人教版初中數(shù)學(xué)同步講義七年級下冊第07講 專題3 一次方程（組）中整體思想的應(yīng)用（解析版）

第07講專題3一次方程（組）中整體思想的應(yīng)用類型一：不解方程（組）求式子的值類型二：利用整體代入法求方程組的解類型三：整體換元法求未知數(shù)的值類型一：不解方程（組）求式子的值1．已知x，y為二元一次方程組的解，則x﹣y＝1．【分析】兩式相減即可得出答案．【解答】解：，②﹣①，得2x﹣2y＝2，則x﹣y＝1．故答案為：1．2．若，是關(guān)于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，則2m﹣4n的值等于（）A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2【分析】把x與y的值代入方程計算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入計算即可．【解答】解：將代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．故選：B．3．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一個解，則3a﹣2b+2025的值為2024．【分析】先將方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整體代入求值即可．【解答】解：將代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，∴原式＝﹣1+2025＝2024；故答案為：2024．4．已知是方程mx+ny＝5的解，則代數(shù)式4m+6n﹣1的值為9．【分析】把代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，變形后代入，即可求出答案．【解答】解：把代入方程mx+ny＝5得：2m+3n＝5，所以4m+6n﹣1＝2（2m+3n）﹣1＝2×5﹣1＝9．故答案為：9．5．如果是方程2x﹣3y＝2020的一組解，那么代數(shù)式2024﹣2m+3n＝4．【分析】先根據(jù)方程解的定義求出2m﹣3n的值，再整體代入求值．【解答】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一組解，∴2m﹣3n＝2020．∴代數(shù)式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．故答案為：4．6．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一個解，則3a﹣2b的值為﹣1．【分析】把解代入二元一次方程中，可得結(jié)論．【解答】解：∵是二元一次方程ax+by＝﹣1的一個解，∴3a﹣2b＝﹣1．故答案為：﹣1．7．已知x、y是二元一次方程組的解，那么x﹣y的值是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【分析】將方程兩式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：將方程兩式相加得，4x﹣4y＝8，∴x﹣y＝2，故選：A．8．已知x、y滿足方程組，則x+y的值為（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】直接把兩式相加即可得出結(jié)論．【解答】解：，①+②得，4x+4y＝16，解得x+y＝4．故選：B．9．已知二元一次方程組，則m+n的值是（）A．9 B．3 C．﹣3 D．﹣9【分析】②﹣①得：m+n＝3．【解答】解：，②﹣①得：m+n＝3．故選：B．10．如果關(guān)于x，y的方程組與的解相同，則a+b的值為（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0【分析】把代入方程組，得到一個關(guān)于a，b的方程組，將方程組的兩個方程左右兩邊分別相加，整理即可得出a+b的值．【解答】解：把代入方程組，得：，①+②，得：7（a+b）＝7，則a+b＝1．故選：A．類型二：利用整體代入法求方程組的解11．解方程組：．【分析】方程組利用代入消元法求解即可．【解答】解：，由①得x＝3y﹣1③，把③代入②，得6y﹣y＝10，解得y＝2，把y＝2代入③，解得x＝5，∴．12．解方程組時，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，從而進一步求得這種解法為“整體代入法“，請用這樣的方法解下列方程組．【分析】利用整體代入法的求解方法進行解答即可．【解答】解：，把①代入②得：3×12+5y＝26，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：2x+6＝12，解得x＝3，故原方程組的解是：．13．閱讀以下材料：解方程組：；小亮在解決這個問題時，發(fā)現(xiàn)了一種新的方法，他把這種方法叫做“整體代入法”，解題過程如下：解：由①得x﹣y＝1③，將③代入②得：（1）請你替小亮補全完整的解題過程；（2）請你用這種方法解方程組：．【分析】（1）利用整體代入法進行求解即可；（2）利用整體代入法進行求解即可．【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，將③代入②得：4×1﹣y＝0，解得y＝4，把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，解得x＝5，故原方程組的解是：；（2），整理得：，把③代入④得：2×2+1+15y＝50，解得y＝3，把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，解得x＝，故原方程組的解是：．14．先閱讀材料，然后解方程組：材料：解方程組在本題中，先將x+y看作一個整體，將①整體代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以這種解法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用此法解答，請用這種方法解方程組．【分析】根據(jù)閱讀材料中的方法求出方程組的解即可．【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，把y＝﹣1代入③得：x＝0，則方程組的解為．15．整體代入就是把某些部分看成一個整體，則能使復(fù)雜的問題簡單化．例如在解方程組時，把①變形：x﹣y＝1③，把③代入②中，求得x＝0，y＝1；利用整體代入思想，已知，則x2+4y2＝17．【分析】將x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5即可求得x，y的值；給2x2+xy+8y2＝36兩邊同乘以2得到方程③4x2+2xy+16y2＝72，然后方程①3x2﹣2xy+12y2＝47加方程③4x2+2xy+16y2＝72即可解答．【解答】解：把x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5，解得y＝﹣1，∴x＝0，故答案為：0，1；，②×2得：4x2+2xy+16y2＝72③，③+①得：4x2+2xy+16y2+3x2﹣2xy+12y2＝47+72，∴7x2+28y2＝119，∴7（x2+4y2）＝119，∴x2+4y2＝17，故答案為：17．16．閱讀材料：小強同學(xué)在解方程組時，采用了一種“整體代換”解法：解：將方程②變形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程組的解為．請你解決以下問題（1）模仿小強同學(xué)的“整體代換”法解方程組；（2）已知x，y滿足方程組；（i）求xy的值；（ii）求出這個方程組的所有整數(shù)解．【分析】（1）把3x+5y看做一個整體，求出3x+5y的值，進而可得出結(jié)論；（2）將①代入方程②求出xy的值，再由x與y是整數(shù)求出符合條件的x，y的對應(yīng)值即可．【解答】解：（1），將方程②變形：6x+10y+y＝35，即2（3x+5y）+y＝35③，把方程①代入③得：2×16+y＝35，解得y＝3，把y＝3代入方程①，得，所以方程組的解為；（2）（i）原方程組化為，將①代入方程②得：72+7xy＝51，∴xy＝﹣3；（ii）由（i）得xy＝﹣3，∵x與y是整數(shù)，∴或或或，由（i）可求得2x2+3y2＝21，∴和符合題意，故原方程組的所有整數(shù)解是或．類型三：整體換元法求未知數(shù)的值17．用換元法解方程組，如果，那么原方程組化為關(guān)于u、v的方程組是．【分析】結(jié)合已知條件，利用換元法將原二元一次方程組進行換元即可．【解答】解：已知，設(shè)＝u，＝v，那么原方程組化為：，故答案為：．18．解方程組．【分析】先把方程組化簡后，再用適當?shù)姆椒ㄟM行求解．【解答】解：原方程組可化為：，（2）×5+（1）得：46y＝46，y＝1，把y＝1代入（1）得：x＝7．∴．19．關(guān)于x，y的方程組（其中a，b是常數(shù)）的解為，則方程組的解為（）A． B． C． D．【分析】由原方程組的解及兩方程組的特點知，x+y、x﹣y分別相當于原方程組中的x、y，據(jù)此列出方程組，解之可得．【解答】解：由題意知，，①+②，得：2x＝7，x＝3.5，①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，所以方程組的解為，故選：C．20．閱讀材料，解答問題：材料：解方程組，我們可以設(shè)x+y＝a，x﹣y＝b，則原方程組可以變形為，解得，將a、b轉(zhuǎn)化為，再解這個方程組得．這種解方程的過程，就是把某個式子看作一個整體，用一個字母代替他，這種解方程組得方法叫做換元法．請用換元法解方程組：．【分析】設(shè)x+y＝a，x﹣y＝b，則原方程組可以變形為，用加減消元法解得，再解方程組即可求解．【解答】解：設(shè)x+y＝a，x﹣y＝b，則原方程組可以變形為，用加減消元法解得，再將a、b轉(zhuǎn)化為，解得．21．閱讀下列材料，解答問題：材料：解方程組，若設(shè)x+y＝m，x﹣y＝n，則原方程組可變形為，用加減消元法得，所以，在解這個方程組得，由此可以看出，上述解方程組過程中，把某個式子看成一個整體，用一個字母去代替它，我們把解這個方程組的方法叫換元法．問題：請你用上述方法解方程組．【分析】設(shè)x+y＝A，x﹣y＝B，方程變形后，利用加減消元法求出A與B的值，進而確定出x與y的值即可．【解答】解：設(shè)x+y＝A，x﹣y＝B，方程組變形得：，整理得：，①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，即A＝﹣10，把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，∴，解得：．22．閱讀探索：材料一：解方程組時，采用了一種“換元法”的解法，解法如下：解：設(shè)a﹣1＝x，b+2＝y(tǒng)，原方程組可化為，解得，即，解得．材料二：解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法，解法如下：解：將方程②8x+20y+2y＝10，變形為2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，則y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為：．根據(jù)上述材料，解決下列問題：（1）運用換元法解求關(guān)于a，b的方程組：的解；（2）若關(guān)于x，y的方程組的解為，求關(guān)于m，n的方程組的解．（3）已知x、y、z，滿足，試求z的值．【分析】（1）用換元法替換和，解方程組即可；（2）用換元法替換5