新教材數學人教A選擇性必修第一冊課件3.1.1　橢圓及其標準方程

3.1橢圓3.1.1橢圓及其標準方程學習目標1.經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,了解橢圓的實際背景.2.掌握橢圓的定義及橢圓的標準方程.3.會用定義法、待定系數法和相關點法求橢圓的標準方程.1.橢圓的定義

1|橢圓的定義2.橢圓定義的三個要點(1)在平面內,F1,F2是兩個定點;(2)|MF1|+|MF2|=2a為定長;(3)定長2a>|F1F2|.2|橢圓的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程⑥

+

=1(a>b>0)

⑦

+

=1(a>b>0)

圖形

焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上焦點坐標⑧(-c,0),(c,0)

⑨(0,-c),(0,c)

a,b,c的關系⑩

a2=b2+c2

1.已知F1(-2,0),F2(2,0),平面內到F1,F2兩點的距離之和等于2的點的軌跡是橢圓.

(

?)提示:|F1F2|=4>2,故動點的軌跡不存在.2.橢圓的標準方程只與橢圓的形狀、大小有關,與位置無關.(

?)3.橢圓的兩種標準方程

+

=1(a>b>0)和

+

=1(a>b>0)中,雖然焦點位置不同,但都具備a2=b2+c2.(√)4.橢圓

+

=1的焦點為(-

,0),(

,0).

(

?)提示:在橢圓

+

=1中,a2=9,b2=4,焦點在y軸上,所以焦點為(0,-

)、(0,

).判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1|橢圓標準方程的求法

1.定義法求橢圓的標準方程根據橢圓的定義確定a,b的值,結合焦點位置寫出橢圓方程.2.待定系數法求橢圓的標準方程(1)求橢圓的標準方程,一般是先“定性”,即判斷焦點所在的坐標軸;再“定量”,

即確定a,b的值.(2)求a,b的值,一方面可利用條件直接求出;另一方面可用待定系數法設出相應的

標準方程,再計算.如果明確橢圓的焦點在x軸上,那么設所求的橢圓方程為

+

=1(a>b>0);如果明確橢圓的焦點在y軸上,那么設所求的橢圓方程為

+

=1(a>b>0);如果中心在原點,但焦點的位置不能明確是在x軸上,還是在y軸上,那么方程可設

為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).求符合下列條件的橢圓的標準方程:(1)過點(

,-

),且與橢圓

+

=1有相同的焦點;(2)焦點在坐標軸上,且經過A(

,-2)和B(-2

,1)兩點.思路點撥(1)思路一:設

+

=1(a>b>0)

求a2,b2

得到橢圓的標準方程;思路二:設所求方程為

+

=1(λ>-9),利用待定系數法求解.(2)設mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)

待定系數法求橢圓的方程.解析

(1)解法一:因為所求橢圓與橢圓

+

=1的焦點相同,所以所求橢圓的焦點在y軸上,且c2=25-9=16.設所求橢圓的標準方程為

+

=1(a>b>0).因為c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①因為點(

,-

)在橢圓上,所以

+

=1,即

+

=1.②由①②得b2=4,a2=20,所以所求橢圓的標準方程為

+

=1.解法二:設所求橢圓方程為

+

=1(λ>-9),因為點(

,-

)在橢圓上,所以

+

=1,化簡得λ2+26λ+105=0,解得λ=-5或λ=-21(舍).所以所求橢圓方程為

+

=1.(2)設所求橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).因為A(

,-2)和B(-2

,1)兩點在橢圓上,所以

即

解得

所以所求橢圓的標準方程為

+

=1.

利用橢圓的定義求動點軌跡方程(1)解題步驟:

2|求曲線方程問題條件結論2a>|F1F2|動點的軌跡是橢圓2a=|F1F2|動點的軌跡是線段F1F22a<|F1F2|動點不存在,因此軌跡不存在(2)易錯警示:

相關點法(代入法)求動點的軌跡方程(1)相關點法有些與橢圓有關的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的,只要把所

求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去即可解決問題.

這種求軌跡方程的方法叫相關點法.(2)相關點法的解題步驟設M(x,y)是要求的軌跡上任一點,P(x1,y1)是已知曲線上與M相關的動點:①建立兩動點M、P之間的關系:

②將上述關系式代入P點所在的曲線方程,化簡就可得到M點的軌跡方程.求過點A(2,0)且與圓B:x2+4x+y2-32=0內切的圓M的圓心的軌跡方程.思路點撥由兩圓內切確定圓心距與半徑的關系

尋找動點滿足的幾何條件

判定幾何條件符合橢圓的定義,進而求出橢圓方程.解析

將圓B的方程化成標準形式為(x+2)2+y2=36,則圓心坐標為B(-2,0),半徑為6.易知點A(2,0)在圓x2+4x+y2-32=0的內部,如圖所示.設動圓圓心M的坐標為(x,y),切點為C.由于動圓與已知圓內切,所以已知圓(大圓)半徑與動圓(小圓)半徑之差等于兩圓

圓心的距離,即|BC|-|MC|=|BM|.因為|BC|=6,所以|BM|+|CM|=6.又因為|CM|=|AM|,所以|BM|+|AM|=6.根據橢圓的定義知點M的軌跡是以點B(-2,0)和點A(2,0)為焦點,線段AB的中點(原

點)為中心的橢圓,所以圓心M的軌跡方程為

+

=1.解題模板與圓有關的軌跡問題,常由圓的幾何性質得到幾何條件,判斷幾何條件是否

滿足橢圓的定義,若滿足,利用橢圓的定義求軌跡方程.

焦點三角形及其解法(1)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形.解關于橢

圓的焦點三角形問題,通常要利用橢圓的定義,再結合正弦定理、余弦定理等知

識求解.(2)焦點三角形的常用公式:①焦點三角形的周長C=2a+2c.②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.③設P(xP,yP),焦點三角形的面積

=c|yP|=

|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan

.3|如何解決橢圓的焦點三角形問題(1)已知P為橢圓

+

=1上一點,F1,F2是橢圓的焦點,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積;(2)設P是橢圓

+

=1上一動點,F1,F2是橢圓的兩個焦點,求cos∠F1PF2的最小值.思路點撥(1)利用橢圓的定義及余弦定理解決問題.(2)將cos∠F1PF2用|PF1|,|PF2|表示出來

利用基本不等式求最值.解析

(1)由已知得a=2

,b=

,所以c=

=

=3,從而|F1F2|=2c=6.在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=4

,所以48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|=4.所以

=

|PF1|·|PF2|·sin60°=

.(2)由題意得a=3,b=2,