人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)上冊第03講 等腰三角形（原卷版）

第03講等腰三角形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①等腰三角形的性質(zhì)②等腰三角形的判定掌握等腰三角形的性質(zhì)并能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。掌握等腰三角形的判定方法，能夠運(yùn)用已知條件熟練判定等腰三角形。知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的概念：有兩條邊的三角形是等腰三角形。相等的兩邊叫做等腰三角形的，所對(duì)的角叫做等腰三角形的，另一邊是三角形的底，所對(duì)的角是等腰三角形的。等腰三角形的性質(zhì)：如圖①等腰三角形的兩腰。即ABAC。②等腰三角形的兩個(gè)底角。即∠B∠C?！竞喎Q：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互?！竞喎Q底邊上三線合一】即∠ABD∠CAD，BDCD，ADBC。題型考點(diǎn)：①熟練性質(zhì)。②利用性質(zhì)計(jì)算?！炯磳W(xué)即練1】1．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合 B．三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等 C．等腰三角形的兩個(gè)底角相等 D．等腰三角形頂角的外角是底角的二倍【即學(xué)即練2】2．已知等腰三角形的一個(gè)頂角為120°，則這個(gè)等腰三角形的底角為（）A．30° B．60° C．80° D．120°【即學(xué)即練3】3．如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為2cm和5cm，那么它的周長是（）A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．以上答案都不對(duì)【即學(xué)即練4】4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，則∠DEC＝（）A．90° B．100° C．105° D．110°【即學(xué)即練5】5．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為16cm，則AB邊的取值范圍是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm知識(shí)點(diǎn)02等腰三角形的判定利用等角對(duì)等邊判定：一個(gè)三角形中如有兩個(gè)角，則這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊也。（等角對(duì)等邊）則這個(gè)三角形是等邊三角形。利用三線合一性質(zhì)判定：若三角形有一邊上的中線、高線以及它對(duì)角的角平分線，則這個(gè)三角形是等腰三角形。題型考點(diǎn)：①利用內(nèi)角和公式求內(nèi)角和或求多邊形的邊數(shù)。②利用多邊形的內(nèi)外角關(guān)系計(jì)算?！炯磳W(xué)即練1】6．在△ABC中，與∠A相鄰的外角是130°，要使△ABC為等腰三角形，則∠B的度數(shù)是（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或65°或80°【即學(xué)即練2】7．下列能確定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周長為15【即學(xué)即練3】8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE∥BC，交BD的延長線于點(diǎn)E．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等腰三角形．【即學(xué)即練4】9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為∠ABC的平分線BD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接CD，若BE+CF＝EF．求證：△CFD是等腰三角形．題型01等腰三角形與周長【典例1】若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（）A．9 B．7 C．12 D．9或12【典例2】一個(gè)等腰三角形的兩邊長為8和10，則它的周長m的取值為（）A．26或28 B．26 C．28 D．26＜m＜28【典例3】已知等腰三角形的兩邊a，b滿足，則等腰三角形的周長為（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【典例4】已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣3|+＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．10 B．11 C．10或11 D．以上答案均不對(duì)題型02等腰三角形的性質(zhì)求線段長度【典例1】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分線分別交AB、AC于D、E，若CD＝1，則BD等于（）典例1典例2A．1 B． C． D．【典例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，點(diǎn)E在AC上，EF垂直平分AC，交AB于F，BF＝1，則EF的長為（）A．4 B．3 C． D．【典例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝5cm，則BF＝（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【典例4】如圖，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1.6cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△CMN是以MN為底的等腰三角形時(shí)，則這時(shí)等腰三角形的腰長是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm題型03等腰三角形的性質(zhì)求角度【典例1】等腰三角形的一個(gè)底角是a°，它的頂角是（）A．a(chǎn)° B．90°﹣a° C．180°﹣2a°【典例2】如圖，直線a∥b，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線a和b上，點(diǎn)C在直線a、b之間，且BC＝AC，∠ACB＝120°，∠1＝45°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【典例3】如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（）A．28° B．36° C．45° D．72°【典例4】如圖，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠E＝40°，∠ACD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．25° D．30°【典例5】定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，則它的特征值k等于（）A． B． C．或 D．或題型04等腰三角形的判定【典例1】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE∥AD交BA的延長線于點(diǎn)E，求證：△ACE是等腰三角形．【典例2】如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，CE平分∠ACD，且CE∥AB，求證：△ABC為等腰三角形．【典例3】如圖，已知在△ABC中，D、E是BC上兩點(diǎn)，且∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠EAC，求證：AB＝AC．【典例4】如圖，在△ABC中，P是BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長線于點(diǎn)R．若AQ＝AR，求證：△ABC是等腰三角形．【典例5】如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點(diǎn)D，連接CD．求證：△ACD為等腰三角形．題型05等腰三角形的判定與性質(zhì)【典例1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．（1）求證：AD＝CD；（2）若AC＝BC，∠D＝120°，求∠B的度數(shù)．【典例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）若AE＝6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長．【典例3】如圖，已知點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點(diǎn)，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分線交AF于點(diǎn)G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)．【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，∠BCD＝∠A．（1）如圖1，試說明CD＝CB的理由；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，BE與CD相交于點(diǎn)F．①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．【典例5】（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是，△AEF的周長是（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明．1．等腰三角形的兩個(gè)底角相等，頂角的度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°2．已知等腰三角形一邊長等于4，一邊長等于9，它的周長是（）A．17或22 B．22 C．17 D．133．如圖，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．25° D．30°4．“廊橋凌水，樓閣傲天，狀元故里狀元橋，綬溪橋上看綬溪”．莆田綬溪公園開放“狀元橋”和“狀元閣”游覽觀光，其中“狀元閣”的建筑風(fēng)格堪稱“咫尺之內(nèi)再造乾坤”．如圖，“狀元閣”的頂端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是邊BC上的一點(diǎn)．下列條件不能說明AD是△ABC的角平分線的是（）A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD C．BC＝2AD D．S△ABD＝S△ACD5．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝6，則BF＝（）A．8 B．9 C．12 D．186．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，﹣3），在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)B，使△AOB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)B共有（）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．87．如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC＝8，則△ADE的周長為（）A．6 B．8 C．10 D．128．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，以下四個(gè)結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AC；③當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，∠BAD＝20°；④當(dāng)∠BAD＝30°時(shí)，BD＝CE．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．49．在△ABC中，AB＝AC，且過△ABC某一頂點(diǎn)的直線可將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，則∠BAC的度數(shù)為．10．定義：如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊長度的兩倍，則稱這個(gè)三角形為倍長三角形．若等腰△ABC是倍長三角形，且一邊長為6，則△ABC的底邊長為．11．如圖，在△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，且BD平分∠ABC，過A作AE⊥BD于點(diǎn)E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，則AE＝．如圖，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按以下要求畫圖：以點(diǎn)A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第一條線段AA1；再以A1為圓心、1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第二條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第三條線段A2A3……這樣一直畫下去，最多能畫條線段．13．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為線段CE的中點(diǎn)，BE＝AC．（1）求證：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度數(shù)．14．如圖1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作BC平行線交AB、AC于D、E．（1）請寫出圖1中線段BD，