數(shù)學(xué)-湖南省天壹名校聯(lián)盟2025屆高三8月入學(xué)聯(lián)考考試試題和答案

機(jī)密★啟用前湖南·2025屆高三入學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量a=(m,—1),b=(1,2),且a·b<0,則m的取值范圍為A.(—,2)B.(—0,—2)C.(—2,2)A.?B.[2,3]3.已知母線長(zhǎng)為10的圓臺(tái)的側(cè)面積為100π,且其上底面的半徑r與下底面的半徑R滿(mǎn)足R=4r,則A.2B.4C.85.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acosC—ccosA=b,則sinA=6.記拋物線E:y2=4.x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在E上，B(2,1),則|AF|+|AB|的最小值為A.2B.3C.47.記A,B為隨機(jī)事件，已知,則P(A+B)=【高三數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))】的部分圖象如圖所示，A,B,C是f(x)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).若△ABCC是直角三角形，且,則B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.北京時(shí)間2024年7月27日，我國(guó)射擊健將黃雨婷、李豪戰(zhàn)勝韓國(guó)選手，摘奪了射擊混合團(tuán)體10米氣步槍金牌，通過(guò)賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為7,12,13,17,18,20,32,則A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等10.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}滿(mǎn)足(an+1—nam)(am+1+an)=0,記{nan+1}的前n項(xiàng)和為則可能為等差數(shù)列B.a,=(-1)”-1C.若an>0,則T,=(n+1)!—111.已知函數(shù)f(x)=In(1+e“)-x是偶函數(shù)，點(diǎn)A(x?,f(x?)),點(diǎn)B(x?,f(x?)),點(diǎn)C(x?,f(x?))在函數(shù)f(x)的圖象上，且x?—x?=x?—x?=1,記△ABC的邊AC上的高為則B.函數(shù)g(x)=f(x)一x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減C.點(diǎn)B可能在以AC為直徑的圓上D.h的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知4cos0+sinθ=0,則tan20=13.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的解析式：①f(x)不是常函數(shù)②f(x)的最小正周期為2③f(x)不存在對(duì)稱(chēng)中心14.已知雙曲線(C)的左，右焦點(diǎn)分別為F?,F?于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B上方),|AF?|=2|BF?|.過(guò)點(diǎn)F?作直線l?//l?,在第二象限交C于點(diǎn)E,若直線BE與直線AF?的交點(diǎn)在直線上，則C的離心率為【高三數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))】四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.(13分)已知橢圓M過(guò)點(diǎn)(0,√6)和(1,√3).(1)求M的離心率；(2)若直線l:y=x+m與M有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求l的一般式方程.16.(15分)中國(guó)能源生產(chǎn)量和消費(fèi)量持續(xù)攀升，目前已經(jīng)成為全球第一大能源生產(chǎn)國(guó)和消費(fèi)國(guó)，能源安全是關(guān)乎國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的全局性、戰(zhàn)略性問(wèn)題，為了助力新形勢(shì)下中國(guó)能源高質(zhì)量發(fā)展和能源安全水平提升，發(fā)展和開(kāi)發(fā)新能源是當(dāng)務(wù)之急.近年來(lái)我國(guó)新能源汽車(chē)行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車(chē)不僅對(duì)環(huán)境保護(hù)具有重大的意義，而且還能夠減少對(duì)不可再生資源的開(kāi)發(fā)，是全球汽車(chē)發(fā)展的重要方向.“保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)”,在政府和有關(guān)企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車(chē)的購(gòu)買(mǎi)情況如下表所示：新能源汽車(chē)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量y(萬(wàn)輛)(1)計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r(保留三位小數(shù));(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2025年新能源汽車(chē)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量.參考公式,a=y-bx.17.(15分)如圖，三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)面AA?C?C(2)若二面角A—BC?—B?的余弦值為,求BC?.【高三數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))】(3)若g(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x?,x?(0<x?<x2),討論f(x?)和f(x?)的大小關(guān)系.19.(17分)對(duì)于一個(gè)非零整數(shù)n和質(zhì)數(shù)p,我們稱(chēng)n中含的p冪次為vp(n),vp(n)定義為最大的非負(fù)整數(shù)k,使得存在非零整數(shù)m,有n=p·m,例如v?(8)=3,v?(36)=2等.定義一個(gè)非零有理,且規(guī)定v,(0)=十一.現(xiàn)在對(duì)于任意事事(1)直接寫(xiě)出|144|2,的值；3(2)證明對(duì)于一個(gè)正整數(shù)α,存在一列非整數(shù)的正有理數(shù)x?,x2,…,x,使1>d?(a,x1)>(3)給定質(zhì)數(shù)p,若一個(gè)無(wú)窮集合A中任意一數(shù)列{xn},對(duì)于任意yA,,則我解x2—5x—6≤0得—1≤x≤6,【解析】因?yàn)樵搱A臺(tái)的側(cè)面積為100π,母線長(zhǎng)l=10,所以π(r+4r)×10=100π,解得r=2,R=8,故選C.C+B=π,結(jié)合A+B+C=π有C=0,故舍去，∴A=B+C,∴,∴sinA=1,【解析】過(guò)點(diǎn)A作x=-1的垂線，垂足為D,則|AF|=|AD|,|AF|+|AB|=|AD|+|AB|≥3,【解析】記P(A)=x,由全概率公式有P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A),代入數(shù)據(jù)有故答案選D.,由△ABC是直角三角形可得AB⊥BC,結(jié)合,解得故答案選C.【解析】對(duì)于A項(xiàng)，極差等于32-7=25,故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，7×75%=5.25,故75%分位數(shù)為20,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，平均數(shù)等,故C正確，對(duì)于D項(xiàng)，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相【解析】由題意可得an+1=na,或an+1+a,=0.注意到若存在m∈N*使得am+1+am=0,則amam+1<0,C項(xiàng)，只能滿(mǎn)足an+1=na,,累乘得an+1=n!,∴a,=(n—1)!(n≥2),當(dāng)n=1時(shí)也符合，此故數(shù)列故C正確；若anan+1<0,則an+1+a,=0,故a,=(-1)"-1,故B錯(cuò)誤；此時(shí)nan+1=(-1)"n,奇偶分類(lèi)討論有,此時(shí)T2n-1+T2n=0,故D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由f(x)是偶函數(shù)有f(x)=f(一x),則In(1+e“)-x=In(1+e-“)+x,正確；對(duì)于B選項(xiàng)，g(x)=f(x)-x=In(1+e2)-2x=In(1+e-2*),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷有g(shù)(x)為減函(x?-x?)(x?—x?)=0,即(f(xi)-f(x?))(f(x?)-f(x?))=1.∴(f(x?)-f(x2))(f(x?)-f(x?))<1,故B不可能在以AC為直徑的圓上.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交AC于點(diǎn)D,則h≤BD(當(dāng)且僅當(dāng)x?=0時(shí)取等),而,記e22=t,則,當(dāng)且僅當(dāng)t=1的時(shí)候取等，即x?=0時(shí)取以?xún)蓚€(gè)不等號(hào)能同時(shí)取等，故h的最大值為,故D正確.故答案選ABD.【解析】因?yàn)?cosθ+sinθ=0,所以tanθ=-4,所以13.【答案(滿(mǎn)足題意即可)【解析】記直線BE與直線AF?的交點(diǎn)為P,則,由對(duì)稱(chēng)性有BE過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且|EF?|=|BF?|.由l?//l?有△EF?PO△BAP,∴又∵|EO|=|BO|,∴|EP|=|OP|,∴xE=2.xp=15.解：(1)由題意得,從而可得,………………(4分)故M的離心率………………(6分)由△=4m2-4×4(m2-6)=0,……………(6分)(9分)【高三數(shù)學(xué)試題參考答案第3頁(yè)(共5頁(yè))】(2)由(1)知性回歸方程是y=0.36x-726.46,(13該地區(qū)2025年新能源汽車(chē)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量約為2.54萬(wàn)輛.………(15分)∵側(cè)面AA?B?B是平行四邊形，∴∠BB?.………………(3分)在△BAA?中，由余弦定理有AA?+AB2—A?B2=2AA?·ABcos∠BAA?.∵A?B∩A?C?=A?,A?B,A?C?C平面A?BC?,∴AA?⊥平面A?BC?,又∵BC?C平面A?BC?,∴AA?⊥BC?(7(2)取BC?的中點(diǎn)，記為D,連接AD,A?D.分)∵AD∩A?D=D,AD,A?DC平面ADA?,∴BC?⊥平面ADA.∴∠ADA?為二面角A-BC?-A?的平面角。又∵AA?⊥平面A?BC?,AA?//BB?,∴BB?⊥平面A?BC?,