(x)bf(y)f(x)

(A)f(y)ab.(B)ab2.(C)(ab).(D)

xy

xyab2.[]具有一階導(dǎo)(11)設(shè)函數(shù)u(x,y)

數(shù)，則必有

(A)(xy)(xy)(t)dt,其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，2u2u2.

2xy2u2u22xy.(B)

(0

2u2uxyy2.(D)2u2uxyx2-26-.[]

(12)設(shè)函數(shù)f(x)

e

(A)Ixx1,則1x=0,x=l都是f(x)的第一類間斷點(diǎn).

(B)x=0,x=l都是f(x)的第二類間斷點(diǎn).

(0x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=l是f(x)的第二類間斷點(diǎn).

(D)x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=l是f(x)的第一類間斷點(diǎn).[]

(13)設(shè)1,2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為1,2,則

1,A(1關(guān)的充分必要條件是

(A)2)線性無10.(B)20.(C)10.(D)20.[]

2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,A*,B*分別為A,B的伴隨矩陣，

(14)設(shè)A為n(n

貝I」[]

(0交換A*的第1列與第2列得B*.(B)交換A*的第1行與第2行得B*.

*(0交換A的第1列與第2列得解B*.(D)交換A*的第1行與第2行得B*.

~~.、

答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(15)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)0,求極限

1imx0x0(xt)f(t)dtx

0.xf(xt)dt

(16)(本題滿分11分)

如圖，Cl和C2分別是y1過點(diǎn)(0,1)的曲線C3(lex)和yex的圖象，2

是一單調(diào)增函數(shù)的圖象.過C2上任一點(diǎn)M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線1

x和

-27-

ly.記C1,C2與lx所圍圖形的面積為Sl(x)；C2,C3與C所圍圖形的面積為S2(y).如

果總有Sl(x)S2(y),求曲線C3的方程x(y).

(17)(本題滿分11分)

如圖，曲線C的方程為y=f(x),點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線11與12分別是曲

線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4).設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)

算

定積分

(18)(本題滿分12分)

用變量代換30(x2x)f(x)dx.xcots(0t)化簡(jiǎn)微分方程

(1x2)yxyy0,并求其滿足y

x0l,yx02的特解.

(19)(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且

f(0)=0,f(1)=1.證明：

-28-

(I)存在

(II)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，(0,1),使得f()f()1.(0,1),使得

f()1；

(20)(本題滿分10分)

已知函數(shù)z=f(x,y)的全微分dz2xdx2ydy,并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在橢圓域

y2

D{(x,y)x1}上的最大值和最小值.42

(21)(本題滿分9分)計(jì)算二重積分

(22)(本題滿分9分)

確定常數(shù)a,使向量組xD2y21，其中D{(x,y)0x1,0y1).

1(1,1,a)T,2(l,a,1)T,3(a,1,1)T

線性表示，但向量組可由向量組1(1,1,a)T,2(2,a,4)T,3(2,a,a)T

1,2,3線性表示.

1,2,3不能由向量組-29-

(23)(本題滿分9分)

123已知3階矩陣A的第一行是(4瓦0,8瓦。不全為零，矩陣8246(k為常

數(shù))，且AB=O,求36k

線性方程組Ax=O的通解.

2004年考碩數(shù)學(xué)(二)真題

填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)f(x)lim(n1)x

nnx21,則f(x)的間斷點(diǎn)為x.

(2)設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程3xt3t1確定，則曲線yy(x)向上凸的x取

值范圍為..3yt3t1

(3

)1..

zz.xy(4)設(shè)函數(shù)zz(x,y)由方程ze2x3z2y確定，則3

3(5)微分方程(yx

)dx2xdy0滿足yx1-30-6的特解為.5

210(6)設(shè)矩陣A120,矩陣B滿足ABA2BAE,其中A為A的伴隨

矩陣，E是單位001

矩陣，則B

選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)

(7)把x0時(shí)的無窮小量

costdt

0x2,x2

0,0t3dt排列起來，使

排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是

(A),,.(B),,.

,.(C),,.(D),

(8)設(shè)f(x)x(lx),則

(A)x

(B)x

(C)x

(D)x0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線yf(x)的拐點(diǎn).。不是f(x)的極值點(diǎn),

但(0,0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn).0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn).

0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線yf(x)的拐點(diǎn).

等于

2(9

)limlnn(A)1

221n2xdx.(B)2Inxdx.122(C)2lln(lx)dx.(D)lln(lx)dx

(10)設(shè)函數(shù)

(A)

(B)f(x)連續(xù)，且f(0)0,則存在0,使得f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加.f(x)在

(,0)內(nèi)單調(diào)減小.

f(x)f(0).

-31-(C)對(duì)任意的x(0,)有

(D)對(duì)任意的x(,0)有￡&)f(0).

(11)微分方程

(A)

(B)

(C)

(D)yyx21sinx的特解形式可設(shè)為yax2bxcx(AsinxBcosx).

yx(ax2bxcAsinxBcosx).yax2bxcAsinx.

yax2bxcAcosx

(12)設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，區(qū)域D(x,y)x2y22y

則f(xy)dxdy等于D

(A

)IdxOdy0

21f(xy)dy.f(xy)dx.(B

)2(C)

(D)

(13)設(shè)Od002sinf(r2sincos)dr.f(r2sincos)rdrA的第

d2sin0A是3階方陣，將1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列

得C,則滿足AQC的可逆矩陣Q為

010010(A)100.(B)101.101001

010011(C)100.(D)100.011001

(14)設(shè)A,B為滿足AB0的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有

A的列向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān).

A的列向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān).

A的行向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān).

-32-(A)(B)(C)

(D)A的行向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān).

三.解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.)

(15)(本題滿分10分)1求極限lim3xOx

2cosxx1.3

(16)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)￡6)在(，)上有定義，在區(qū)間［0,2］上，f(x)x(x24),若對(duì)任意的

x都滿足f(x)kf(x2),其中k為常數(shù).

(I)寫出

(17)(本題滿分11分)x

*￡6)在［2,0］上的表達(dá)式；(H)問k為何值時(shí)，f(x)在x0處可導(dǎo).2設(shè)

f(x)sintdt,(I)證明f(x)是以為周期的周期函數(shù)；(11)求f(x)的值域.

-33-

(18)(本題滿分12分)exex

曲線y2與直線x0,xt(t0)及y0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一

周得?旋轉(zhuǎn)體，其體積為V(t),側(cè)面積為S(t),在xt處的底面積為F(t).

(I)求求t)S(t)的值；(II)計(jì)算極限限m.tF(t)V(t)

(19)(本題滿分12分)設(shè)eabe,證明In

(20)(本題滿分11分)

某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí),為了減小滑行距離,在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大

阻力,使飛機(jī)迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為

700km/h.經(jīng)測(cè)試,減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為

k22bln2a4(ba).e26.0106).問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？

注kg表示千克,km/h表示千米/小時(shí).

-34-

22xy(21)(本題滿分10分)設(shè)zf(xy,e),其中zz2zf具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),

求,，xyxy.

(22)(本題滿分9分)

設(shè)有齊次線性方程組

(1a)xlx2x3x40,2x(2a)x2x2x0,1234

3x13x2(3a)x33x40,

4x14x24x3(4a)x40,

試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解.

-35-

(23)(本題滿分9分)

123設(shè)矩陣143的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值，并討論A是否可相

似對(duì)角化.la5

2003年考研數(shù)學(xué)(二)真題

三、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)若x0時(shí)，(1ax)1與xsinx是等價(jià)無窮小，則a=.

xy4所確定，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是?124(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)由方

程xy21n

(3)y2x的麥克勞林公式中xn項(xiàng)的系數(shù)是.

ea(a0),則該曲線上相應(yīng)于從0變到2的一段弧與極軸所(4)設(shè)曲線的極

坐標(biāo)方程為

圍成的圖形的面積為.

I11,則nI(5)設(shè)為3維列向量，是的轉(zhuǎn)置.若

11111

T.

101220(6)設(shè)三階方陣A,B滿足ABABE,其中E為三階單位矩陣，若

A0，則

201

B.

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求，把-36-

所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

(1)設(shè){an},{bn},{cn}均為非負(fù)數(shù)列，且lim

(A)nan0,limbn1,limcn，則必有nnanbn對(duì)任意n成立.(B)

bncn對(duì)任意n成立.

n(C)極限limancn不存在.(D)極限limbncn不存在.[]n

3n1(2)設(shè)annlxxndx,則